数字信号处理

chap1 采样

1.混叠现象

混叠现象：高于奈奎斯特采样频率一半的信号间折返并还原为低频信号。

下图中，采样频谱为40kHz，高于20kHz的信号采样后表现为低频信号。

当系统的采样频率确定时，需要将大于奈奎斯特频率的频率分析从系统中排除，这就是抗混叠滤波器的作用。

如下图所示，（a）对应的信号经过（b）所示抗混叠滤波器处理后获得（c）所示的信号。

2.从频率角度看采样

下图中，（a）为信号的双边频谱，其最大频率为W。经过（b）中三种采样后将获得不同结果。

1）采样后会出现原信号频谱的副本（称为镜像），它们位于采样频率fs的倍数处

2）采样频率fs> 2W时，原频谱副本不发生重叠。注：此处用下降较缓的滤波器实现。

3）采样频率fs＝2W时，原频谱副本不发生重叠。注：此处仅能用有无限尖锐滚降的理想低通滤波器才能提取出原频谱，而这样的滤波器不存在。

4）采样频率fs＝2W时，原频谱副本发生重叠。在重叠的地方，频谱分量相加，如图中虚线所示。

3.采样的频谱效应

时域采样等于模型信号乘以脉冲序列，而时域的乘积＝频域的卷积。因此，采样后信号的频谱＝该信号频谱与冲击序列频谱的卷积。

在频域，脉冲序列的每个脉冲由函数 的某个平移描述，且脉冲间相距fs，其表达式为 。

 

因此，函数X(f)与脉冲序列的卷积为 。

由采样性质得 ，其示意图如下。

 chap2 数字信号

1. 图形表示

数字信号基本为模型信号按一定间隔进行采样，经过模式转换得到。它用顶部带圆圈的竖线表示。

1）横坐标：每条线表示一个采样点，并用一整数标记，这个整数是所经过的采样周期的数目。

2）纵坐标：数字信号值是A/D转换时最解决该模拟采样值的量化电平。

2.符号表示

数字信号x用符号表示为x[n]，n是采样编号。

1）时移：x[n-N]表示右移N个采样点

2）尺度变换:x[kn]从信号中选取第k个采样点

3.数字函数

3.1脉冲函数

脉冲函数又称（ 函数）

         

脉冲函数是基本函数，所有数字信号都能从它构造出来。任何函数都能写为脉冲函数之和的形式

 ，其中 是采样值

3.2 阶跃函数

阶跃函数常用来表示一个接通过程。

            

阶跃函数可表示为脉冲函数之和

脉冲函数可表示为阶跃函数之差

3.3 幂函数和指数函数

幂函数：

指数函数：

3.4 正弦和余弦函数

定义为：

                                                                  （1）

A是振幅， 是数字序列重复的频率。

注意：不同于模型信号，数字正弦和余弦不一定是周期的， 也不等于被采样模拟信号的频率。

 

由模拟频率与数字频率间的关系建立过程如下：

1）模拟正弦 ， 为频率，单位为弧度/秒。信号在每个时刻t都有值。

2）采样：每Ts秒采样一次，采样时间表示为t=nTs。因此，模拟域中采样值表示为x(nTs)，数字域中表示为x[n]，忽略量化误差有

                                                              （2）

              且在时刻nTs，模拟信号值为

                                                     （3）

3）变换：由于 ；Ts=1/fs，fs是采样频率，带入（3）有

                                                  （4）

4）建立联系：由式（2），令式（4）等于式（1）有

                                                （5）

    从而得到                                                        （6）

注：式（6）将数字频率与模拟频率f联系起来。数字频率的单位是弧度，而不是弧度/秒，因为数字域中经过的时间用采样个数度量，而不是秒。