如何确定函数自变量的取值范围

如何确定函数自变量的取值范围

湖北省黄石市下陆中学　宋毓彬

为保证函数式有意义，或实际问题有意义，函数式中的自变量取值通常要受到一定的限制，这就是函数自变量的取值范围．函数自变量的取值范围是函数成立的先决条件，只有正确理解函数自变量的取值范围，我们才能正确地解决函数问题．

 

初中阶段确定函数自变量的取值范围大致可分为以下三种类型：

　　

　　一、函数关系式中自变量的取值范围

 

在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：⑴函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；⑵函数关系式为分式形式：分母≠0；⑶函数关系式含算术平方根：被开方数≥0；⑷函数关系式含0指数：底数≠0．

 

例1．在下列函数关系式中，自变量x的取值范围分别是什么？

 

⑴y=2x-5； ⑵y=； ⑶y=； ⑷y=； ⑸y=（x-3）⁰

 

　　解析：⑴为整式形式：x的取值范围为任意实数；

　　⑵为分式形式：分母2x+1≠0　∴x≠－    ∴x的取值范围为x≠－；

　　⑶含算术平方根：被开方数3x-4≥0  ∴x≥   ∴x的取值范围为x≥；

　　⑷既含分母、又含算术平方根，故  ∴x≥－2且x≠0

　　

　　x的取值范围为：x≥－2且x≠0

 

　　⑸含0指数，底数x-3≠0  ∴x≠3，x的取值范围为x≠3．

　　

　　二、实际问题中自变量的取值范围．

　　

　　在实际问题中确定自变量的取值范围，主要考虑两个因素：

　　

　　⑴自变量自身表示的意义．如时间、用油量等不能为负数．　　

　　

　　⑵问题中的限制条件．此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围．

 

例2、某学校在2300元的限额内，租用汽车接送234名学生和6名教师集体外出活动，每量汽车上至少有一名教师．甲、乙两车载客量和租金如下表：

	甲种车辆	甲种车辆
载客量（单位：人/辆）	45	30
租金（单位：元）	400	280

设租用甲种车x辆，租车费用为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

 

　　解析：⑴由题设条件可知共需租车6辆，租用甲种车x辆，则租用乙种车辆（6－x）辆．

     

　　y=400x+280（6-x）=120x+1680

 

∴y与x的函数关系式为：y=120x+1680

 

⑵自变量x需满足以下两个条件：

 

  240名师生有车坐：45x+30（6-x）≥240    ∴x≥4

 

  费用不超过2300元：120x+1680≤2300     ∴x≤5

 

∴自变量x的取值范围是：4≤x≤5

　　

　　三、几何图形中函数自变量的取值范围

 

几何问题中的函数关系式，除使函数式有意义外，还需考虑几何图形的构成条件及运动范围．特别要注意的是在三角形中“两边之和大于第三边”．

 

例3．若等腰三角形的周长为20cm，请写出底边长y与腰长x的函数关系式，并求自变量x的取值范围．

 

解析：底边长y与腰长x的函数关系式为：y=20-2x

 

①x表示等腰三角形腰长：x≥0

 

②三角形中“两边之和大于第三边”：2x＞y   即2x＞20-2x  ∴x＞5

 

③等腰三角形底边长y＞0，20-2x＞0，∴x＜10

 

∴自变量x的取值范围是：5＜x＜10

 

作者简介：宋毓彬，男，43岁，中学数学高级教师．在《中学数学教学参考》、《数哩天地》、《中学生数学》、《数理化学习》、《数理化解题研究》、《中学课程辅导》、《数学周报》、《数学辅导报》等报刊发表教学辅导类文章40多篇．主要致力于初中数学中考及解题方法、技巧等教学方面的研究．