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【追本溯源·触类旁通】 【题目】 如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH． 证明：（1）如图1，连接DF， ∵四边形ABCD是正方形，∴DA=DC，∠A=∠C=90°， ∵点A关于直线DE的对称点为F，∴△ADE≌△FDE， ∴DA=DF=DC，∠DFE=∠A=90°，∴∠DFG=90°， 在Rt△DFG和Rt△DCG中， ∵DF＝DC，DG＝DG， ∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），∴GF=GC； （2）BH=⎷2AE，理由如下： 【方法一】 如图2，在线段AD上截取AM，使AM=AE， ∵AD=AB，∴DM=BE， 由（1）知：∠1=∠2，∠3=∠4， ∵∠ADC=90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°， ∴2∠2+2∠3=90°，∴∠2+∠3=45°， 即∠EDG=45°，∵EH⊥DE， ∴∠DEH=90°，△DEH是等腰直角三角形， ∴∠AED+∠BEH=∠AED+∠1=90°，DE=EH， ∴∠1=∠BEH， 在△DME和△EBH中， ∵DM＝BE，∠1＝∠BEH，DE＝EH， ∴△DME≌△EBH，∴EM=BH， Rt△AEM中，∠A=90°，AM=AE， ∴EM=⎷2AE，∴BH=⎷2AE； 【方法二】 如图3，过点H作HN⊥AB于N，∴∠ENH=90°， 由方法一可知：DE=EH，∠1=∠NEH， 在△DAE和△ENH中， ∵∠A＝∠ENH，∠1＝∠NEH，DE＝EH， ∴△DAE≌△ENH，∴AE=HN，AD=EN， ∵AD=AB，∴AB=EN=AE+BE=BE+BN， ∴AE=BN=HN，∴△BNH是等腰直角三角形， ∴BH=⎷2HN=⎷2AE． 【母题溯源】 人教版数学·八年下·第十八章·复习题·第14题·P69 题目的结论把证明AE=EF，变为求CF与BE的关系，本题的关键还是在于证明AE=EF． 【变式一】 题目：如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：AE＝EF． 【变式二】 题目：如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，在正方形外角的平分线CF上取一点F使得AE＝EF． 求证：∠AEF＝90°． |
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