抖空竹的力学原理

分析空竹的运动要借助于刚体绕定点运动理论。

    陀螺仪是应用此原理的一个典型。其原理就是，一个旋转物体的旋转轴所指的方向在不受外力影响时，是不会改变的，因此它被应用在航海的船上指定方位。我们骑自行车其实也是利用了这个原理。轮子转得越快越不容易倒，因为车轴有一股保持水平的力量。陀螺仪在工作时快速旋转的速度一般能达到每分钟几十万转，

            
                                       陀螺运动示意图     

 

    玩具陀螺能之所以好玩，主要在于它在运动时的稳定性。其实陀螺在运动中，只有其自转轴是稳定的，陀螺本身还包含了进动和章动。

    陀螺的进动。

    进动是指自转轴绕垂直轴的转动。图（a）是模拟单头空竹运动的杠杆陀螺的示意图。A是旋转圆盘，P是重物，但是，A，P的重心偏离了Z轴l 。

    如果圆盘不转动，重力的力矩将使圆盘绕x轴转动，并最终倒下。

    但是，转动着的圆盘却有着截然不同的性质，它将绕 轴进动而不会翻倒。

杠杆陀螺为何可以保持转轴的稳定呢？

    实际上，陀螺在外力矩作用下，其角动量（动量矩）有向外力矩方向偏斜的趋势，但是，一旦角动量方向改变（转轴方向从ω变为ω+Ω），外力矩也随之改变，最终导致陀螺绕垂直轴的进动。

也可以从力与运动的角度的分析来说明。选择与陀螺一起进动的参考系，圆盘上各质点受到惯性力和科里奥利力（f=2mv×Ω）的作用。它们对O 点的合力矩为零。但是，科里奥利力是随着圆盘上个质点的运动情况是不同的，速度与x O y（水平）平面垂直的不受科里奥利力的作用，而速度与X O Y（水平）平面平行的质点所受的科里奥利力矩之和刚好与重力矩相抵消，这就决定了进动角速度Ω的值。

         

                                     杠杆陀螺示意图

 

    定量的分析陀螺进动的角速度

    设陀螺绕对称轴的转动惯量为J，则自转角动量为L=Jω，在外力矩M的作用下，经⊿t时间，角动量有一增量⊿L=M⊿t，⊿t后，陀螺的角动量将绕z轴转过一个⊿φ 。

 ⊿L=L⊿φ=M⊿t

  进动角速度Ω=⊿φ/⊿t

 Ω=M/L

 Ω=m g l/Jω，m 是杠杆陀螺的总质量。

对于玩具陀螺

F=m g

   设其自转轴与竖直方向成θ 角，质心与支点的距离为l，由角动量定理，

   m g l sinθ⊿t=Jωsinθ⊿φ

    Ω= ⊿φ/⊿t

    Ω=m gl/Jω

得到与杠杆陀螺相同的结论 。

 

    陀螺的章动

    陀螺在进动的过程中还伴有称为章动的上、下的周期性运动。

    先固定杠杆陀螺的旋转轴，让它自转后，再释放之。轴端将沿一摆线运动。这就是章动。

                         
                              陀螺的自转、进动和章动

 

    下面简单分析一下章动的原因。

    当陀螺的轴释放后，它并非一开始就进动，在重力矩的作用下稍稍下倾，而一旦发生下倾运动，就产生方向竖直向上的力矩M，使陀螺产生绕竖直轴的进动，此进动又产生了与重力矩方向相反的力矩N，M，N与相应的角速度成正比。开始时，下倾角速度较小，M也小，重力矩大于M，使下倾运动加速。因此N增大，使进动加速，随之进动回转力矩也增大，使M渐渐大于重力矩，陀螺便开始上升，同时产生方向竖直向下的力矩使进动减速。如此往返，陀螺就一边进动，一边周期性的上下章动。

 

    为分析空竹的运动，定义坐标原点都选在空竹绕线的轴颈部位上的三个坐标系。1）以Oξηζ表固定坐标系，Oζ垂直向上。2）以Oxyz表与物体固连坐标系，对空竹而言，设x沿空竹的轴，3）以Ox₁y₁z₁表示随体固定坐标系（不摆动），此时空竹轴的平衡位置为x₁轴。以φ表空竹轴的转角，以ω表空竹轴的转动角速度，φ=ωt。以α表空竹轴的进动倾角。以ψ和Ω分别表示x₁轴与ξ轴的夹角和空竹轴x₁绕z₁轴的角速度。

                      
                                      空竹运动的简化

 

    根据我们骑自行车和玩空竹的经验，只要有一定的转速，保持空竹轮面的稳定还是比较容易达到的。为简化分析，不妨设定空竹轴与x轴重合。此时没有章动的问题。于是在已知空竹的几何特性和质量、惯性，设定自转角速度的情况下，就只有绕垂直轴的角速度未知。这个未知量可由绕垂直轴的动量矩定理解出。

   

    下面提供一个展示陀螺仪原理的动画。

    可以看到，无论框架（物体）如何运动，高速自转的陀螺之自转轴方向是不变的。