【准备题】甲乙两人同时从A地去20千米远的B地，甲骑车乙步行，甲的速度是乙的9倍，甲到达B地后立即返回，甲乙相遇时，乙行了多少千米？[【培优】风 采(34257032)发布
解： 相遇时共走2个全程： 速度比1:9，时间相同那么路程比为：1:9 20×2÷（1+9）=4千米
即甲乙相遇时，乙行了4千米。
★房间广播★【题目1】甲、乙两班学生到离学校30千米的飞机场参观。但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生，为了尽快到达飞机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某次下车后再步行去飞机场，汽车则从某地立即返回接在途中步行的乙班学生，如果两班学生步行的速度相同，汽车速度是他们步行速度的7倍，那么汽车在距飞机场多少千米处返回接乙班学生，才能使两班学生同时到达飞机场？[【培优】风 采(34257032)发布]
解：汽车速度是他们步行速度的7倍
则甲班下车后，在相同时间内，汽车行驶的路程是甲班步行路程的7倍
30÷[（7+1）÷2+1]=6千米
即汽车在距飞机场6千米处返回接乙班学生，才能使两班学生同时到达飞机场
★房间广播★【题目2】某团体从甲地到乙地，甲、乙两地相距100千米，团体中一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已知步行速度为8千米/小时，汽车速度为40千米/小时。问使团体全部成员同时到达乙地需要多少时间?
解：因为汽车速度与步行速度的比40：8=5：1
所以先坐车的人到途中某处下车步行后，在相同时间内，汽车行驶的路程是步行路程的5倍
所以步行路程为100÷ [（5+1）÷2+1]=25千米
所以使团体全部成员同时到达乙地需要的时间为（100-25）/40+25/8=5小时。
★房间广播★【题目3】有甲，乙，丙三个班，步行速度均为4千米/时，一辆公共汽车，汽车速度36千米/时。三个班的学生从学校出发到距学校42千米的科技馆参观，但车上同时只能坐一个班的同学，则三个班预计12：00开始参观，最迟应该在什么时刻从学校出发。（不考虑上下车的时间
解：三个班同时到达需要的时间最短
因为汽车速度与步行速度的比36：4=9：1
所以先坐车的人到途中某处下车步行后，在相同时间内，汽车再行驶的路程是先坐车的人又步行路程的9倍
所以又步行路程为42÷ [（9+1+2+2）÷4]=12千米
所以甲，乙，丙三个班行完全程最少需（42-12）/36+12/4=（3+5/6）小时
所以三个班预计12：00开始参观，最迟应该在12-（3+5/6）=8：10时刻从学校出发。
方法2:(1+9)/2=5 车程:步行路程=5:2 (画图)
42×5/7 ÷36 +42×2/7 ÷4=3又5/6小时
★房间广播★【题目4】甲班与乙班同学同时从学校出发去某公园，甲班步行的速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米。学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生。为了使这两班学生在最短的时间内到达，求甲班学生与乙班学生步行的距离之比？
解：为了使这两班学生在最短的时间内到达，需两班同时到达。
汽车速度与甲班步行速度的比48：4=12：1，
所以甲班先坐车到途中某处下车步行后，在相同时间内，汽车再行驶的路程是甲班又步行路程的12倍
即甲班步行1份路，汽车再行12份路，其中返回的路为（12-1）÷2=5.5份；
汽车速度与乙班步行速度的比48：3=16：1
所以设乙班先步行的路为x，在相同时间内汽车返回接住共行驶的路程比为16x，其中返回的路为（16x-x）÷2=7.5x
令7.5x=5.5份，则x=11/15份
所以为了使这两班学生在最短的时间内到达，甲班学生与乙班学生步行的距离之比为1：11/15=15：11
方法2:(画图)车程:甲=12:1 公共部分:甲=5.5:1=165:30
车程:乙=16:1 公共部分:乙=7.5:1=165:22
则:甲比乙=30:22=15:11
★房间广播★【题目5】甲乙两地相距35千米,小张,小李都要从甲地去乙地,他们只有一辆自行车,小张先步行,小李先乘车,同时出发.小张步行 的速度是每小时5千米,小李步行的速度是每小时4千米.两人乘车的速度都是每小时20千米.那么两人从甲地到乙地最短需要时间多少小时?
