方程思想及其课程教学设计

方程思想及其课程教学设计

──数学教育热点问题系列访谈录之一

史宁中，孔凡哲

（东北师范大学，吉林长春130024）

摘要：准确把握方程思想是进行方程课程设计、教科书编写和教学实施的必要前提和重要基础。方程是从现实生活到数学的一个提炼过程，一个用数学符号提炼现实生活中的特定关系的过程。方程思想的核心在于建模、化归。方程的学习，从一开始就应该让学生接触现实的问题，学习建模，学习把日常生活中的自然语言等价地转化为数学语言，得到方程，进而解决有关问题；而解方程的设计要点在于再现化归的思想方法。

关键词：方程；数学思想；课程设计；教学设计

中图分类号：G633.6  文献标识码：C

作者简介：史宁中，江苏宜兴人，东北师范大学校长，校学术委员会主任，统计学博士生导师，数学教育博士生导师，国务院学科评议组成员，国家自然科学基金评委会成员，中国教育学会副会长，全国中小学数学教材审查委员（中学数学教材主审委员）。孔凡哲（1965—），山东济宁人，东北师范大学教授，博士研究生。

随着教育改革的不断深入，与中小学数学中的大部分内容一样，人们对方程思想的认识也在悄悄地发生着变化。一些参与数学新课程设计、课程标准实验教科书编写的专业人员，教学一线上从事数学课程实施的广大教师、教研员，甚至专门从事中小学数学教育研究的高校教学研究人员，对方程思想的模糊认识、困惑甚至迷茫，或多或少地阻碍了数学课程改革的进程。为此，东北师范大学从事数学教育研究的人员，在数学教育博士生导师、校长史宁中教授的带领下，通过专题访谈、研讨班、座谈会等多种形式，对包括方程思想在内的中小学数学课程改革中的一系列重大的热点问题进行了系列研究。本文就是史宁中教授系列访谈录中的第一篇。

访谈形式：专题访谈，三人对话，并辅以资料查询。

访谈的核心问题：方程的教育价值主要体现在哪些方面？方程思想的核心到底是什么？学生为什么必须学习方程（方程的学习对后续内容有哪些影响）？对中国中小学数学课程、教学来说，方程课程教材设计的重点应放在哪些方面？

一、方程思想的本质

△ 问：史教授，方程长期以来一直是中小学数学中的一项重要内容。您能不能谈一谈方程思想的核心到底是什么？学生为什么必须学习方程？

▲ 史教授：方程思想具有很丰富的含义，其核心体现在：（1）建模思想；（2）化归思想，如在中小学数学中，三元一次方程可以化归为二元一次方程，二元一次方程可以化归为一元一次方程，一元一次方程最终化归为x=a的形式。

虽然大学《高等代数》中有方程的矩阵解法，但是，对中小学生来说，用这种解法解二元一次方程、三元一次方程是不可取的。事实上，矩阵解法涉及的因素太多，不符合这个年龄段儿童的特点。

对初中生来说，学习方程内容最主要的事情集中在两个方面：一方面是建模，另一方面是会解方程。

对于后者来说，解方程的关键在于转化，即将新的问题化归为以前可以解决的问题，利用以前的算法解决。这种化归、迭代的思想正是当代计算机的思想。

长期以来，中小学数学教育界一直存在这样的观点：一元一次方程比小学四则算术进步，但两者没有本质的不同。

其实不然，两者有本质的区别：小学四则运算仅仅提供一种算法，而一元一次方程则比较全面地展示了建模思想──用等号将相互等价的两件事情联立，等号的左右两边等价，至于其中的关系是用自然语言表示的，还是用数学符号表达的，都不太重要，重要的是等号左右两边的两件事情在数学上是等价的。这就是数学建模的本质表现之一。

