代数：分式及分式的基本性质 几何：三角形的内角和

代数：分式及分式的基本性质 几何：三角形的内角和  

 代数：分式及分式的基本性质

    几何：三角形的内角和

 

［学习目标］

    代数：理解分式，掌握分式的基本性质。

    几何：掌握三角形内角和定理及其3个推论。

 

二. 重点、难点：

  1. 重点：

    代数：分式的概念，分式的基本性质。

    几何：内角和定理及其3个推论。

  2. 难点：

    代数：分式中分母以及基本性质。

    几何：定理的证明，外角的概念。

 

三. 主要内容：

［代数］

  1. 分式：

  2. 有理式

  3. 分式无意义与分式的值是零。

  4. 分式的基本性质：

    （A、B、M都是整式，其中B、M是不等于零的整式。）

  5. 分式的符号法则：

    分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。

 

［几何］

  1. 三角形内角和定理及其证明：

   

   

  2. 三角形按角的分类：

   

  3. 推论1：直角三角形的两个锐角互余。

           （由直角三角形内角和性质得）

  4. 三角形的外角：

   

  5. 谁论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

    推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

 

【典型例题】

  例1. 分式的值为零时，x的值是多少？

    分析：（1）首先分式要有意义，即分母；

          （2）分式值为零要求分子为零，即。

    解：由得：

    又由得：

    所以，时，分式的值为零。

 

  例2. 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。

    （1）；（2）

    分析：（1）怎样才能不改变分式的值？

          （2）怎样把系数都化为整数？

    解：（1）

    （2）

 

  例3. 不改变分式的值，把分式中分子、分母的多项式各项系数化成整数，并使最高次项的系数为正。

    分析：（1）首先把各项系数变为整数。

          （2）其次利用分式的符号法则使最高次项的系数为正。

    解：

     

 

  例4. 任何一个三角形中，至少有几个锐角？至多有几个锐角？

    分析：一个三角形中有三个角，

    （1）如果三个角中没有锐角，即是说三个角都≥90°，三个角加起来≥270°，这与三角形内角和等于180°不符，所以三角形三个角中不可能没有锐角。

（2）如果三角形中只有一个锐角，那么其它两个角≥90°，也与三角形内角和等于

180°不符，所以三角形中不能只有一个锐角。

    （3）如果三角形中有两个是锐角，第三角≥90°，三角和可能等于180°。

    （4）如果三角形中三个角均为锐角，也有可能三角和等于180°。

    解：任何一个三角形中，至少有2个锐角，至多有3个锐角。

 

  例5. 如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE、CD相交于F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°。

    求：（1）∠BDC度数；

        （2）∠BFD度数。

    解：（1）∠BDC是△ADC的一个外角，由推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

    所以，∠BDC＝∠A＋∠ACD＝62°＋35°＝97°

    （2）在△BFD中，根据三角形内角和定理，知：

    ∠ABF＋∠BDF＋∠BFD＝180°

    又∠ABF＝∠ABE＝20°，∠BDF＝∠BDC＝97°

    所以∠BFD＝180°－20°－97°＝63°

 

  例6. 已知△ABC的三个内角为A、B、C，令，，则中锐角的个数最多为几个？

    分析：因为，，可以把看成与角C、B、A相邻的外角，中锐角的个数与C、B、A中钝角的个数是相同的。而在任何三角形的内角中，钝角至多有一个，所以中锐角的个数最多有1个。

    解：中锐角的个数最多为1个。

 

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

一. 当x取何值时，下列分式有意义？

    （1）

    （2）

    （3）

    （4）

 

二. 当x取何值时，下列式子值为零。

    （1）

    （2）

 

三. 不改变分式的值，使下列各分式的分子与分母的最高次项的系数都是正数。

    （1）

    （2）

 

四. 如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB，求∠BDC的度数。

 

【试题答案】

一. 当x取值时，下列分式有意义：

    （1）时，分式都有意义。

    （2）由得时，分式有意义。

    （3）由得且时，分式有意义。

    （4）由得且时，分式有意义。

二. 当x取何值时，下列式子值为零。

    （1）由得：或

    又得：

    所以，当时，式子值为零。

    （2）由得：或1

    又得：且

    所以时，式子值为零。

三. 解：（1）

        （2）

四. 解：