一生受用的数学公式 作者:Tangxianyang编辑 坐标几何 一对垂直相交于平面的轴线,可以让平面上的任意一点用一组实数来表示。轴线的交点是 (0, 0),称为 原点。水平与垂直方向的位置,分别用x与y代表。 一条直线可以用方程式y=mx+c来表示,m是直线的斜率(gradient)。这条直线与y轴相交于 (0, c),与x轴则相交于(–c/m, 0)。垂直线的方程式则是x=k,x为定值。 通过(x0, y0)这一点,且斜率为n的直线是 y–y0=n(x–x0) 一条直线若垂直于斜率为n的直线,则其斜率为–1/n。通过(x1, y1)与(x2, y2)两点的直线是 y=(y2–y1/x2–x1)(x–x2)+y2 x1≠x2 若两直线的斜率分别为m与n,则它们的夹角θ满足于 tanθ=m–n/1+mn 半径为r、圆心在(a, b)的圆,以(x–a) 2+(y–b) 2=r2表示。
三维空间里的坐标与二维空间类似,只是多加一个z轴而已,例如半径为r、中心位置在(a, b, c)的球, 以(x–a) 2+(y–b) 2+(z–c) 2=r2表示。 三维空间平面的一般式为ax+by+cz=d。 三角学 边长为a、b、c的直角三角形,其中一个夹角为θ。它的六个三角函数分别为:正弦(sine)、余弦 (cosine)、正切(tangent)、余割(cosecant)、正割(secant)和余切(cotangent)。 sinθ=b/c cosθ=a/c tanθ=b/a cscθ=c/b secθ=c/a cotθ=a/b
若圆的半径是1,则其正弦与余弦分别为直角三角形的高与底。 a=cosθ b=sinθ 依照勾股定理,我们知道a2+b2=c2。因此对于圆上的任何角度θ,我们都可得出下列的全等式: cos2θ+sin2θ=1 三角恒等式
根据前几页所述的定义,可得到下列恒等式(identity): tanθ=sinθ/cosθ,cotθ=cosθ/sinθ secθ=1/cosθ,cscθ=1/sinθ
分别用cos 2θ与sin 2θ来除cos 2θ+sin 2θ=1,可得: sec 2θ–tan 2θ=1 及 csc 2θ–cot 2θ=1 对于负角度,六个三角函数分别为: sin(–θ)= –sinθ csc(–θ)= –cscθ cos(–θ)= cosθ sec(–θ)= secθ tan(–θ)= –tanθ cot(–θ)= –cotθ
当两角度相加时,运用和角公式: sin(α+β)= sinαcosβ+cosαsinβ cos(α+β)= cosαcosβ–sinαsinβ tan(α+β)= tanα+tanβ/1–tanαtanβ 若遇到两倍角或三倍角,运用倍角公式: sin2α= 2sinαcosα sin3α= 3sinαcos2α–sin3α cos2α= cos 2α–sin 2α cos3α= cos 3α–3sin 2αcosα tan 2α= 2tanα/1–tan 2α tan3α= 3tanα–tan 3α/1–3tan 2α 二维图形 下面是一些二维图形的周长与面积公式。 圆: 半径= r 直径d=2r 圆周长= 2πr =πd 面积=πr2 (π=3.1415926…….) 椭圆: 面积=πab a与b分别代表短轴与长轴的一半。 矩形: 面积= ab 周长= 2a+2b 平行四边形(parallelogram): 面积= bh = ab sinα 周长= 2a+2b 梯形: 面积= 1/2h (a+b) 周长= a+b+h (secα+secβ) 正n边形: 面积= 1/2nb2 cot (180°/n) 周长= nb 四边形(i): 面积= 1/2ab sinα 四边形(ii): 面积= 1/2 (h1+h2) b+ah1+ch2 三维图形 以下是三维立体的体积与表面积(包含底部)公式。 