周易卦数幻方趣谈（郭彧）

拓扑数学中有数字幻方内容，我国古代所称“纵横图”，就属于数字幻方。

将1到n2 中的自然数排列成纵横各有n 个数的正方形，使每行、每列及两条主对角线n 个数的和都相等[等于n（n2+1）/2]，这种排列就称为n 阶幻方，也叫n 阶纵横图。例如，由1-9数构成的3阶幻方，其纵横和对角三个数之和都是：3（32+1）/2=15。下面，我们先来看一下实物上面的幻方。

图1              图2             图3

图1是出土玉器上面刻的四阶幻方，图2是数字幻方的细部照片，图3是该幻方的数字表格，其纵横、对角四个数之和皆等于34。

        图4                   图5

图4是银币上面的五阶幻方，图5是其数字表格，其纵横、对角四个数之和皆等于65。

图6                   图7

    图6是陕西省博物馆藏出土的铁质阿拉伯数字六阶幻方，图7是该幻方的数字表格，其纵横、对角五数之和皆为111。

在中国历史上，起初“纵横图”只是一种数字游戏。到了南宋时的数学家杨辉，才把它作为一个数学问题加以深入研究。杨辉在他的《续古摘奇算法》书中，搜集了各种类型的纵横图，并对其中部分纵横图构造的规则和方法加以说明。
    杨辉列出的纵横图，共有十三幅：洛书数（三阶幻方）一幅，四四图（四阶幻方）两幅，五五图（五阶幻方）两幅，六六图（六阶幻方）两幅，七七图（七阶幻方）两幅，六十四图（八阶幻方）两幅，九九图（九阶幻方）一幅，百子图（十阶幻方）一幅。所谓的三阶《洛书数幻方》（见图8、图9），就与《周易》有关系。

      图8                图9

历史上研究周易图的学者，还给《洛书》匹配上了八卦，于是就有了“八卦纵横图”。还有《方明八卦幻方》（见图10）。八卦六合幻方，六面的任意一面的四角卦数之和皆为18。

         图10

杨辉还给出了“周易六十四卦数”的八阶幻方（见图11）。杨辉周易64卦数幻方，纵横、对角六数之和皆为260。杨辉的六十四卦数纵横图，虽然纵横、对角八个卦数之和都是260，但是从卦的阴阳爻数看，却没有“幻方”关系。

        图11

 

    北宋易学家邵雍，给出的《周易》六十四卦数是乾1至坤64（见图表12）。               

  这六十卦四符号的正方形排列，就是邵雍《先天图》内的方图，其对角八个卦数之和都是260。   

      
图12

笔者在十二年前排出了新的六十四卦纵横图（见图13），其纵横与对角，八个卦的阴爻数皆等于24，八个卦的阳爻数也皆等于24。  

图13

把邵雍的六十四卦数代入图13，则得图14的八阶幻方。其纵横与对角八数之和皆等于260。

 

图14

把十七世纪德国数学家莱布尼的六十四卦二进制数代入图13，则得图15的八阶幻方（化作十进制）。其纵横与对角八数之和皆等于252。

图15