角动量守恒定律

八算八中 2023-09-08 发布于广东

展开全文

发展历史

当行星绕太阳运行时，太阳和行星之间的连线在相等的时间间隔内扫过相等的面积。自从开普勒阐述了他的第二行星运动定律以来，这一点就为人所知^[7]。牛顿得出了独特的几何证明，并继续证明太阳引力的吸引力是所有开普勒定律的原因。牛顿在《原理》中，在他的第一运动定律的例子中暗示了角动量。他对面积定律的几何证明间接证明了中心力情况下的角动量守恒^[3]。

莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）、丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）和帕特里克·达西都（Patrick Darcy）从面速度守恒的角度理解角动量，这是他们对开普勒行星运动第二定律分析的结果。1736 年，欧拉和牛顿一样，在他的《力学》中触及了一些角动量方程，但没有进一步发展它们^[14]。伯努利在 1744 年的一封信中写到了“旋转运动的力矩”，这可能是我们现在理解的第一个角动量概念^[15]。1799 年，皮埃尔-西蒙·拉普拉斯 (Pierre-Simon Laplace)首次意识到固定平面与旋转相关——他的不变平面^[16]。路易·波因索（Louis Poinsot）于1803年开始将旋转表示为垂直于旋转的线段，并详细阐述了“力矩守恒”^[17]。1852 年，莱昂·福柯（Leon Foucault）在一项实验中使用陀螺仪来显示地球的自转^[18]。

威廉·兰金（William Rankine）在1858 年的《应用力学手册》首次定义了现代意义上的角动量：一条线，其长度与角动量的大小成正比，其方向垂直于物体和固定点的运动平面。当从线的末端观察物体的运动时，物体的半径矢量符合右螺旋法则^[19]。

定义

经典力学中的定义

二维轨道角动量

角动量是一个矢量（更准确地说，是伪矢量），表示物体绕特定轴的旋转惯量和旋转速度（以弧度/秒为单位）的乘积。然而，如果粒子的轨迹位于单个平面内，则足以丢弃角动量的矢量性质，并将其视为标量（更准确地说，伪标量）^[20]。角动量可以被认为是线性动量的旋转模拟。因此，正如线性动量

与质量

和线速度

成正比，

，

角动量

与转动惯量

和以弧度/秒为单位的角速度

成正比，

^[21]。

与仅取决于物质数量的质量不同，转动惯量还取决于旋转轴的位置和物质的分布。与不依赖于原点选择的线速度不同，轨道角速度始终相对于固定原点进行测量。因此，严格来说，

应该是指相对于该中心的角动量^[22]。

对于单个粒子的圆周运动，我们可以使用

和

将角动量化简为：

。

如果使用垂直于半径向量的运动分量，这一简单的分析也适用于非圆周运动：

其中

是运动的垂直分量重新排列，代入到原式，得到：

，

其中

是力臂的长度，是从原点垂直落到粒子路径上的一条线。术语动量矩定义为力臂长度与线性动量的叉积^[23]。

三维轨道角动量

若物体运动时有一点固定不动，则相对于该点的总角动量为：

，

由于

是一个相对于物体的固定矢量，所以，相对于空间坐标系的速度

完全由刚体绕固定点的转动所引起。因此上式可以写成：

L=\Sigma m_i\left[ r_i\times(\omega\times r_i) \right]

，

把三重矢积展开，即有：

L=\Sigma m_i\left[\omega r_i^2-r_i(r_i\cdot\omega) \right]

，

再次展开，角动量的x分量为：

L_x=\omega_xm_i(r_i^2-x_i^2)-\omega_ym_ix_iy_i-\omega_zm_ix_iz_i

^[24]。

角动量的每一个分量都是角速度的所有分量的线性函数，角动量矢量通过线性变换与角速度矢量相关联。为了强调其与线性变换式的相似性，我们可以将角动量的x分量写成：

L_x=I_{xx}\omega_x I_{xy}\omega_y I_{xz}\omega_z

，

等九个系数是变换矩阵的九个元素，其中对角元就是通常所说的转动惯量系数，其形式为：

，

而那些非对角元则称为惯量积：

。

对连续体来说，应以体积分代替求和，而质点质量应该为质量密度。因此，如果用

表示坐标轴，则矩阵元

能表示为：

I_{ik}=\int_{v}\rho(r)(r^2\delta_{ik}-x_ix_k)dV

^[25]。

拉格朗日力学中的角动量

在拉格朗日力学中，围绕给定轴旋转的角动量是围绕同一轴的角度的广义坐标和共轭动量：

L_z=\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta_z}}

，

其中

是围绕z轴旋转角度对时间的导数，即角速度

。通常，拉格朗日量取决于通过动能的角速度。对于密度为

非点状物体，在其物体区域上进行积分，有：

\frac{1}{2}\int\rho(x,y,z)(x_i^2 y_i^2)\omega_{zi}^2dxdy=\frac{1}{2}I_{zi}\omega_{zi}^2

