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无穷小精灵——第二次数学危机

2012-05-24  老庄.

作者:七是

数学是唯一有用的的形而上学——L.开尔文勋爵

这是微积分的胜利——海湾战争时美国一网友的评论

希腊以后人类经历了漫长的思想停滞终于迎来了伟大的文艺复兴和启蒙运动而步入现代。但丁、达.芬奇、哥白尼、伽利略、开普勒、笛卡尔……这些名字不仅代表着一个个独立而不屈服的灵魂,还代表着那个时代的辉煌。他们共同吹响了人类航船驶入现代化的起航号角。人们急切地等待聆听这序曲之后的乐章;等待着划分古代与现代的原点式的人物的出现以及他所开创的事业——艾萨克.牛顿、莱布尼茨和微积分,他们和他们所代表的成就注定成为人类告别旧世界的终点和开创新未来的起点!微积分的发明除了能推导出已经发现的宇宙定律之外,还为创立许多新的科学领域提供了动力。

微积分的创始人牛顿和莱布尼兹

17世纪三位伟大的思想家,费马、牛顿和G.W.莱布尼茨的微积分思想不但被迅速的接受而且其思想的传播与应用迅速形成了势不可挡的时代潮流。

一般认为卓越人物从根本上来说和所处的时代势不两立,“开放性”是现代理论的基础之一。不随波而行的思想和人格,冷峻而严厉的审视目光是检验剖析新思想的真伪的解剖刀,是磨砺思想之剑的砥石。同样,微积分思想也是在讨论与质疑中成长起来的,新理论是在拷问与辩驳中由娇艳的温室花朵成长为风姿绰约的大树。

站在巨人肩膀上

微积分的创立,首先是为了解决17世纪重点科学问题。1、已知物体运动的“距离——时间”函数关系求任意时刻的速度和加速度。“任一时刻”的时间间距是0,那么他的位移量也必然是0,这就出现了v=0/0的困难;2、求曲线的切线,研究成像光学不能回避的“切线、法线”如果没有理论突破,应用技术也会出现“营养不良”而不能发展;3、求函数的最大、最小值。例如,“弹道学”就必然涉及此类问题;4、求曲线的长、曲线围出的面积、曲面围出的体积、物体的重心问题。

牛顿、莱布尼茨是站在“巨人肩膀上”的求知者,我们下面大略列出他们之前的先行者的脚步:

  1. “古代时期的现代人”希腊人阿基米德(约公元前287—前212)是古代最伟大的智者和彻底的现代派。已经能用他发明的“穷竭法”计算曲线平面图形面积和曲面所围体积;
  2. 伽利略把力学与几何学联系在一起用“相似三角形近似法”求出了如y=xn曲线的切线;
  3. 伟大的费马在计算曲线切线时已经开始涉及到了“极限思想”,并提出了具有实用价值的处理方法,并在“最值问题”上取得了部分突破;
  4. 艾萨克.巴罗(牛顿的老师)用“特征三角形相似比”的方法解决了一大类微积分问题;
  5. 开普勒(行星运动三定律的发现者)已经开始研究面积、体积、重心、曲线长问题;
  6. 卡瓦列里(伽利略的学生)提出了“点动成线,线动成面,面动成体。”的思想;1693年,证明了(为便于阅读,本文均以现代数学符号叙述)n为1-9的整数,成立。尽管卡瓦列里的方法遭到批评,但还是有很多数学家使用其方法。实际上费马1636以前就知道上式除-1以外对任何有理数都成立!
  7. 1634年,用“不可分法”罗伯勃已经能够计算多种曲线所围出的面积。

……

经过漫长的积累,时代呼唤具有足够洞察力的人将这些研究碎片统一起来;此人还需要非常的想象力从纷乱的猜测中挖掘出有价值的思想并能够完成宏大的计划,牛顿、莱布尼茨站了出来!

牛顿从物理方面着手考察运动的速度、加速度等概念;莱布尼茨则从哲学方面的“最终微粒——单子”取道。他们共同打开了微积分的大门。他们的工作主要是凿开前人顽固的“几何脑袋”摒弃了诸如“特征三角形”的笨拙方法,采用了代数方式处理了导数与积分,完成了微积分方法从“特殊到一般”的升华;他们以深刻的洞察力发现了微分与积分是互逆运算,以此提出了“微积分基本定理”。微积分基本定理是微积分思想走向成熟的闸门,打开了这道闸门,微积分思想汇入了“人类科学理性思想”的滚滚洪流中。

第二次数学危机——“逻辑”!要命的逻辑!

