第一章量子论基础

数理书馆 2011-10-16

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第三章矩阵力学基础(?)――力学量和算符

一、概念与名词解释

1. 希尔伯特空间

2. 希尔伯特空间中矢量的内积

3. 转置算符、复共轭算符、厄米共轭算符、厄米算符、幺正算符

4. 不确定性定理

5. 维里定理

二、计算

1. 计算对易关系，其中μ、ν =x,y,z.

2. 设λ是一个小量，求算符按λ的幂展开式.

3. 求在x表象中的算符.以及在p_x表象中的算符.

4. 利用不确定性原理估算氢原子基态能量.

5. 一维运动的粒子处在求<(Δx)²>，<(Δp)²>.

6. 粒子处在Y_lm态，求：

(1) L_x和L_y的平均值<L_x>，<L_y>；

(2) <(ΔL_x)²>，<(ΔL_y)²>.

7. 线谐振子处于基态，计算<(Δx)²>·<(Δp)²>，其中

8. 设体系处于φ=C₁Y₁₁+C₂Y₁₀态，且|C₁|²+|C₂|²=1，求：

(1) 力学量的可能值和平均值；

(2) 力学量的本征值；

(3) 力学量L_x和L_y的可能值.

9. 设体系处在某一状态，在该状态中测量力学量L²得到的值是6?²，测量力学量L_z得到的值是- ?，求测量L_x和L_y可能得到的值.

10. 设体系的哈密顿算符为求其能量本征值.

11. 求在的本征态中，对易子的平均值.为任意算符.

12. 在t=0时氢原子的波函数为

(1) 求体系能量的平均值；

(2) 求在t时刻体系处在l=1,m=1态的概率；

(3) 求在t=0时，电子处在d=10^-10cm范围内的概率；

(4) 假定做一次测量后发现L²=2?²，L_x= ?，求测量后的瞬间体系的波函数.

13. 一电子处在一维谐振子的基态，使得求激发该电子到第一激发态所需的能量.

四、证明

1. 若算符满足，求证：

(1)

(2) 用数学归纳法证明：

2. 若算符满足对易关系式，求证：

3. 若算符满足，直接通过对易关系证明：

4. 设[x,p]=i?，f(x)是x的可微函数，证明：

5. 证明：

6. 是粒子的角动量，F是另一力学量，证明：

7. 设是只与空间坐标有关的力学量，证明：

8. 证明算符(A_n,m为实数)是厄米算符.

9. 定义算符式中算符是幺正算符.证明皆为厄米算符，并且满足

10. 证明：

(1) 在任意一维归一化的实束缚态φ_n(x)上，；

(2) 若哈密顿算符的本征值为E_n、本征矢φ_n(x)为实的束缚态，则有

11. 设哈密顿算符的本征解为E_n和，对任意的线性厄米算符，证明下式成立：

12. 证明在的本征态下，<L_x>=<L_y>=0.进而证明角动量沿任意方向的分量的平均值为m?cosθ，其中θ为与z轴的夹角，为任意方向单位矢量.

13. 证明空间转动不变性对应角动量守恒.

14. 若算符与哈密顿算符皆不显含时间，试证

15. 证明

16. 若算符为守恒量，证明他们的对易子也是守恒量.

17. 粒子处于宽度为a的一维非对称无限深方势阱中，在其第n个本征态下，证明

五、综合题

1. 质量为m的自由粒子作一维运动.在t=0时的归一化波函数是高斯波包，满足

(1) 求

(2) 证明在t>0时，粒子的概率密度满足

(3) 用不确定性原理解释(1)和(2)的结果.

2. 考虑一质量为m的粒子在一维势场U(x)=U₀(x/a)²ⁿ中运动，其中n是正整数，U₀>0，定性讨论能量本征值的分布和相应的本征函数的宇称.用不确定性原理估计基态能量的数量级，并讨论n=1和n→∞两种特殊情况.

3. 在t=0时，处在谐振子势U=kx²/2中的一粒子的波函数是

其中β和A是实常数，且厄米多项式归一化条件是

(1) 写出φ(x,t)；

(2) 求在φ(x,t)态中测量粒子的能量的可能值和相对概率；

(3) 求t=0时的<x>，并问<x>是否随时间t变化？

4. 考虑一维对称势阱中的粒子，熟知，在这种情形下至少有一个能级.现在在给定势阱深度U₀的情况下，减少势阱宽度a是使满足不等式a²<<?²/mU₀，初看起来，束缚在势阱中的粒子的空间位置将越来越精确(Δx~a)，然而在任何情况下，动量的不确定度Δp应限制在数量级内，于是有不等式，这个结果显然和不确定性原理矛盾.试指出上述论证中的错误，并求出粒子坐标和动量不确定度的乘积.