球体: 体积= 4/3πr3 表面积= 4πr2 方体: 体积= abc 表面积= 2(ab+ac+bc) 圆柱体: 体积= πr2h 表面积= 2πrh+2πr2 圆锥体: 体积= 1/3πr2h 表面积=πr√r2+h2 +πr2 (表面积 S=π*r^2+πrl (l为母线长) 把圆锥体的侧面积打开是扇形,扇形的半径就是母线 ) 若底面积为A, 体积= 1/3Ah 平截头体(frustum): 体积= 1/3πh (a2+ab+b2) 表面积=π(a+b)c+πa2+πb2 椭球: 体积= 4/3πabc 环面(torus): 体积= 1/4π2 (a+b) (b–a) 2 表面积=π2 (b2–a2) 长方形的周长=(长 宽)×2 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽 正方形的面积=边长×边长 三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高 梯形的面积=(上底 下底)×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径 长方体的表面积= (长×宽 长×高+宽×高)×2 长方体的体积 =长×宽×高 正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 圆柱的表面积=上下底面面积 侧面积 圆柱的体积=底面积×高 圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体(正方体、圆柱体) 的体积=底面积×高 平面图形 名称 符号 周长C和面积S 正方形 a—边长 C=4a S=a2 长方形 a和b-边长 C=2(a b) S=ab 三角形 a,b,c-三边长 h-a边上的高 s-周长的一半 A,B,C-内角 其中s=(a b c)/2 S=ah/2 =ab/2·sinC =[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 =a2sinBsinC/(2sinA) 四边形 d,D-对角线长 α-对角线夹角 S=dD/2·sinα 平行四边形 a,b-边长 h-a边的高 α-两边夹角 S=ah =absinα 菱形 a-边长 α-夹角 D-长对角线长 d-短对角线长 S=Dd/2 =a2sinα 梯形 a和b-上、下底长 h-高 m-中位线长 S=(a b)h/2 =mh 圆 r-半径 d-直径 C=πd=2πr S=πr2 =πd2/4 扇形 r—扇形半径 a—圆心角度数 C=2r+2πr×(a/360) S=πr2×(a/360) 弓形 l-弧长 b-弦长 h-矢高 r-半径 α-圆心角的度数 S=r2/2·(πα/180-sinα) =r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 =παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2 =r(l-b)/2 bh/2 ≈2bh/3 圆环 R-外圆半径 r-内圆半径 D-外圆直径 d-内圆直径 S=π(R2-r2) =π(D2-d2)/4 椭圆 D-长轴 d-短轴 S=πDd/4 立方图形 名称 符号 面积S和体积V 正方体 a-边长 S=6a2 V=a3 长方体 a-长 b-宽 c-高 S=2(ab ac bc) V=abc 棱柱 S-底面积 h-高 V=Sh 棱锥 S-底面积 h-高 V=Sh/3 棱台 S1和S2-上、下底面积 h-高 V=h[S1 S2 (S1S1)1/2]/3 拟柱体 S1-上底面积 S2-下底面积 S0-中截面积 h-高 V=h(S1 S2 4S0)/6 圆柱 r-底半径 h-高 C—底面周长 S底—底面积 S侧—侧面积 S表—表面积 C=2πr S底=πr2 S侧=Ch S表=Ch 2S底 V=S底h =πr2h 空心圆柱 R-外圆半径 r-内圆半径 h-高 V=πh(R2-r2) 直圆锥 r-底半径 h-高 V=πr2h/3 圆台 r-上底半径 R-下底半径 h-高 V=πh(R2+Rr+r2)/3 球 r-半径 d-直径 V=4/3πr3=πd2/6 球缺 h-球缺高 r-球半径 a-球缺底半径 V=πh(3a2 h2)/6 =πh2(3r-h)/3 