^[26]。

哈密顿力学中的角动量

哈密顿力学中引入了新的独立变量——广义动量p，并引入新的特征函数H(q, p, t)^[27]。哈密顿方程将绕z轴的角度与其共轭动量（绕同一轴的角动量）联系起来：

\frac{dL_{zi}}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial\theta_{zi}}

，

以及：

\frac{d\theta_{zi}}{dt}=\frac{\partial H}{\partial L_{zi}}=\frac{\partial L_{zi}}{\partial I_{zi}}

，

因此我们得到了以下结果：

L_{zi}=I_{zi}\cdot\dot{\theta_z}=I_{zi}\cdot\omega_{zi}

^[28]。

轨道力学中的角动量

在轨道力学计算中，质量通常并不重要，因为物体的运动是由重力决定的。系统的主体通常比周围运动的任何物体都大得多，因此可以忽略较小物体对其的引力影响；实际上，它保持恒定的速度。无论质量如何，所有物体的运动都以相同的方式受到重力的影响，因此在相同的条件下，所有物体的运动方式大致相同。在天体动力学和天体力学中，与角动量密切相关的量被定义为：

，

称为比角动量。注意

^[29]。

广义相对论中的角动量

对于粒子系统，总角动量只是各个粒子角动量的总和，并且质心是系统的质心。在笛卡尔坐标系中：

L=(xp_y-yp_x)e_x\wedge e_y (yp_z-zp_y)e_y\wedge e_z (zp_x-xp_z)e_z\wedge e_x

，

即：

L=L_{xy}e_x\wedge e_y L_{yz}e_y\wedge e_z L_{zx}e_z\wedge e_x

，

角速度也可以定义为反对称二阶张量，其分量为

.两个反对称张量之间的关系由转动惯量给出，转动惯量现在必须是一个四阶张量^[30]：

。

在相对论力学中，粒子的相对论角动量表示为二阶反对称张量：

M_{\alpha\beta}=X_\alpha P_\beta-X_\beta P_\alpha

，

用四个矢量表示，即四个位置的

和四个动量的

，并将上述

质矩，即粒子的相对论质量与其质心的乘积一起吸收，可以被认为是对其质心运动的描述，因为质能是守恒的^[31]。

电动力学中的角动量

在电磁体系中，电磁场对带电体的作用力为：

，

故力矩为：

dL=r\times dF=r\times(\rho E j\times B )d\tau

。

设带电体的机械角动量

，角动量的时间变化率等于作用在该体系上的合力矩，故：

\frac{dL_m}{dt}=-\frac{d}{dt}\int r\times(\rho E j\times B)d\tau

^[32]。

量子力学中的定义

经典上，一个粒子的轨道角动量（相对于原点）由下式给出：

其分量形式为，

L_x=yp_z-zp_y,L_y=zp_x-xp_z,L_x=xp_y-yp_x.

对应的量子算符由

p_x\rightarrow -i\bar{h}\partial/\partial x

，

p_y\rightarrow -i\bar{h}\partial/\partial y

，

p_z\rightarrow -i\bar{h}\partial/\partial z

得到，其中

为约化普朗克常数，

为虚数^[10]。

在量子物理学中，还有另一种角动量，称为自旋角动量，用自旋算子

表示。自旋通常被描述为绕轴旋转的粒子，但事实上，自旋是粒子的固有属性，与空间中的任何运动无关，并且与轨道角动量根本不同。所有基本粒子都具有特征自旋（可能为零）^[33]，并且几乎所有基本粒子都具有非零自旋^[34]。