方程一般有两种情况出现，一种是仅出现未知数，另一种是既出现未知数，也出现未知的系数。

在目前的初中数学中，只存在含未知数的方程这样一种情况，没有含未知系数的方程。但是，在经济数学和现实应用中，将出现大量含有可以变动系数的方程。

在初中数学中，解一元一次方程，只需要将含有未知数的项放到方程的一边，将不含未知数的项放到方程的另一边，就可以解出未知数的值，这是解方程的核心工作。而解的具体过程就要用到四则运算。为此，在进行解一元一次方程的课程设计、教材编写、教学实施时，必须突出化归这个重点，至于合并同类项、通分等问题，虽然是代数式的重点内容，但不是这里的重点。否则，就会陷入繁琐运算的误区。

从这个意义上讲，一元一次方程课程的重点就是让学生掌握“建模”思想，学会“化归”方法，其中，前者是列一元一次方程的重点，后者是解一元一次方程的重点。

对二元一次方程来说，也有类似的解释。不同的是，在用等号联立两个相互等价的事情时，涉及两个未知量。对二元一次方程组来说，是两个等价关系，每个等价关系涉及两件相互等价的事件，而这两个等价关系依靠相同的未知数关联在一起。从表面上看，这里似乎出现了两件事情，事实上却是同一件事情，是在同一个描述过程中，对同一组事物的不同角度、不同方面的刻画和写照。

在解二元一次方程组时，只要把未知数看成已知数，将其中的一个未知数用另一个替代，转化为一元一次方程就可以了。所以，解二元一次方程组的要害在于：通过替代等手段，将二元一次方程组转化为一元一次方程。

对于三元一次方程（组）问题，同样也是如此，只需要通过替代等手段，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而转化为一元一次方程即可。

二、方程思想的含义及典型观点辨析

△ 问：《标准》^[1]中关于方程思想阐述了这样一个基本观点（刘坚在许多不同场合提到这个说法）：

（1）方程是刻画现实世界的有效模型；

（2）方程没有一般解法；

（3）特殊方程用特殊解法。

另外，张奠宙先生曾经提出，方程的思想不在于《标准》上所说的“建模”思想，而在于“方程是一座桥梁，一座联立已知和未知的桥梁”。

你如何看待上面的观点？

▲ 史教授：方程不能看作是建立“已知和未知之间的桥梁”，四则运算实质上才是这样的桥梁。事实上，四则运算是将已知全部写在等号的一边，只不过没有写出“=x”而已，这才是在已知和未知之间建立了一个桥梁。方程不是这样，方程根本没有经过任何运算，只是阐述了一个事实本身，一个没有经过任何加工的事实本身。方程只是在说明两件事情是等价的。

比如，小明走了5千米，用了2小时，问速度是多少？

四则运算是：速度=5÷2，而方程则是：设速度为x千米/小时，则2x=5。

显然，前者用已知的两个量──路程、时间表示出未知的量──速度，而后者是再现了路程、时间、速度之间的关系。

△ 问：张先生的观点强调“在方程中，已知和未知借助等号联立以后，未知可以和已知一样参与运算，享有同样的地位”。您认为是不是这样？

▲ 史教授：在这件事情（“未知可以和已知一样参与运算”）上是对的。当然，不要过于强调已知、未知，而要强调用数学的符号把要说的话（即两件事情等价）表达出来。这个是根本，是学生必须真正掌握的东西。

在进行方程的课程设计和教学实施时，可以先让学生用自然语言阐述所述的事情，然后抽象成数学表达，最后用数学符号建立方程，解决问题。这正是建模的过程。

当然，与中小学数学中的方程不同的是，现实应用中的数学建模往往含有可以变动的未知系数──含有变动系数的方程，它代表了不同场合下同一个方程模型的适应情况。比如，自由落体的运动方程，在地球上是，而在月球上也是，但是作为系数之一的重力加速度g的值是不同的。

