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问题：如图，正方形ABCD中，点M在AB上，点N在CD上，点P 在BC上，MN⊥AP于E
（1）求证：AP=MN （2）如图2，点F在MN上，若EF=EA,连CF,点G为CF中点，连DG，求证：DE=√3DG （3）在（2）的条件下，若DA=DE，且DN=3/2，BM=2，求DG的长 解答：（1）过点M作MT⊥CD，则四边形MBCT为矩形，则MT=BC=AB，∠MTN=∠B=90º，又∠NEP=∠C=90º，∠MNC=∠APB=180º-∠APC,∴△ABP≌△MTN,∴AP=MN
(2)延长线段DG到H，使得GH=DG，连接HE、HF。
∵点G为CF中点∴四边形FHCD为平行四边形.∴FH=CD=AD,FH∥CD;∴∠EFH=∠FNC=∠EAD(类似于（1）)，又EF=EA，∴△EFH≌△EAD.∴EH=ED,∠FEH=∠AED,∴∠DEH=∠AEN=90º
在直角三角形DEH中，由勾股定理得，DE=√2DG（而非原结论中的DE=√3DG ）
（3） 过点D作DK⊥AE，分别于AE、AM相交于点O、K
∵DE=DA.∴AO=OE.∵MN⊥AP.OK∥ME.∴AK=KM.又KM∥DN.∴四边形KMND为平行四边形。∴AK=KM=DN=3/2.则AB=AK+KM+MB=5.∴DE=DA=AB=5.
由（2）得，DG =√2/2DE=(5√2)/2
 DEH |
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