● 在同一体系中,不同的两个固有振型之间,无论对于质量矩阵[M]或是刚度矩阵[K]都具有正交性质。 ● 利用这一特性,一是可以将n个自由度体系计算简化为n个单自由度体系的计算(主要应用于在任意干扰力作用下的强迫振动),二是可以检查主振型计算正确与否(判断主振型的形状特点)。 (一)主振型的第一正交性 图4-77 图4-77(a)和(b)分别表示两个自由度体系的第一主振型曲线和第二主振型曲线,及所对应的惯性力幅值。应用虚功互等定理,可得 移项后,可得 如果,则有 (4-83) 上式就是两个主振型对质量正交的性质。 例如,在图4-77(a)、(b)中,如果质量分布和刚度均对称,则,,,代入上式,得 (-1)=0 上述正交关系的一般情形可表述如下: 设体系具有n个自由度。和为两个不同的频率,相应的两个主振型向量分别为: 体系的质量矩阵为: 则第一正交关系为: (4-84a) 即 (4-84b) 上式表明,具有n个自由度体系的第主振型和第k主振型对质量正交的性质,称为第一正交性。 (二)主振型的第二正交性 将和代入式(4-76)得 上式两边左乘,得 由于(第一正交性),于是得到 (4-85) 上式表明,具有n个自由度体系的第主振型和第k主振型,对于刚度矩阵正交的性质,称为第二正交性。 (三)振型正交的物理意义 因为(第一正交性),所以虚功 由此,振型的正交性可理解为:体系按某一振型振动时,它的惯性力不会在其它振型上作功,也就是说,它的能量不会转移到其它振型上去,因此各主振性可单独存在。 【例4-25】试验算例4-23所求得的各个主振型之间的正交性。 解:
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