匀速圆周运动的实例分析

匀速圆周运动的实例分析  

一. 教学内容：

匀速圆周运动的实例分析

 

二. 具体知识：

知识点1 火车、汽车、飞机等的转弯

  1. 火车转弯

（1）火车车轮的结构特点

火车的车轮有凸出的轮缘，且火车在轨道上运行时，有凸出轮缘的一边在两轨道内侧，这种结构特点，主要是有助于固定火车运动的轨迹（如图所示）。

（2）如果转弯处内外轨一样高，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨对轮缘的弹力就是火车转弯的向心力，如图所示，但火车质量太大，单靠这种办法得到向心力，轮缘与外轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮极易受损。

（3）如果在转弯处使外轨略高于内轨，火车转弯时铁轨对火车的支持力的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力G的合力指向圆心，为火车转弯提供了一部分向心力，这就减轻了轮缘与外轨的挤压，在修筑铁路时，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力G和支持力的合力来提供（如图所示）。

设内外轨间的距离为L，内外轨的高度差为h，火车转弯的半径为R，火车转弯的规定速度为，由图得向心力为

，

由牛顿第二定律得，所以。

即火车转弯的规定速度。

（4）对火车转弯时速度与向心力的讨论

a. 当火车以规定速度转弯时，等于向心力，这时轮缘与内、外轨均无侧压力。

b. 当火车转弯速度时，小于向心力，外轨向内挤压轮缘，提供侧压力，与共同充当向心力。

c. 当火车转弯速度时，大于向心力，内轨向外挤压轮缘，产生的侧压力与共同充当向心力。

  2. 汽车转弯

在水平公路上行驶的汽车，转弯时所需的向心力，是由车轮与路面间的静摩擦力提供的，即，因为静摩擦力最大不能超过最大静摩擦力，故要求车子转弯时，车速不能太大和转弯半径不能太小。

思考：在高速公路的转弯处，路面造得外高内低是什么原因？

  3. 飞机转弯

飞机在空中转弯时，其机翼是倾斜的，飞机受到竖直向下的重力和垂直于机翼的升力作用，其合力提供转弯所需要的向心力。当转弯速度较大时，飞机的机翼倾斜角度增大，从而使重力与升力的合力增大，当转弯速度较小时，飞机的机翼倾斜角度减小，从而使重力与升力的合力减小。

 

知识点2  拱形桥

  1. 汽车过拱形桥时，车对桥的压力小于其重力

汽车在桥上运动经过最高点时，汽车所受重力G及桥对其支持力的合力提供向心力，如图所示。

，

所以。

汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对作用力与反作用力，故汽车对桥的压力小于其重力。

思考：汽车的速度不断增大时，会发生什么现象？

由上面表达式可以看出，v越大，越小。当时，由G可得，若速度大于时，汽车所需的向心力会大于重力，这时汽车将“飞”离桥面，我们看摩托车越野赛时，常有摩托车飞起来的现象，就是这个原因。

  2. 汽车过凹形桥时，车对桥的压力大于其重力

如图所示，汽车经过凹形桥最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，其合力充当向心力，则有，所以。

由牛顿第三定律知，车对桥的压力，大于车的重力，而且还可以看出，v越大，车对桥的压力越大。

思考：汽车不在拱形桥的最高点或最低点时，如图所示，它的运动能用上面的方法求解吗？

分析：可以用上面的方法求解，但要注意向心力的来源发生了变化，如图所示，重力沿半径方向的分力和垂直桥面的支持力的合力提供的向心力，设此时汽车与圆心的连线和竖直方向的夹角为，则有

，

所以。

桥面支持力与夹角、车速v都有关。

  3. 航天器中的失重现象

飞船环绕地球做匀速圆周运动，当飞船距地面高度为一二百千米时，它的轨道半径近似等于地球半径R，航天员受到的地球引力近似等于他在地面测得的体重mg，除了地球引力外，航天员还可能受到飞船座舱对他的支持力，引力与支持力的合力为他提供了绕地球做匀速圆周运动所需的向心力，即，也就是。

由此可以解出，当时，座舱对航天员的支持力，航天员处于失重状态。

思考：地球可以看作一个巨大的拱形桥，桥面的半径就是地球的半径R（约为6400km）。地面上有一辆汽车，重量是，地面对它的支持力是，汽车沿南北方向行驶，不断加速，如图所示，会不会出现这样的情况：速度大到一定程度时，地面对车的支持力是零？这时驾驶员与坐椅之间的压力是多少？驾驶员躯体各部分之间的压力是多少？他这时可能有什么感觉？

其实，这和飞船的情况相似，当汽车的速度达到时（代数计算可得），地面对车的支持力是零，这时汽车已经飞起来了，此时驾驶员与坐椅间无压力，驾驶员、车都处于完全失重状态，驾驶员躯体各部分之间没有压力，他会感到全身都飘起来了。

 

知识点3 离心运动

做匀速圆周运动的物体，在所受合力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力情况下，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动。

