方程与根的判别式、根与系数的关系有关问题及应用

退休的蔡文姬 2012-05-17

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方程与根的判别式、根与系数的关系有关问题及应用

寒假专题——方程与根的判别式、根与系数的关系有关问题及应用

学习目标：

1. 复习一元二次方程解法，判别式，根系关系，深化提高认识，在此背景下，结合几何、三角或其他代数知识解决问题。

2. 掌握方程与生产、生活及市场经济有关的应用，能正确理解题目意义，建立数学模型，最终解题。

3. 通过练习一些中考热点，重点考题，明确考试的范围及要求程度。

二. 重点、难点

对基础知识熟练掌握是本节重点；难点是灵活应用新旧知识，融汇贯通。

【典型例题】

例1. 若方程的两个实数根的倒数和是S，求S的取值范围。

解：设方程的两个实数根为，则

，

方程有两个实数根

，且

且

由，得

，且

且

例2. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，求的值（含有m代数式）

解：已知方程有两个不等实数根

由根与系数关系知

由此可知的符号与m有关

（1）当时，

此时，与同号

又

，

（2）当m＝1时，，此时方程为，它的两根为，

，

（3）当时，，则与异号

为正，为负

例3. 已知关于x的方程（p为实数）

（1）求证：此方程必有两个不相等的实数根；

（2）设、是关于x的方程的两个根，且，若和是方程的两根，求实数q的值。

证明：（1）

关于x的方程必有两个不相等的实数根

（2）

是方程的两根

由<2>得：

由<1>，

符合题意

例4. 已知关于x的方程，其中m为实数，当m为何值时

（1）方程没有实数根？

（2）方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根。

解：（1）令，则原方程可化为

解得

由此得①或②

对于①由，得

对于②由，得

当时，原方程没有实数根

（2）由（1）可得，当时，方程①有两个相等的实数根，但此时，方程②没有实数根，不合题意；当时，方程②有两个相等的实数根，此时方程①有两个不相等的实数根

当时，原方程有三个互不相等的实数根

例5. 关于x的方程①与②，若方程①的两个实数根的平方和等于方程②的一个整数根，求m的值。

解：设方程①的实数根，

③

， ④

⑤

由方程②解得

若

即，即

，此时（舍）

故应舍去

若，则，即

当时，（舍去）

当时，是整数根，且满足不等式③

因此方程①的根是实数

例6. 已知，关于x的方程①的两个实数根的倒数和等于3，关于x的方程②有实数根，且k为正整数，求代数式的值。

解：设方程①的两个实数根为，根据题意

即 ③

解得

经检验是方程③的解，且使方程有实数根

将代入方程②，得

当时，一元一次方程有实数根

，当时，方程②为一元二次方程，且

解得

又k为正整数，且

，而时代数式无意义

综上所述，代数式的值为0

例7. 某商店从厂家以每件21元价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖出件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20％，商店计划赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品应售价多少元？

解：设每件商品应售价x元，才能使商店赚400元

又

而

舍去，

当时，

答：该商店需卖出100件商品，每件商品应售价25元才能使商店赚400元。

例8. 为了参加北京市申办2008年奥运会活动，（1）某班学生争取到制作240面彩旗的任务，有10名学生因故没有参加制作，因此这班的其余学生人均均要比原计划多做4面彩旗才能完成任务，问这个班有多少名学生？（2）如果有两边长分别为1，a（其中a>1）的一块矩形绸布，要将它剪裁出三面矩形彩旗（面料无剩余），使每面彩旗的长，宽之比与原绸布的长、宽之比相同，画出两种不同裁剪方法的示意图，并写出相应a的值。