用“弦图”求面积

 用“弦图”求面积

 

    同学们，你们好！今天，我们一起来研究“弦图”的知识。

    这就是一个“弦图”。“弦”图是由八个完全一样的直角三角形拼成四个相同的长方形围成的，中间空出一个小正方形。

    三国时期的吴国数学家赵爽，就利用这“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明。

    我们也可以根据“弦图”中大小正方形与长方形的关系，得到一些面积问题的解题思路。

 

（一）阅读思考

  例1. 有一大一小的两个正方形（如下图），对应边之间的距离都是1厘米，如果夹在两个正方形之间部分的面积为12平方厘米，那么大正方形的面积是多少？

    分析与解答：要想求出图中大正方形的面积，根据公式，只要先求出大正方形或小正方形的边长就行。下面我们就设法求出这两个量中的某个量。

    解这道题有很多种方法；但都要添加辅助线。

    方法1：

    方法2：

    方法3：

    方法4：

    图中两个梯形共12平方厘米，它们每个面积是平方厘米，因为梯形的高是2厘米，所以梯形上下底之和是厘米，上下底之差是2厘米，所以梯形的上底（大正方形边长）是4厘米，所以大正方形面积是平方厘米。

 

  例2. 从一个正方形的木板上锯下宽0.5米的一个长方形木条以后，剩下的长方形的面积为5平方米，问锯下的长方形木条的面积等于多少？

    分析与解答：我们可以将四个剩下的长方形这样的木板拼成一个如下图的“弦图”。

    从图中可以看出，中间的小正方形面积是平方米，大正方形的面积是平方米。

    由于，所以大正方形的边长是4.5米。也就是剩下的长方形的长和宽的和是4.5米，长与宽的差是0.5米。从图中也可以看出，大正方形的边长＝小正方形边长＋长方形宽×2，所以长方形的宽是2米，那么长是2.5米。所以锯下的木条的面积是平方米。

 

（二）尝试体验

  1. 四个完全一样的长方形木板，拼成如图的正方形，大正方形周长32厘米，小正方形周长8厘米。求：每块长方形木板的面积和周长。

  2. 同样大小的长方形纸片摆成下面这样的图形。已知每张小纸片的宽是12厘米，求阴影部分的总面积。

  3. 四个相同的小长方形，宽是1厘米，它们的面积和是12平方厘米，求正方形ABCD的面积。

  4. 有9张相同的小长方形卡片，摆成一个大长方形，已知每个小长方形的周长是18厘米，宽是4厘米，求大长方形的面积。

  5. 从一块正方形玻璃上裁下宽为16分米的一长方形条后，剩下的那块长方形的面积为336平方分米，原来正方形的面积是多少平方分米？

  6. 计划修一个正方形的花坛，并在花坛周围铺上宽2米的草坪，草坪的面积是40平方米，那么修建花坛需占地多少平方米？

 

答案见名师面授！

 

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

1、有一条红色的正方形丝巾，它的边长是30厘米，丝巾上横竖各有两道宽均为5厘米的黑条，如图中的阴影部分，则丝巾黑色部分的面积是__________平方厘米。

2、四个一样的长方形和一个小正方形拼成一个大正方形，如图，已知大、小正方形的面积分别为81和25平方厘米，则长方形的长是___________厘米，宽是__________厘米。

3、如图，用同样大小的长方形纸片拼成一个大长方形，已知，每张小纸片的宽是8厘米，则阴影部分的面积的和是_________平方厘米。

4、一个斜边是40厘米的直角三角形，两条直角边之差是6厘米，则这个直角三角形的面积是__________平方厘米。

5、用同样的长方形条砖，在一丛花的周围镶成一个正方形边框，如图，边框的外周长为288厘米，里面的小正方形面积为1600平方厘米，则每块长方形砖的长是_________厘米，宽是___________厘米。

6、计划修一个正方形的花坛，并在花坛的周围铺上宽4米的甬道，甬道的面积是80平方米，那么修建花坛（包括甬道）需占地___________平方米。

7、如图，小长方形的长是宽的2倍，两个长方形对应边的距离是1厘米，夹在大、小两个长方形之间的面积是64平方厘米，则小长方形的面积是__________平方厘米。

8、26个长为6厘米的小纸片，摆成如图所示的图形，则阴影部分的面积和是________平方厘米。

 

【试题答案】

1、答案：500

  解析：丝巾黑色部分的面积为（平方厘米）。

2、答案：7，2

  解析：由已知得，大正方形的边长为9厘米，小正方形的边长为5厘米，又因为长方形的长加宽等于大正方形边长，长减去宽等于小正方形边长，

所以长方形的长为（9＋5）÷2＝7（厘米），宽为（9－5）÷2＝2（厘米）。

3、答案：48

  解析：由原图可知，5个小长方形的长等于3个小长方形的长加3个宽，所以2个小长方形的长等于3个长方形的宽，则小长方形的长为（厘米），

  每个小阴影部分的边长为12－8＝4（厘米），

  所以阴影部分面积的和为4×4×3＝48（平方厘米）。

4、答案：391

  解析：用四个这样的直角三角形拼成如图所示的大正方形。

  大正方形的面积为（平方厘米），

  小正方形的面积为6×6＝36（平方厘米），

一个直角三角形的面积为（1600－36）÷4＝391（平方厘米）。

5、答案：28，16

  解析：由原图可知长方形砖的2个长加上1个宽为288÷4＝72（厘米），由已知得，小正方形的边长为40厘米，即长方形砖的2个长减去1个宽为40厘米，所以长方形砖的长为（厘米），宽为（厘米）。

6、答案：81

  解析：如图，小长方形的面积为80÷4＝20（平方米），小长方形的长为20÷4＝5（米），大正方形的边长为4＋5＝9（米），所以修建花坛需占地为9×9＝81（平方米）。

7、答案：200

  解析：如图，长方形A的面积为（64－1×4）÷6＝10（平方厘米），长方形A的长为10÷1＝10（厘米），所以小长方形的面积为（10×2）×10＝200（平方厘米）。

8、答案：8

  解析：由原图可知，3个小纸片的宽等于它的长，所以小纸片宽为6÷3＝2（厘米），每个小阴影部分的边长为小纸片的宽，所以阴影部分的面积和为2×2×2＝8（平方厘米）。