  1. 离心现象是物体惯性的表现（如图所示）

（1）向心力的作用效果是改变物体的运动方向，如果物体所受到的合外力恰好等于物体所需的向心力，物体就做匀速圆周运动，此时，。

（2）如果向心力突然消失（例如小球转动时绳子突然断裂），则物体的速度方向不再变化，由于惯性，物体将沿此时的速度方向（即切线方向），按此时的速度大小飞出，这时。

（3）如果合外力小于物体做匀速圆周运动所需的向心力，虽然物体的速度方向还要变化，但速度方向变化较慢，因此物体偏离原来的圆周做离心运动，其轨迹为圆周和切线间的某条线，如图所示，这时，。

  2. 离心运动的应用和危害

（1）利用离心运动制成离心机械，例如离心干燥器、洗衣机的脱水筒和离心转速计等等。

（2）在水平公路上行驶的汽车，转弯时所需的向心力是由车轮与路面间的静摩擦力提供的，如果转弯时速度过大，所需向心力F很大，大于最大静摩擦力，汽车将做离心运动而易造成交通事故，如图所示，因此，在转弯处，为防止离心运动造成伤害：一是限定车辆的转弯速度；二是把路面筑成外高内低的斜坡以增大向心力。

 

三. 重点分析

（一）竖直平面内物体做圆周运动

  1. 绳球模型

如图所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况，软绳（或轨道）对小球只能产生拉力（或压力）的作用，小球在最高点时

（1）当，即时，为小球恰好过最高点的临界速度。

（2）当，即时，绳（或轨道）对小球产生拉力（或压力），小球能过最高点。

（3）当，即时，小球不能通过最高点，实际上小球还没有到达最高点就已经脱离了圆周轨道。

  2. 杆球模型

如图所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况，轻杆和细线不同，轻杆对小球既能产生拉力，又能产生推力。

（1）当时，杆对球的支持力，此为过最高点的临界条件。

（2）当时，，。

（3）当时，为支持力，v增大，则减小。

（4）当时，N为指向圆心的拉力，v增大，则增大。

 

（二）关于圆周运动实例的受力分析

我们所接触的圆周运动分为两类：一是水平面上的匀速圆周运动，除火车转弯外，还有很多情形，如图所示，这类问题需从两个不同方向列式，即竖直方向上的平衡式及水平方向上的牛顿第二定律表达式（即向心力的表示式）。

另一类是竖直平面内的非匀速圆周运动，但我们只研究物体运动到最高点和最低点时所对应的状态，这两个状态可以用前面所学过的物理规律列式求解，竖直轨道也分不同情形，除讲过的凸、凹形轨道外，还有如图所示的管形轨道等，球在A点的受力较为复杂，内、外壁对球的作用力如何，决定于球的运动速度。

 

【典型例题】

  例1 铁路转弯处的圆弧半径是，轨距是1435mm，规定火车通过这里的速度是，内外轨的高度差应该是多少，才能使外轨不受轮缘挤压。

解析：火车转弯速度与两轨高度的关系

如图（1）所示，设两轨间距为L，两轨高度差为h，则，向心力。

（1）

由于角很小，则，

故，再考虑，所以车速，由此可知，火车转弯时，为保证安全，转弯速度的大小应保持恒定，若车速过大，则外轨受冲击；若车速过小，则内轨受挤压。

本题考查利用圆周运动知识解决实际问题的能力，若火车在转弯时不受轨道挤压，火车所受的重力和轨道对火车的支持力的合力提供向心力，同时还应该注意火车转弯平面是水平面。

受力分析如图（2）所示，作平行四边形，根据牛顿第二定律有

（2）

由于很小，可以近似认为。

所以内外轨高度差

。

答案：

点拨：火车在转弯时做圆周运动，需要一定的向心力，向心力是由谁提供呢？

（1）弯道两轨在同一水平面上时，向心力由内、外轨道轮缘的挤压力的合力提供。

（2）当外轨高于内轨时，向心力由火车的重力和铁轨的支持力以及内外轨对轮缘的挤压力的合力提供，这还与火车的速度大小有关。

 

  例2  2002年12月30日，我国成功发射并回收了“神舟”四号宇宙飞船，2003年10月15日成功发射了载人飞船，飞船中的宇航员需要在航天之前进行多种训练，其中图中是离心实验器的原理图，可以用此实验研究过荷对人体的影响，测定人体的抗荷能力，离心实验器转动时，被测者做匀速圆周运动，现观察到图中的直线AB（线AB与舱底垂直）与水平杆成角，则被测者对座位的压力是他所受重力的多少倍？

解析：人受重力和弹力的作用，两个力的合力提供向心力，受力分析如图所示。

在竖直方向

①

在水平方向

由①式解得

。

由牛顿第三定律知，人对座位的压力是其重力的2倍。

答案：2倍。

 

  例3 如图（1）甲所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为，物体以速率v绕圆锥体轴线做水平圆周运动，求：