a2=h(2r-h) 球台 r1和r2-球台上、下底半径 h-高 V=πh[3(r12+r22) h2]/6 圆环体 R-环体半径 D-环体直径 r-环体截面半径 d-环体截面直径 V=2π2Rr2 =π2Dd2/4 桶状体 D-桶腹直径 d-桶底直径 h-桶高 V=πh(2D2+d2)/12 (母线是圆弧形,圆心是桶的中心) V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15 (母线是抛物线形) 常用单位换算公式 面 积 换 算 1平方公里(km2)=100公顷(ha)=247.1英亩(acre)=0.386平方英里(mile2) 1平方米(m2)=10.764平方英尺(ft2) 1平方英寸(in2)=6.452平方厘米(cm2) 1公顷(ha)=10000平方米(m2)=2.471英亩(acre) 1英亩(acre)=0.4047公顷(ha)=4.047×10-3平方公里(km2)=4047平方米(m2 ) 1英亩(acre)=0.4047公顷(ha)=4.047×10-3平方公里(km2)=4047平方米(m2 ) 1平方英尺(ft2)=0.093平方米(m2) 1平方米(m2)=10.764平方英尺(ft2) 1平方码(yd2)=0.8361平方米(m2) 1平方英里(mile2)=2.590平方公里(km2) 体 积 换 算 1美吉耳(gi)=0.118升(1) 1美品脱(pt)=0.473升(1) 1美夸脱(qt)=0.946升(1) 1美加仑(gal)=3.785升(1) 1桶(bbl)=0.159立方米(m3)=42美加仑(gal) 1英亩·英尺=1234立方米(m3 ) 1立方英寸(in3)=16.3871立方厘米(cm3) 1英加仑(gal)=4.546升(1) 10亿立方英尺(bcf)=2831.7万立方米(m3) 1万亿立方英尺(tcf)=283.17亿立 方米(m3) 1百万立方英尺(MMcf)=2.8317万立方米(m3) 1千立方英尺(mcf)=28.317立方 米(m3) 1立方英尺(ft3)=0.0283立方米(m3)=28.317升(liter) 1立方米(m3)=1000升(liter)=35.315立方英尺(ft3)=6.29桶(bbl) 长 度 换 算 1千米(km)=0.621英里(mile) 1米(m)=3.281英尺(ft)=1.094码(yd) 1厘米(cm)=0.394英寸(in) 1英寸(in)=2.54厘米(cm) 1海里(n mile)=1.852千米(km) 1英寻(fm)=1.829(m) 1码(yd)=3英尺(ft) 1杆(rad)=16.5英尺(ft) 1英里(mile)=1.609千米(km) 1英尺(ft)=12英寸(in) 1英里(mile)=5280英尺(ft) 1海里(n mile)=1.1516英里(mile) 质 量 换 算 1长吨(long ton)=1.016吨(t) 1千克(kg)=2.205磅(lb) 1磅(lb)=0.454千克(kg)[常衡] 1盎司(oz)=28.350克(g) 1短吨(sh.ton)=0.907吨(t)=2000磅(lb) 1吨(t)=1000千克(kg)=2205磅(lb)=1.102短吨(sh.ton)=0.984长吨(long ton) 密 度 换 算 1磅/英尺3(lb/ft3)=16.02千克/米3(kg/m3) API度=141.5/15.5℃时的比重-131.5 1磅/英加仑(lb/gal)=99.776千克/米3(kg/m3) 1波美密度(B)=140/15.5℃时的比重-130 1磅/英寸3(lb/in3)=27679.9千克/米3(kg/m3) 1磅/美加仑(lb/gal)=119.826千克/米3(kg/m3) 1磅/(石油)桶(lb/bbl)=2.853千克/米3(kg/m3) 1千克/米3(kg/m3)=0.001克/厘米3(g/cm3)=0.0624磅/英尺3(lb/ft3) 运 动 粘 度 换 算 1斯(St)=10-4米2/秒(m2/s)=1厘米2/秒(cm2/s) 