由于微积分的诞生不是严格按照“逻辑线路”生成的,包括牛顿和莱布尼茨本人都对微积分的那个“微小量”的处理是否合法也产生过怀疑,很快,许多人也发现了那个“微小量”在逻辑中产生的悖论。

为了方便读者,下面我们以牛顿的流数法为典型,举个特殊的简单的例子来看看问题出在哪里:(用现代代数符号列出)

“如果一个物体的运动方程是y=x2(y表示位置,x表示任一时刻),那么它在任一时刻的速率是怎样的?”(脱离开“运动”的概念,将y=x2看作函数也可。)

解:第一步:欲求速度v,有一个求平均速率公式:=s/t(速度等于距离除以时间)

第二步:根据运动方程y=x2我们给出一段“微小”运动时间△x=h;那么这段时间位移量就是

第三步:平均速度;也就是

第四步:

第五步:消去h得 =2x+h

第六步:当这个“微小时间增量h趋近于0时,我们就可以把平均速率看成瞬时速率v”那么v=2x+0;

得出结论:瞬时速率v=2x

这样,只要给出任意时刻x,我们就可以很方便的求出任意时刻的瞬时速率v了!

但是,以上计算出现了一个明显的逻辑悖论——“微小量h”是什么?

“如果h是0,那么第三步中不能做分母;如果h不是0,第六步怎么又等于0了?”

牛顿使用了“最初比与最终比”来解释这个悖论;莱布尼茨的追随者使用“无穷小的非0量”以求过关。但追究起来,这些说法无非是“文字花招”不但不能解决悖论,甚至带来更多的混乱。

那么,在微积分的基础上出现了如此大的“漏洞”情况下,牛顿和莱布尼茨怎么还会相信其方法的正确性呢?

指引牛顿、莱布尼茨沿着一条正确道路前进的正是直觉和物理上的结论,而不是逻辑。一个个“物理事实”坚定了二人的信心,也给这两个思想巨人指明了行动的方向。

后来数学家甚至评论说“如果牛顿知道连续函数并不都是可导的,(如f(x)=|x|,在原点就不可导)那么微积分就不会诞生了”。

由于早期微积分的研究缺乏严密性,所以在整个这门学科内部争吵声连绵不绝。牛顿同时代数学家M.罗尔就带嘲讽意味的说微积分是“精巧机智谬论”的汇编。牧师贝克莱更是出版了一本颇具影响的小册子,把“微小增量”嘲讽的称之为“无穷小精灵”。

这些早期微积分的发明者问题出在哪里呢?

现在我们已经知道,问题在于“怎样定义无穷小。”由于牛顿时期数学家把“无穷∞”当作了一个明确的“数”来对待,这样用“无穷小是无穷大的倒数”定义就必然走入歧途。

尽管牛顿、莱布尼茨在微积分技术方面做出了具有深远意义的的进展,但他们为这门学科建立在严格基础上方面却没有贡献,他们的相关著作中,围绕当时还没有受到重视的极限概念的正确性相互诋毁、辩论,甚至多次否定自己先前的说法。在处理极限理论方面两人不但都没有成功,还给同时代的人甚至他们的多数后继者带来了混乱。

数学家的工作就是在自圆其说。

从“不用马拉的车”的概念到“现代汽车”的概念,两者之间的空白是由100多项重大发明、数百项小的发明才能填补起来。牛顿、莱布尼茨的微积分与现代被认为“令人满意”的微积分,两者之间空白也是由数百名伟大的或名不见经传的数学家的工作才填补起来的,经过150年,才大体产生出一门逻辑相对完备和严密的微积分。

现代理论的特点之一就是“叙述逻辑清晰,概念内涵明确,不能有含糊”,一个新的理论诞生并不是严格按照“逻辑射线”指向单向发展的,理论的完善就是把一个个“模糊点”清晰化,通俗化。

牛顿去世后不久首先站出来决心克服“无穷小精灵”危机的人是C.麦克劳林,1742年出版了这方面的著作,之后人们写出了许多想利用逻辑使微积分达到严密性这一目的著作;在牛顿和莱布尼茨去世大约100年后J.L朗格朗日和L.欧拉做出了杰出的贡献,并且他们都看到“基础不稳固的微积分之所以得到正确的结果仅仅是因为在逻辑过程中错误相互抵消了”。

……

彻底解决疑问的数学家主要是柯西和魏尔斯特拉斯等人。

1821年卓越的法国数学家A.L.柯西出版了著作《分析教程》(至今仍是流行的分析学教科书之一!)中成功的用现代极限理论来说明导数的本质。他将导数明确定义如下:

“现代分析学之父”魏尔斯特拉斯又用了“ε-δ”语言一举克服了“lim困难”,他将极限定义如下:

设函数f(x)在x0的某个“去心领域”内有定义,则任意给定一个ε大于0,存在一个δ大于0,使得当

时,不等式成立;

则称A是函数f(x)当x趋近于x0时的极限,记成

至此!第二次数学危机算是圆满度过。

部分大一的学生对现代极限理论的“ε-δ”语言表述不容易接受,似乎好像存在天生的反感,使学习数学分析课程出现了一些困难。

中国数学家近年来采取“不等式”初等方法来解决“极限问题”并取得了一些初步成果,有兴趣的读者可以参看张景中《直来直去的微积分》,但是由于“极限理论体系”涉及到高等数学方方面面,要解决函数论、复变函数等的全部基础问题“不等式方法”还远不能胜任。

微积分不是现代高等数学的巅峰,而是分析学的基础。

如读者觉得本文“数学部分”有困难,可以直接跳过,文字部分也大体可以了解本文含义,关于微积分思想和发展历程笔者准备以后再和读者交流。


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