（1）

（1）当时，求线对物体的拉力；

（2）当时，求线对物体的拉力。

解析：临界条件为圆锥体对小球的支持力

如图（1）乙所示，由牛顿第二定律可列出方程

。

解得。

（1）因，，对小球进行受力分析如图（1）丙所示。

；

。

解得。

（2）因，物体离开斜面，对小球受力分析如图（2）所示

；

。

解得。

答案：（1）   （2）

 

  例4 如图所示，细绳一端系着质量的物体，静止于水平面，另一端通过光滑小孔吊着质量的物体，M的中点与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度在什么范围内m会处于静止状态？（）

解析：要使m静止，M应与水平面相对静止，考虑M能与水平面相对静止的两个极端状态；

当为所求范围的最小值时，M有向圆心运动的趋势，水平面对M的静摩擦力方向背离圆心，大于等于最大静摩擦力2N，此时对M有

，且。

解得。

当为所求范围的最大值时，M有远离圆心运动的趋势，水平面对M的静摩擦力方向指向圆心，且大小也为2N，此时

，且。

解得。

答案：

方法点拨：分析两个极端（临界）状态来确定变化范围，是求解“范围类”题目的基本思路和方法。

 

【模拟试题】

  1. 一汽车通过拱形桥顶点时速度为，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在桥顶对桥面没有压力，车速至少为

       A.                    B.                    C.                   D.

  2. 如图所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方处有一钉子C，把悬线另一端的小球m拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的

       A. 线速度突然增大

B. 角速度突然增大

C. 向心加速度突然增大

D. 悬线拉力突然增大

  3. 如图所示，质量不计的轻质弹性杆P插入桌面上的小孔中，杆的另一端套有一个质量的m的小球，今使小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，且角速度为，则杆的上端受到球对其作用力的大小为

       A.                    B.        C.       D. 不能确定

  4. 如图是用来说明向心力、质量、半径之间关系的仪器，球P和Q可以在光滑杆上无摩擦滑动，两球之间用一条轻绳连接，已知，当整个装置以角速度匀速转动时，两球离转动轴的距离不变，则此时

       A. 两球受的向心力大小相等

B. P球受的向心力比Q的大

C. 一定是的两倍

D. 当增大时，P球将向外运动

  5. （2007·江苏模拟）如图所示，水平转台上放着A、B、C三物，质量分别为、m、m，离转轴距离分别为R、R、2R，与转台摩擦因数相同，转台旋转时，下列说法中正确的是

①物均未滑动，C物向心加速度最大

②物均未滑动，B物受摩擦力最大

③增加转速，A物比B物先滑动

④增加转速，C物先滑动

       A. ①②                       B. ②③                       C. ①④                       D. ②④

  6. 汽车在倾斜的弯道上拐弯，如图所示，弯道的倾角为，半径为r，则汽车完全不靠摩擦力转弯速率是

       A.                 B.                C.                D.

  7. 飞行员的质量为m，他驾驶飞机在竖直平面内做圆周运动，当飞机飞到最高点时速度为v，飞行员对机座的压力恰好为零，若飞机飞到最低点时速度为v′，求飞行员对机座的压力是多少？

  8. 有一内壁光滑的试管装有质量为1g的小球，试管的开端封闭后安装在水平轴O上，如图所示，转动轴到管底小球的距离为5cm，让试管在竖直面内做匀速转动。求：

（1）转动轴达某一角速度时，试管底部受到小球的压力的最大值为最小值的3倍，此时角速度多大？

（2）当角速度时，管底对小球的作用力的最大值和最小值各是多少？（g取）

  9. 如图所示，长为L的绳子，下端连着质量为m的小球，上端悬于天花板上，当把绳子拉直时，绳子与竖直方向的夹角为，此时小球静止于光滑的水平桌面上，则

       （1）当球以角速度为做圆锥摆运动时，绳子的张力为多大？桌面受到的压力为多大？

（2）当球以角速度为做圆锥摆运动时，绳子的张力及桌面受到的压力又各为多大？

  10. 长为L的细线，拴一质量为m的小球，一端固定于O点，让其在水平面内做匀速圆周运动（这种运动通常称为圆锥摆运动），如图所示，当摆线L与竖直方向的夹角是时，求：

（1）线的拉力F；

（2）小球运动的线速度的大小；

（3）小球运动的角速度及周期。

  11. 如图所示，一根长0.1m的细线，一端系着一个质量是0.18kg的小球，拉住线的另一端，使球在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动，当小球的转速增加到原转速的3倍时，细线断裂，这时测得线的拉力比原来大40N。求：

（1）线断裂的瞬间，线的拉力；

（2）这时小球运动的线速度；

（3）如果桌面高出地面0.8m，线断后小球飞出去落在离桌面的水平距离为多少的地方？0

 

 

【试题答案】

  1. B     2. BCD           3. C        4. AC             5. C        6. C

  7.

  8. （1）            （2）        0N

  9. （1），  （2），。

  10. （1）（2）（3），

  11. （1）45N    （2）   （3）2m