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1、查找约数法． 先分别找出每个数的所有约数， 再从两个数的约数中找出公有的约数， 其中最大的一个就是 最大公约数． 例如，求 12 和 30 的最大公约数． 12 的约数有：1、2、3、4、6、12； 30 的约数有：1、2、3、5、6、10、15、30． 12 和 30 的公约数有：1、2、3、6，其中 6 就是 12 和 30 的最大公约数． 2 更相减损术 《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求 两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数， 以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。” 翻译成现代语言如下： 第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用 2 约简；若不是则执行第二步。 第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较， 并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。 则第一步中约掉的若干个
2 与第二步中等数的乘积就是所求的最大公 约数。 其中所说的“等数”，就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相 减损”法。 3、辗转相除法． 当两个数都较大时，采用辗转相除法比较方便．其方法是： 以小数除大数，如果能整除，那么小数就是所求的最大公约数．否则就用余数来除刚才 的除数；再用这新除法的余数去除刚才的余数．依此类推，直到一个除法能够整除，这时作 为除数的数就是所求的最大公约数． 例如：求 4453 和 5767 的最大公约数时，可作如下除法． 5767÷4453＝1 余 1314 4453÷1314＝3 余 511 1314÷511＝2 余 292 511÷292＝1 余 219 292÷219＝1 余 73 219÷73＝3 于是得知，5767 和 4453 的最大公约数是 73． 辗转相除法适用比较广，比短除法要好得多，它能保证求出任意两个数的最大公约数． 4、求差判定法． 如果两个数相差不大， 可以用大数减去小数， 所得的差与小数的最大公约数就是原来两 个数的最大公约数．例如：求 78 和 60 的最大公约数．78－60＝18，18 和 60 的最大公约 数是 6，所以 78 和 60 的最大公约数是 6． 如果两个数相差较大，可以用大数减去小数的若干倍，一直减到差比小数小为止，差和小数 的最大公约数就是原来两数的最大公约数．例如：求 92 和 16 的最大公约数．92－16＝76， 76－16＝60，60－16＝44，44－16＝28，28－16＝12，12 和 16 的最大公约数是 4，所 以 92 和 16 的最大公约数就是 4． 5、分解因式法． 先分别把两个数分解质因数， 再找出它们全部公有的质因数， 然后把这些公有质因数相 乘，得到的积就是这两个数的最大公约数． 例如：求 125 和 300 的最大公约数．因为 125＝5×5×5，300＝2×2×3×5×5，所以 125 和 300 的最大公约数是 5×5＝25． 6、短除法． 为了简便， 将两个数的分解过程用同一个短除法来表示， 那么最大公约数就是所有除数 的乘积． 例如：求 180 和 324 的最大公约数． 因为： 5 和 9 互质，所以 180 和 324 的最大公约数是 4×9＝36． 7、除法法． 当两个数中较小的数是质数时，可采用除法求解．即用较大的数除以较小的数，如果能 够整除，则较小的数是这两个数的最大公约数． 例如：求 19 和 152，13 和 273 的最大公约数．因为 152÷19＝8，273÷13＝21．（19 和 13 都是质数．）所以 19 和 152 的最大公约数是 19，13 和 273 的最大公约数是 13． 8、缩倍法． 如果两个数没有之间没有倍数关系，可以把较小的数依次除以 2、3、4……直到求得的 商是较大数的约数为止，这时的商就是两个数的最大公约数．例如：求 30 和 24 的最大公 约数．24÷4＝6，6 是 30 的约数，所以 30 和 24 的最大公约数是 6． |
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