对于一个粒子，总角动量

结合了所有粒子和场的自旋角动量和轨道角动量。角动量守恒适用于

，但不适用于

或

。例如，自旋轨道相互作用允许角动量在

和

之间来回转移，而总角动量保持恒定。电子和光子不需要具有基于整数的总角动量值^[35]。

原理

牛顿第三运动定律的旋转模拟可以这样写：“在封闭系统中，如果不对其他物质施加绕同一轴的相等且相反的扭矩，则任何物质都不能施加扭矩。” ^[36]因此，角动量可以在封闭系统中的物体之间进行交换，但交换前后的总角动量保持不变（守恒）^[37]。

从另一个角度来看，牛顿第一运动定律的旋转类比可以写成：“除非受到外部影响，否则刚体将继续处于匀速旋转状态。” ^[36]因此，在没有外部影响作用的情况下，系统的原始角动量保持恒定^[38]。

诺特定理指出，每个守恒定律都与基础物理的对称性（不变量）相关。与角动量守恒相关的对称性是旋转不变性。如果一个系统绕轴旋转任何角度，其物理性质都不会改变，则意味着角动量是守恒的^[39]。

角动量守恒定律也可以从牛顿第二定律中推导出来。假设某一刚体由大量质点组成，某时刻角速度为

，角加速度为

。现研究质量为

、距转轴垂直距离为

的任意质点k，作用在k上的力可以分为外力

（来自刚体以外一切力的合力）以及内力

（来自刚体以内各质点对质点k作用力的合力），按牛顿第二定律，有：

，

将两边投影到质点k圆轨迹切线方向，有：

，

对两边乘以

，并对整个刚体求和，则有：

(\sum_{k}{\Delta m_kr_k^2})\beta=\sum_{k}{F_{k\tau}r_k} \sum_{k}{f_{k\tau}r_k}

，

其中等式右边第一项为合外力矩，第二项为所有内力对旋转轴的力矩总和。由于内力成对出现，而且大小相等、方向相反，因此所有内力对旋转轴的力矩总和恒等于0^[40]。

应用

自然现象

角动量守恒用于分析中心力运动。行星和卫星轨道上的引力就是这种情况，其中引力总是指向主星体，而绕轨道运行的天体在围绕主星体移动时通过交换距离和速度来守恒角动量。对于行星来说，角动量分布在行星的自转和轨道公转之间，并且这些经常通过各种机制进行交换。由于月球对地球施加的潮汐扭矩，地月系统中的角动量守恒导致角动量从地球转移到月球。这反过来导致地球自转速度减慢，约为每天 65.7 纳秒^[11]，并导致月球轨道半径逐渐增加，约为每年 3.82 厘米^[41]。

花样滑冰运动员或芭蕾舞蹈演员快速旋转时，总是先将手脚伸开，以一定角速度转动，然后迅速收回手脚，转速就显然增加了。半径缩小时角速度增大，这同样是角动量守恒的体现^[42]；它同样体现在恒星的激烈旋转阶段。恒星是由一团不断收缩的气体和尘埃演化而来的，它的旋转起始于引力收缩作用和角动量守恒原理。正如滑冰者将双手并拢后旋转得更快一样，恒星的旋转速度也随着其直径的收缩而越来越快。只是后来恒星燃起了热核反应的烈火时，其旋转速度才逐渐减缓^[43]。

工业技术

利用角动量守恒获得实际优势的例子有很多。在蒸汽机或内燃机等发动机中，需要飞轮来有效地将活塞的横向运动转换为旋转运动。惯性导航系统明确利用了角动量相对于空间惯性系守恒的事实。惯性导航使潜艇能够在极地冰盖下航行，但对所有形式的现代导航也至关重要^[44]。线膛子弹利用角动量守恒提供的稳定性使其弹道更加真实。线膛枪和大炮的发明为使用者在战斗中提供了显著的战略优势，成为历史上的一个技术转折点^[45]。

陀螺效应也是角动量定理的表现。在外力矩作用下，旋转物体角动量改变，产生进动角动量。也就是说，在陀螺效应的作用下，转动的物体不会直接倒下，而是发生转动方向的改变。陀螺仪就是利用了陀螺效应，可以维持很大质量的物体不倒。我们在骑车的时候会发现骑得越快，越容易保持平衡，是因为在陀螺效应的作用下，轮子克服了重力，形成了进动，通过改变方向维持了自身平衡。而这种平衡状态与车轮的速度有关，速度越快，车轮的倾角越小，车身越稳定^[46]。