1英尺2/秒(ft2/s)=9.29030×10-2米2/秒(m2/s) 1厘斯(cSt)=10-6米2/秒(m2/s)=1毫米2/秒(mm2/s) 动 力 粘 度 换 算 动力粘度 1泊(P)=0.1帕·秒(Pa·s) 1厘泊(cP)=10-3帕·秒(Pa·s) 1磅力秒/英尺2(lbf·s/ft2)=47.8803帕·秒(Pa·s) 1千克力秒/米2(kgf·s、m2)=9.80665帕·秒(Pa·s) 力 换 算 1牛顿(N)=0.225磅力(lbf)=0.102千克力(kgf) 1千克力(kgf)=9.81牛(N) 1磅力(lbf)=4.45牛顿(N) 1达因(dyn)=10-5牛顿(N) 温 度 换 算 K=5/9(°F+459.67) K=℃+273.15 n℃=(5/9·n+32) °F n°F=[(n-32)×5/9]℃ 1°F=5/9℃(温度差) 压 力 换 算 压力 1巴(bar)=105帕(Pa) 1达因/厘米2(dyn/cm2)=0.1帕(Pa) 1托(Torr)=133.322帕(Pa) 1毫米汞柱(mmHg)=133.322帕(Pa) 1毫米水柱(mmH2O)=9.80665帕(Pa) 1工程大气压=98.0665千帕(kPa) 1千帕(kPa)=0.145磅力/英寸2(psi)=0.0102千克力/厘米2(kgf/cm2) =0.0098大气压(atm) 1磅力/英寸2(psi)=6.895千帕(kPa)=0.0703千克力/厘米2(kg/cm2)=0.0689巴 (bar) =0.068大气压(atm) 1物理大气压(atm)=101.325千帕(kPa)=14.696磅/英寸2(psi)=1.0333巴(bar ) 传 热 系 数 换 算 1千卡/米2·时(kcal/m2·h)=1.16279瓦/米2(w/m2) 1千卡/(米2·时·℃)〔1kcal/(m2·h·℃)〕=1.16279瓦/(米2·开尔文) 〔w/(m2·K)〕 1英热单位/(英尺2·时·°F)〔Btu/(ft2·h·°F)〕=5.67826瓦/(米2·开尔文 )〔(w/m2·K)〕 1米2·时·℃/千卡(m2·h·℃/kcal)=0.86000米2·开尔文/瓦(m2·K/W) 热 导 率 换 算 1千卡(米·时·℃)〔kcal/(m·h·℃)〕=1.16279瓦/(米·开尔文)〔W/(m· K)〕 1英热单位/(英尺·时·°F)〔But/(ft·h·°F) =1.7303瓦/(米·开尔文)〔 W/(m·K)〕 比 容 热 换 算 1千卡/(千克·℃)〔kcal/(kg·℃)〕=1英热单位/(磅·°F)〔Btu/(lb·°F) 〕 =4186.8焦耳/(千克·开尔文)〔J/(kg·K)〕 热 功 换 算 1卡(cal)=4.1868焦耳(J) 1大卡=4186.75焦耳(J) 1千克力米(kgf·m)=9.80665焦耳(J) 1英热单位(Btu)=1055.06焦耳(J) 1千瓦小时(kW·h)=3.6×106焦耳(J) 1英尺磅力(ft·lbf)=1.35582焦耳(J) 1米制马力小时(hp·h)=2.64779×106焦耳(J) 1英马力小时(UKHp·h)=2.68452×106焦耳 1焦耳=0.10204千克·米 =2.778×10-7千瓦·小时 =3.777×10-7公制马力小时 =3.723×10-7英制马力小时 =2.389×10-4千卡 =9.48×10-4英热单位 功 率 换 算 1英热单位/时(Btu/h)=0.293071瓦(W) 1千克力·米/秒(kgf·m/s)=9.80665瓦(w) 1卡/秒(cal/s)=4.1868瓦(W) 1米制马力(hp)=735.499瓦(W) 速 度 换 算 1英里/时(mile/h)=0.44704米/秒(m/s) 1英尺/秒(ft/s)=0.3048米/秒(m/s) 渗 透 率 换 算 1达西=1000毫达西 1平方厘米(cm2)=9.81×107达西 地 温 梯 度 换 算 1°F/100英尺=1.8℃/100米(℃/m) 1℃/公里=2.9°F/英里(°F/mile)=0.055°F/100英尺(°F/ft) 油 气 