△ 问：这是不是说，方程概括的是一类事物普遍适用的模型，这类事物有一系列子类，由于系数的出现，随着事物的变化，这个模型可以满足各个子类的变化规律。

▲ 史教授：是的，这就是真正的模型了。有时需要求最优的系数，即达到最佳的状态。

比如，随着社会的发展，经济效率与社会公平是一对矛盾，经济高速发展时不能过多地考虑公平，但是，社会需要公平，这时就需要掌握一个尺度，也就是，建立一个恰当的模型，确定一个最佳尺度。当然，这个模型就复杂了。对于风险与投资来说，一般地，风险越大，收益也越大；风险越小，收益也越小。于是，就需要解决在某个风险下如何得到最大效益、如何投资的问题，这就是1990年得诺贝尔奖的经济模型问题，建立这样的模型也需要寻找最优系数。当然，对于中学生来说，你不能把如此复杂的模型呈现给他们。

事实上，仅仅用语言，同样可以把方程问题阐述清楚，但是，逻辑上容易出现混乱。用数学符号来阐述就容易得多。小学传统的列算式解应用题就是这样一种情况。所以，初中必须学会抽象──将关系抽象为数学符号。在这里，有两个过程，一个是抽象过程，一个是运算过程。不论是抽象过程，还是运算过程，都含有逻辑问题，每一步都不能出错。

因此，方程问题不能过分地停留在数学层面上，特别是在初中数学中，必须使学生真正体会到数学与现实生活密不可分的联系，体会方程是从现实生活到数学的一个提炼过程，一个用数学符号提炼现实生活中的特定关系的过程，而传统的小学应用题则主要地停留在描述阶段。

三、方程的教育价值

△ 问：那么请您再谈一谈，方程的教育价值主要体现在哪些方面？

▲ 史教授：方程建模的思想对人的教育价值体现在两个方面：一个是建模，这是一个抽象过程；另一个是化归，三元一次方程化归为二元一次方程，二元一次方程化归为一元一次方程。在计算机上，这实际上表现为一个框图，这里有一个运算逻辑的思想。

方程的学习有两点特别重要，一个是抽象、概括，另一个是做事情的运筹和逻辑的条理。做一件事情，脑子里要始终有一个比较清晰的思路、计划。

当然，方程的抽象在于：围绕着既定的目标（解决给定的问题）进行有效的抽象，而不是进行漫无边际的抽象。如小民的爸爸现有10万元钱，可以买公债，可以储蓄，可以买股票。请你帮他设计一下，如何投资，才能保值、增值？在抽象时，要紧紧围绕“保值、增值投资方案的设计”这个目标，开展建模过程，列出方程，而不是漫无边际地设想。

学生学习方程的意义在于：一是学习在生活中从错综复杂的事情中，将最本质的东西抽象出来，这个过程是非常难的，也很有训练的价值；二是在运算中遵循最佳的途径，将复杂的问题简单化，这种优化思想对于人的思维习惯的影响是深远的。

在中小学数学中，最害怕将方程问题形式化。希尔伯特的形式化对数学有很大的贡献，但是，在中学时期，过早地形式化、过度形式化对学生害大于益！

四、关于方程课程教学设计的若干问题

（一）关于方程的应用题

△ 问：您能不能再谈一谈方程与应用的关系？

▲ 史教授：以往的方程教学设计思想的一个误区，在于把思路搞反了。方程的教学本应该“先是进行生活中的提炼，然后到数学表达，到形式化的过程，再到最终解决方程问题”，而不是“先给出形式化的方程定义，然后解形式化的方程，最后再进行方程的应用”。

长期以来，我们对方程应用习题的设计、处理太理想化了，几乎直接变成数学符号了。这不是真正意义上的应用题。

事实上，可以把事情表述得更原本一些。无论如何，要使学生真正知道方程是怎么回事，要通过两三个典型的问题，再现方程建模的全过程，才能让学生真正理解方程的含义。

从现实情景到用自然语言等价地表达出来，这是一次重要的抽象，是方程建模的关键。然后才是用数学符号等价地表达出用自然语言表达出来的事情。

 问：传统意义上的应用题仅仅含有用数学语言表达“自然语言关系”的过程，而淡化了从现实情景到用自然语言表达的抽象过程。在长期的方程教学中，很多经验丰富的一线教师悟出列方程的关键在于：抓住等量关系，将自然语言列出的等量关系，设法用含有未知数的数学解析式来表示。