解：没有第三人协助，自行车不会自动返回去接小张
要使两人从甲地到乙地需要时间最短，需使小李先骑车到某地后，放下自行车徒步前行小张赶来后骑上自行车去追小李，最后同时到达。
设小李先骑车的路程为x千米
则x/20+（35-x）/4=x/5+（35-x）/20，解得x=20
所以两人从甲地到乙地最短需要时间20/20+（35-20）/4=4.75小时
方法2：
(1/5-1/20)：(1/4-1/20)=3: 4 35÷(3+4)=5千米 5×3÷20+5×4÷5=4.75小时
方法3:
看不懂不要紧，慢慢把讲课录像传上来（目前传还不会 呵呵）
容斥问题
2010-04-17 20:25
容斥问题的知识点主要有：
如果有S个东西，其中具有性质A的有a个，具有性质B的有b个，即具有性质A又具有性质B的有c个，则具有性质A或B及性质AB的为N，N=a+b-c；
不具有性质A也不具有性质B的为M,M=S-（a+b-c）；
假设这S个东西，必须至少具有A、B性质的一种，即具有性质A或具有性质B或同时具有两种性质，除此没有，则N=S；
假设这S个东西，可能具有A、B性质中的一种或两种或没有，则S-M=至少具有一种性质的集合（N），考题中常用后推的思想。
容斥原理可用集合的知识来表示：
（1）两个集合的容斥关系公式：
A＋B＝A∪B＋A∩B；
A∪B= a+b-c；
c= A∩B
（2）三个集合的容斥关系公式：
A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C；
A∪B∪C= a+b+c- A∩B- A∩C- B∩C+ A∩B∩C
下边我们来看几道例题，帮助大家熟悉容斥问题的解题方法：
1】某校学生有1000人，其中500人订《中国少年报》，300人订《少年文艺》，120人订《数学报》，其中250人订阅2种，50订阅3种，问这个学校没有订阅任何报的学生有多少人？（
）
A.250 B.280 C.300 D.360
【答案及解析】B。
先求至少订阅一种的学生人数：500+300+120-250+50=720人，所以一种也没有订阅的学生人数为：1000-720=280人
【例题2】某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( )。
A．22 B．18 C．28 D．26
【答案及解析】A。
设A＝第一次考试中及格的人（26），B＝第二次考试中及格的人（24）
显然，A＋B＝26＋24＝50；A∪B＝32－4＝28，
则根据公式：A∩B＝A＋B－A∪B＝50－28＝22，
所以，答案为A。
【例题3】某单位有青年员工85人，其中68人会骑自行车，62人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有12人，则既会骑车又会游泳的有（
）人
A.57 B.73 C.130 D.69
【答案及解析】A。
设A＝会骑自行车的人（68），B＝会游泳的人（62）
显然，A＋B＝68＋62＝130；A∪B＝85－12＝73，
则根据公式A∩B＝A＋B－A∪B＝130－73＝57
所以，答案为A。
【例题4】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人？（）
A．22人 B．28人 C．30人 D．36人
【答案及解析】A。
设A＝喜欢看球赛的人（58），B＝喜欢看戏剧的人（38），C＝喜欢看电影的人（52）
A∩B＝既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人（18）
B∩C＝既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人（16）
A∩B∩C＝三种都喜欢看的人（12）
A∪B∪C＝看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种（100）
根据公式：A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C
C∩A＝A＋B＋C－（A∪B∪C＋A∩B＋B∩C－A∩B∩C）
＝148－（100＋18＋16－12）＝26
所以，只喜欢看电影的人＝C－B∩C－C∩A＋A∩B∩C＝52－16－26＋12＝22，所以选A。 【例题 |
追及
2010-04-15 22:06
一条马路上，小明骑车与小光同行，小明骑车速度是小光速度2倍，每隔10分有一辆公共汽车超过小明，每隔20分有一辆公共汽车超过小明，如果公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一趟，那么两车间隔多少分？
红心对你说：
把小光的速度看作1份
小明的速度2份
车和小光的速度差是车和小明速度差的2倍，可得到车3份。公车每分钟和小光相差2份，10分钟就相差20份，这就是两车的间隔，车行这间隔就是20÷3＝20/3分钟，也就是发车间隔时间。
方法2：车速-小光速度 =1/10
车速-小明速度=1/20
（1/10）*2 - 1/20 = 3/20车速度
1/（3/20）= 20/3 发车时间 |
小升初奥数模拟试题全套及答案
2010-02-22 9:10
