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摇橹青年妙答皇帝难题中的思维 杏花春雨江南，杭州西湖游人如织．一列豪华的船队出现在湖上，缓缓向湖心驶去，原来是皇帝带着大臣和嫔妃也来游湖了．
皇帝饱览湖光山色之余，面对盈盈春水，忽然提出一个问题：“这西湖的水，如果用缸来舀，有多少缸呢？”
皇帝身边的人听了，个个面面相觑，半天答不上来．老宰相一向号称智囊，这时只是皱眉搔头；李妃平时伶牙俐齿，善于应对，这时也变成哑巴．皇帝问左边的人，左边的人惶恐地低头；皇帝问右边的人，右边的人也同样木然． 正在尴尬万分的时候，船尾一位摇橹的青年跑向船头向皇帝跪下．
宰相喝问：“你有何事奏报？”
青年说：“启奏万岁，这西湖有多少缸水，要看用来量水的缸有多大．如果用跟西湖一样大的缸来量，就是一缸；如果用比西湖小一半的缸来量，就是两缸；如果用比西湖大一倍的缸来量呢，那就只有半缸了．”
皇帝听了微微点头说：“答得好！”又瞟了一眼面前的大臣嫔妃，不胜感慨地说：“想不到满朝大臣、众多嫔妃，连一个摇橹青年都不如！”
细品上述故事，青年的确答的妙．妙就妙在一个众人不易回答的问题，青年能分情况巧妙答出．他这种思考问题的方法，实际上就是数学中常说的分类讨论思想．
所谓分类讨论思想，就是首先根据题目要求确定分类对象；其次针对对象选择分类标准进行合理分类；最后对分类合并归纳，作出综合性结论．分类讨论的思想是一种重要的数学思想，对培养思维的慎密性大有裨益．
等腰三角形是一种特殊的三角形，除具有一般三角形的性质外，还具有一些独特的性质，如两底角相等，两腰相等．正是由于它的特殊性，我们在解等腰三角形的有关题目时必须全面思考，分类讨论，以防漏解．
一、已知等腰三角形的一个角，求其他两个角
例1 (10楚雄)已知等腰三角形的一个内角为70°，则另两个内角的度数是( )
A．55°，55° B．70°，40° C．55°，55°或70°，40° D．以上都不对
分析：由于已知条件没有明确告诉70°的角是顶角还是底角，因此需要分类讨论．
解：当70°的角为顶角时，则每个底角的度数为
当70°的角为底角时，另一个底角也为70°，则其顶角的度数为180°-70°×2=40°．
所以另两个内角的度数为55°，55°或70°，40°，答案选C．
评注：在等腰三角形中，如果给定一个角的度数，求另外两角的度数，也就是说，给定的角没有明确是顶角还是底角，求解时，要按顶角或底角来进行分类讨论．可以发现：当已知角为直角或钝角时，该角只能为顶角，即只有一组解；当已知角为60°时，无论它是顶角还是底角，其他两个角都是60°．
二、已知等腰三角形的两边，求周长
例2 (10襄樊)已知：一等腰三角形的两边长x、y满足方程组
A．5 B．4 C．3 D．5或4
分析：解方程组可得x=2，y=1，由于长为2(或1)的边可能是腰长，也可能是底边长，因此需要分类讨论．
解：解方程组
所以等腰三角形的两边分别为2，1．
当腰长为2，底边长为1时，因为1+2＞2，三边能够构成三角形，则其周长为2+2+1=5；
当腰长为1，底边长为2时，因为1+1=2，三边不能够构成三角形．
所以等腰三角形的周长为5，答案选A．
评注：在等腰三角形中，如果给定两边的长，并没有明确哪条边是腰长或底边长，求解时，要按腰或底边来进行分类讨论．需要注意的是：无论是通过哪一种假设得出的一组数值，都必须利用“三角形较短两边的和大于较长的边”来验证．
三、已知一条线段，确定符合条件的等腰三角形的顶点的个数
例3 (10荆门)如图1，坐标平面内一点A(2，-1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )
图1 A．2 B．3 C．4 D．5
分析：OA可能为底边，也可能是腰，因此需要分类讨论．
解：(1)当OA为底边时，作OA的垂直平分线l交x轴于点P1，则△OP1A是以点P1为顶点的等腰三角形；
(2)当OA为腰时，①以点O为圆心，以OA为半径画弧，交x轴于点P2，则△P2OA是以点O为顶点的等腰三角形；②以点A为圆心，以OA为半径画弧，交x轴于点P3(另一交点为O)，则△P3AO是以点A为顶点的等腰三角形．
所以符合条件的动点P的个数有三个，答案选B．
评注：从本例不难发现已知一条线段求符合条件的等腰三角形的顶点的个数的方法：作已知线段的垂直平分线或以已知线段的一个端点为圆心，已知线段长为半径画弧，垂直平分线或弧与相关直线的交点即为符合条件的等腰三角形的顶点．
四、已知一个等腰三角形，确定从一个顶点出发的直线将其分割成两个等腰三角形的顶角或底角的度数
例4 (10天门)从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于＿＿＿＿．
分析：如图2，在△ABC中，AB=AC，过底角顶点B的直线将△ABC分成两个等腰三角形△ABD和△BCD．其中在等腰三角形△ABD中，必有AD=BD(为什么？)，从而等腰三角形△ABD的形状确定．而在等腰三角形△BCD中，只有两种可能情况：BD=BC或BC=CD(为什么没有BD=CD？)．因此解答本题需要分类讨论．
图2
解：在△ABC中，AB=AC，过底角顶点B的直线将△ABC分成两个等腰三角形△ABD和△BCD．
(1)若AD=BD，BD=BC，如图3，
图3
则∠A=∠ABD，∠C=∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A．
∴∠A+2∠A+2∠A=180°．
∴∠A=36°．∴∠ABC=72°．
(2)若AD=BD，BC=CD，如图4，
图4
则∠A=∠ABD，∠CBD=∠CDB=∠A+∠ABD=2∠A．
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=3∠A．
∴∠A+3∠A+3∠A=180°．
∴∠A=(
综合(1)、(2)，原等腰三角形纸片的底角等于72°或(
反思：上述中考题是从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，如果从一个等腰三角形纸片的顶角顶点出发，情况又如何呢？请同学们思考．
快乐体验：
1．(10泰州)等腰△ABC的两边长为2和5，则第三边长为＿＿＿．
2．(10东阳)已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为( )
A．40° B．100° C．40°或100° D．70°或50°
3．(10株洲)如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
4．(10内江)下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点，图1中以格点为顶点的等腰直角三角形有4个，图2中以格点为顶点的等腰直角三角形有＿＿＿个，图3中以格点为顶点的等腰直角三角形有＿＿＿个，图4中以格点为顶点的等腰直角三角形有＿＿＿个.
参考答案：
1．5 2．C 3．C 4．10，28，50 2011-08-24 人教网 |
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