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从十七世纪笛卡尔在数学中引进变量算起，函数概念的形成，可以说耗费了近三百年的历史，而且几经危机艰难曲折，最后形成了函数的近代定义。 函数（function）这一名词，是微积分的奠基人之一--莱布尼兹（Leibniz 德国数学家 1646--1716）在1692年首先采用的。原来莱布尼兹的学生约翰·伯努利（Bernoulli Johan 1667--1748 瑞士数学家）在1718年给出了函数的明确定义：“变量的函数是由这些变量与常量所组成的一个解析表达式。”而到了十八世纪中叶，著名数学家欧拉（Euler 1707--1783 瑞士数学家）则把函数定义为：“函数是随意画的一条曲线”（1748）。现在知道，这乃是函数概念的解析表达式和图象表达法，就是说，历史上，曾把“现象”当作“本质”，不过它也说明：“现象”已是进入“本质”的向导，事实上，尽管Bernoulli和Euler的函数定义都具有片面性，但对以后函数概念的发展产生了巨大影响。 Euler于1775年在《微分学》一书中还给出了函数的另一种定义：“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之变化，则将前面的变量称为后面变量的函数。”这个定义朴素的反映了函数中的辩证因素，在特定条件下，体现了“自变”到“因变”的生动过程。但这个定义没有提到两个变量之间的对应关系，因此没有反映出科学的函数概念的特征。另外，现在我们广泛采用的函数符号f(x)，也是Euler 1734年首先引用的。在1834年，伟大的俄国数学家罗巴契夫斯基（1793--1856 非欧几何创始人）进一步提出函数的下述定义：“x的函数是这样的一个数：它对于每一个x都有确定的值，并随着x一起变化。函数值可以由解析给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法，函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的。”这个定义指出了对应关系(条件)的必要性,利用这个关系,可以求出每一个x的对应值。 后来法国数学家狄利克雷认为怎样去建立x与y之间的关系是无关紧要的,他对函数的定义是:“如果对于x的每一个值,y总有完全确定的值与之对应,则y是x的函数。”这个定义抓住了函数概念的本质属性：变量y与x构成函数关系，只须有一个法则存在，使得这个函数定义域中的每一个值，都有一个确定的y值与它对应就行了，不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式。这个定义比前面的定义更具有普遍性，和现在通常给出的函数定义可以说很接近了。 在我国，函数一词是清朝数学家李善兰最先使用的，他在《代数学》的译本（1859）中，把“function”译成“函数”，“凡式中有天，为天之函数”。我国古代以天、地、人、物表示未知数（如x、y、z），所以这个函数的定义相当于：若一式中含有x，则称为关于x的函数。“函”和“含”在我国古代可以通用，所以“函”有着包含的意思，这大概就是李善兰用“函数”一词翻译function的原因吧。
历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用． （一）马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中不定方程的研究．由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽． 自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公转，那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆，原理是什么?还有，研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度，以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题，既是科学家的力图解决的问题，也是军事家要求解决的问题，函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念，这是函数概念的力学来源． （二）早在函数概念尚未明确提出以前，数学家已经接触并研究了不少具体的函数，比如对数函数、三角函数、双曲函数等等．1673年前后笛卡儿在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义． 1673年，莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量．由此可以看出，函数一词最初的数学含义是相当广泛而较为模糊的，几乎与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用另一名词“流量”来表示变量间的关系，直到1689年，瑞士数学家约翰·贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义，贝努里把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为yx. 当时，由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算，所以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数x和常数c而成的式子，取名为解析函数，还将它分成了“代数函数”与“超越函数”． 18世纪中叶，由于研究弦振动问题，达朗贝尔与欧拉先后引出了“任意的函数”的说法．在解释“任意的函数”概念的时候，达朗贝尔说是指“任意的解析式”，而欧拉则认为是“任意画出的一条曲线”．现在看来这都是函数的表达方式，是函数概念的外延． （三）函数概念缺乏科学的定义，引起了理论与实践的尖锐矛盾．例如，偏微分方程在工程技术中有广泛应用，但由于没有函数的科学定义，就极大地限制了偏微分方程理论的建立．1833年至1834年，高斯开始把注意力转向物理学．他在和W·威伯尔合作发明电报的过程中，做了许多关于磁的实验工作，提出了“力与距离的平方成反比例”这个重要的理论，使得函数作为数学的一个独立分支而出现了，实际的需要促使人们对函数的定义进一步研究． 后来，人们又给出了这样的定义：如果一个量依赖着另一个量，当后一量变化时前一量也随着变化，那么第一个量称为第二个量的函数．“这个定义虽然还没有道出函数的本质，但却把变化、运动注入到函数定义中去，是可喜的进步．” 在函数概念发展史上，法国数学家富里埃的工作影响最大，富里埃深刻地揭示了函数的本质，主张函数不必局限于解析表达式．1822年，他在名著《热的解析理论》中说，“通常，函数表示相接的一组值或纵坐标，它们中的每一个都是任意的……，我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规律；他们以任何方式一个挨一个．”在该书中，他用一个三角级数和的形式表达了一个由不连续的“线”所给出的函数．更确切地说就是，任意一个以2π为周期函数，在［－π，π］区间内，可以由 表示出，其中 富里埃的研究，从根本上动摇了旧的关于函数概念的传统思想，在当时的数学界引起了很大的震动．原来，在解析式和曲线之间并不存在不可逾越的鸿沟，级数把解析式和曲线沟通了，那种视函数为解析式的观点终于成为揭示函数关系的巨大障碍． 通过一场争论，产生了罗巴切夫斯基和狄里克莱的函数定义． 1834年，俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每个x都有确定的值，并且随着x一起变化．函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法．函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的．”这个定义建立了变量与函数之间的对应关系，是对函数概念的一个重大发展，因为“对应”是函数概念的一种本质属性与核心部分 |
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