那么，在一元一次方程的课程教学设计时，是否有必要下大气力区分方程是一边含有未知数，还是两边含有未知数？

▲ 史教授：对于同一个方程应用问题，列出的方程是一边含有未知数，还是两边含有未知数，这仅仅是用语言阐述的过程中的不同，而不是列方程的本质的不同。事实上，二者所反映的事实是等价的，我们完全可以换一个说法等价地描述“两边含有未知数”的方程所表示的事实。

（二）方程的学习对同领域的数学学习的影响和作用

△ 问：对于中小学生来说，方程究竟会产生哪些影响呢？

▲ 史教授：方程学习对以后数学学习的影响主要还是一种数学思想的影响。即使到了微分方程、积分方程，这里的方程思想也是保持不变的，也都是呈现两件事情等价。对于应用数学中的建模，其本质也是一样的。

比如，今年的经济发展受去年和前年的影响，到底是如何影响的可能不清楚，但是可以通过一系列数据估计出来，建立一个时间序列关系，进而阐述今年的经济受去年、前年影响有多大，通过去年年底到今年6月份的统计数据，找到其中的规律，就得到一个预测的方程。

在这里，二者具体解决方程的途径不同，中学的方程主要通过四则运算加以解决，而微分方程、积分方程、经济数学中的方程则通过一些特殊的计算方法来完成。

关于方程与函数的关系，有人把含有未知数的等式f（x）=0叫做方程，认为二者是一回事。其实不然，方程说的是两件事情等价，而f（x）=0仅仅指的是函数f（x）的零解。

“含有未知数的等式f（x）=0就是方程”的说法，掩盖了方程的模型思想。虽然，在形式上含有未知数的等式f（x）=0是方程，但在本质上，并不是真正意义上的方程。

函数描述的是一件事的变化规律，因此，函数和方程在本质上是两码事。方程在中国很早就有了，而函数在研究动态的问题时（笛卡儿、牛顿、莱布尼兹时代）才开始使用。

△ 问：这是否可以理解为，函数描述的是动态的情况，而方程刻画的是一个静态的瞬间？

▲ 史教授：不能这样理解！只有这个函数经过某些运算等于另外一个函数时，才是方程。如，中国的经济增长可以受美国经济影响，可以受欧洲经济影响，二者可以建立一个联系，但是，中国经济的增长毕竟有自己的函数变化规律，它也可以不与美国发生联系。

△ 问：在中学数学中，建立方程是以等式作为其上位概念来完成的。那么，我们应如何看待方程与等式的关系？

▲ 史教授：方程是一种特殊的等式，是在说明相等是怎么回事，等式可以是数字之间的相等，也可以是恒等，而方程刻画的可以是两件事情之间的相等，可以是有条件的相等，也可以是一种随机的相等。

△ 问：方程的课程教学设计，从一开始就应该让学生接触非常现实的问题，学习把日常生活中的语言等价地转化为数学语言，得到方程，进而解决方程问题的全过程。这种数学思维的训练，对于学生成为一个合格的公民、从事日常生活、进一步学习数学内容，是否都是至关重要的？

▲ 史教授：当然，在方程课程设计时，可以以一个问题（如“鸡兔同笼”问题）为“主题式”线索，将一元一次方程、二元一次方程组等内容统一编排，一气呵成。“鸡兔同笼”问题既然能用算术解，用一元一次方程、二元一次方程组也能解。在这里，方法越简单，思维越复杂。相比之下，用四则运算解此题最复杂；列二元一次方程思维简单，但解方程时却很复杂；而一元一次方程则是比较中庸的思想，不是很复杂，也比较好计算，所以，大家普遍采用一元一次方程来解决这类问题。

参考文献：

［1］国家数学课程标准研制工作组.义务教育阶段国家数学课程标准（征求意见稿）［S］.北京：北京师范大学出版，1999.

中华人民共和国教育部制订.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）［S］.北京：北京师范大学出版社，2001.

［2］中华人民共和国教育部制订.九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用修订版）［S］.北京：人民教育出版社，2000.

［3］袁恒国.在解题中渗透方程思想［N］.泰州日报，20040723.