数学史话之第二次数学危机

在开始我们的第二次数学危机之旅前，我又要问大家一个问题了：古希腊神话中跑得飞快的阿喀琉斯能不能追上一只乌龟？你们肯定会以为我是疯了，不用阿喀琉斯，你们自己就能追上。可是让我来给你分析一下后，你还会这么想吗？且听科普君道来。

布拉德皮特饰演的阿喀琉斯

我们假设在阿喀琉斯和乌龟的竞赛中，阿喀琉斯速度为乌龟的十倍，乌龟在前面100米，小阿在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了，阿喀琉斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远也追不上乌龟！这就是著名的芝诺悖论（Zeno's paradox）。芝诺又是一个古希腊的数学家、哲学家。

芝诺

现在看来，我们会觉得这个悖论很荒谬。因为我们在考虑这个问题的时候，时间与空间是联系在一起的，而在这个悖论中，时空是割裂的。所以阿喀琉斯与乌龟之间的距离不可能是无限小而不可达，而是在一个特定的时间点上，这个距离是0，阿喀琉斯追上了乌龟。但是这个无限小和0之间什么时候能够重合起来，这是一个很严重的问题。只不过在当时，人们搞不清楚这个问题，并且也用不到，所以这个悖论只是一个悖论，并没有被解决。

芝诺悖论

时间转到了十七世纪，伟大的科学家牛顿和莱布尼茨为了解决物体运动的距离与时间的函数关系、曲线的切线以及函数的最值问题等而各自独立发明了微积分这个划时代的计算工具。说到这，有人会说：我又不懂微积分，你跟我说这个我不懂啊。不要着急，听科普君给你一分析，你就明白了。微积分其实是微分和积分的合称，微分是降维的过程，比如著名的小吃云片糕，把一整块糕点切成一个个薄片，就是微分；积分是升维的过程，把这一个个的薄片组合成一整块的糕点，就是积分。（不好意思，科普君是个吃货）。

牛顿

莱布尼茨

当微积分被发明出来以后，一时风光无两，因为这个工具在计算那些原来很麻烦的问题时实在太方便了。然而微积分的发明并不是严格按照“逻辑线路”生成的，而是按照实际应用产生的，所以它在逻辑上是有漏洞的，这个漏洞就是最小量的问题。就是我们上面说的云片糕的厚度问题，云片糕切成1毫米厚还是0.1毫米厚并不影响你吃，但是在数学上，这个厚度是需要去定义的，不然就又是一个“无限小”和“0”之间的争论了。问题是这个漏洞直接攻击的是微积分的基础，无穷小量究竞是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成了第二次数学危机。

云片糕

现代理论的特点之一就是“叙述逻辑清晰，概念内涵明确，不能有含糊”，一个新的理论的诞生并不是严格按照“逻辑线路”指向单向发展的，而是通过实际应用产生的，就很难经得起这个逻辑的推敲。所以在牛顿和莱布尼茨之后，大量的数学家们做出了无数的努力，最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人解决了这个问题。法国数学家柯西（这个人在我们学习高等数学的时候经常出现，还是个考试重点）用现代极限理论来说明了导数的本质，他将导数明确定义为：

，而“现代分析学之父”魏尔斯特拉斯又用了“ε-δ”语言一举克服了“lim困难”，他将极限定义如下：设函数f(x)在x0的某个“去心领域”内有定义，则任意跟定一个ε>0，存在一个δ>0，使得当0<><><>

至此，第二次数学危机圆满度过。