产 量 换 算 1桶(bbl)=0.14吨(t)(原油,全球平均) 1万亿立方英尺/日(tcfd) =283.2亿立方米/日(m3/d)=10.336万亿立方米/年 (m3/a) 10亿立方英尺/日(bcfd)=0.2832亿立方米/日(m3/d) =103.36亿立方米/年 (m3/a) 1百万立方英尺/日(MMcfd)=2.832万立方米/日(m3/d)=1033.55万立方米/年 (m3/a) 1千立方英尺/日(Mcfd)=28.32立方米/日(m3/d)=1.0336万立米/年(m3/a) 1桶/日(bpd)=50吨/年(t/a)(原油,全球平均) 1吨(t)=7.3桶(bbl)(原油,全球平均) 气 油 比 换 算 1立方英尺/桶(cuft/bbl)=0.2067立方米/吨(m3/t) 热 值 换 算 1桶原油=5.8×106英热单位(Btu) 1吨煤=2.406×107英热单位(Btu) 1立方米湿气=3.909×104英热单位(Btu) 1千瓦小时水电=1.0235×104英热(Btu) 1立方米干气=3.577×104英热单位(Btu) (以上为1990年美国平均热值) (资料来源:美国国家标准局) 热 当 量 换 算 1桶原油=5800立方英尺天然气(按平均热值计算) 1立方米天然气=1.3300千克标准煤 1千克原油=1.4286千克标准煤 长度 1千米(km)=0.621英里(mile) 1米(m)=3.281英尺(ft)=1.094码(yd) 1厘米(cm)=0.394英寸(in) 1英里(mile)=1.609千米(km) 1英尺(ft)=0.3048米(m) 1英寸(in)=2.54厘米(cm) 1海里(n mile)=1.852千米(km) 1码(yd)=0.9144米(m) 1英尺(ft)=12英寸(in) 1码(yd)=3英尺(ft) 1英里(mile)=5280英尺(ft) 1海里(n mile)=1.1516英里(mile) 质量 1吨(t)=1000千克(kg)=2205磅(lb)= 1.102短吨(sh.ton)=0.934长吨(long.ton) 1千克(kg)=2.205磅(lb) 1短吨(sh.ton)=0.907吨(t)=2000磅(1b) 1长吨(long.ton)=1.016吨(t) 1磅(lb)=0.454千克(kg) 1盎司(oz)=28.350克(g) 密度 1千克/米3(kg/m3)=0.001克/厘米3(g/cm3)=0.0624磅/英尺3(lb/ft3) 1磅/英尺3(lb/ft3)=16.02千克/米3(kg/m3) 1磅/英寸3(lb/in3)=27679.9千克/米3(kg/m3) 1磅/美加仑(lb/gal)=119.826千克/米3(kg/m3) 1磅/英加仑(lb/gal)=99.776千克/米3(kg/m3) 1磅/(石油)桶(lb/bbl)=2.853千克/米3(kg/m3) 1波美密度=140/15.5℃时的比重-130 API=141.5/15.5℃时的比重-131.5 压力 1兆帕(MPa)=145磅/英寸2(psi) =10.2千克/厘米2(kg/cm2)=10巴(bar)=9.8大气压(at m) 1磅/英寸2(psi)=0.006895兆帕(MPa) =0.0703千克/厘米2(kg/cm2)= 0.0689巴(bar)=0.068大气压(at m) 1巴(bar)=0.1兆帕(MPa)=14.503磅/英寸2(psi)=1.0197千克/厘米2(kg/cm2) =0.987大气压(at m) 1大气压(at m)=0.101325兆帕(MPa)=14.696磅/英寸2(psi) =1.0333千克/厘米2(kg/cm2) =1.0133巴(bar) 面积 1平方公里(km2)=100公顷(ha)=247.1 英亩(acre)=0.386平方英里(mile2) 1平方米(m2)=10.764平方英尺(ft2) 1公亩(acre)=100平方米(m2) 1公顷(ha)=10000平方米(m2)=2.471英亩(acre) 1平方英里(mile2)=2.590平方公里(km2) 1英亩(acre)=0.4047公顷(ha)=40.47* 10-3平方公里(km2)=4047平方米(m2) 1平方英尺(ft2)=0.093平方米(m2) 1平方英寸(in2)=6.452平方厘米(cm2) 1平方码(yd2)=0.8361平方米(m2) 体积 1立方米(m3)=1000升(liter) =35.315立方英尺(ft3)=6.290桶(bbl) 1立方英尺(ft3)=0.0283立方米(m3)=28.317升(l) 1千立方英尺(mcf)=28.317立方米(m3) 1百万立方英尺(MMcf)=2.8317万立方米(m3) 10亿立方英尺(bcf)=2831.7万立方米(m3) 1万亿立方英尺(tcf)=283.17亿立方米(m3) 1立方英寸(in3)=16.3871立方厘米(cm3) 1英亩·英尺=1234立方米(m3) 1桶(bbl)=0.159立方米(m3)=42美加仑(gal) 1美加仑(gal)=3.785升(l) 1美夸脱(qt)=0.946升(l) 1美品脱(pt)=0.473升(l) 1美吉耳(gi)=0.118升(l) 1英加仑(gal)=4.546升(l) 运动粘度 1英尺2/秒(ft2/s)=9.29030*10-2 米2/秒(m2/s) 1斯(St)=10-4米2/秒(m2/s) 1厘斯(eSt)=10-6米2/秒(m2/s)=1毫米2/秒(mm2/s) 动力粘度 1泊(P)=0.1帕·秒(Pa·s) 1厘泊(cP)=10-3帕·秒(Pa·s) 1千克力秒/米2=9.80505帕·秒(Pa·s) 1磅力秒/英尺2(1bf·s/ft2)= 47.8803帕·秒(Pa·s) 力 1牛顿(N)=0.225磅力(1bf)=0.102千克力(kgf) 1千克力(kgf)=9.81牛顿(N) 1磅力(1bf)=4.45牛顿(N) 1达因(dyn)=10-5牛顿(N) 温度 K(开尔文度)=5/9(℉+459.67) K=℃+273.15 n℉=[(n-32)*5/9]℃ n℃(摄氏度)=(5/9·n+32)℉ 1℉(华氏度)=5/9℃(温度差) 传热系数 1千卡(米2·时·℃)[kcal/ (m2·h·℃)]=1.6279瓦/(米2·开尔文)[W(m2·K)] 1英热单位/(英尺2·时·℉) [Btu/(ft2·h·℉)]=5.67826瓦/(米2·开尔文)[W(m2·K)] 1米2·时·℃/千卡(m2·h·℃/kcal) =0.86000米2·开尔文/瓦(m2·K/W) 1千卡(米2·时)(kcal/m2·h) =1.16279瓦/米2(W/m2) 热导率 1千卡(米2·时·℃)[kcal/(m2·h·℃)]=1.16279瓦/(米·开尔文)[W(m·K)] 1英热单位/(英尺2·时·℉)[Btu/(ft2·h·℉)] =1.7303瓦/(米·开尔文)[W(m·K)] 比容热 1千卡/(千克·℃)[kcal/(kg·℃)]=1英热单位/(磅·℉)[Btu/(lb·℉)]=4186.8焦耳/(千克·开尔文)[J/(kg·K)] 热功 1焦耳=0.10204千克·米=2.778*10-7千瓦·小时=3.777*10-7公制马力小时=3.723*10-7英制马力小时=2.389*10-4千卡=9.48*10-4英热单位 1卡(cal)=4.1868焦耳(J) 1英热单位(Btu)=1055.06焦耳(J) 1千克力米(kgf·m)=9.80665焦耳(J) 1英尺磅力(ft·1bt)=1.35582焦耳(J) 1米制马力小时(hp·h)=2.64779*106焦耳(J) 1英制马力小时(UKHp·h) =2.68452*106焦耳(J) 1千瓦小时(kw·h)=3.6*106焦耳(J) 1大卡=4186.75焦耳(J) 功率 1千克力·米/秒(kgf·m/s) =9.80665瓦(W) 1米制马力(hp)=735.499瓦(W) 1卡/秒(cal/s)=4.1868瓦(W) 1英热单位/时(Btu/h)=0.293071瓦(W) 速度 1英尺/秒(ft/s)=0.3048米/秒(m/s) 1英里/时(mile/h)=0.44704米/秒(m/s) |
|