约数与倍数第二册第六课约数与倍数

诗书之华 2011-07-29

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第二册 第六课

＋、－、×、÷、a b c d

[课前辅导]：

约数与倍数问题在日常生活中的应用非常广泛，近年来公务员考试中亦是比较常见的题型，计算起来比较简单些，但在当前社会经济中到处都用得着。看似简单实际深入钻研就会感到它其实是一门经常的学问：例如统计学中的相对数，指数，相关关系等都要用到它。在小学数学中必须弄清它们的概念及其异同区别，学会运算中的快速方法，为今后应用时打下良好基础。

（一）约数与倍数的相互依存关系

约数与倍数是建立在除法整除基础上，首先要理解整除概念，即被除数÷除数=商数，没有余数。约数和倍数都表示一个数与另一个数的关系，不能单独存在．如只能说16是某数的倍数，2是某数的约数，而不能孤立地说16是倍数，2是约数．

（二）“倍”与“倍数”是不同的两个概念

“倍”是指两个数相除的商，它可以是整数、小数或者分数．“倍数”只能在数的整除范围内，相对于“约数”而言的一个数字概念，表示的是能被某一个自然数整除的数，它必须是一个自然数．

可以说8是4的2倍，8是4的倍数；而0.8可以说是0.4的两倍，但不能说0.8是0。4的倍数，因为0.8和0.4它们不是整数。从而进一步理解和掌握约数与倍数是建立在整除基础上的本质。

（三） 约数与倍数的定义

如果一个自然数能被自然数整除，则被除数称为倍数，除数及商数则是被除数的一对约数，进而发现被除数的约数可以一对一对的找。

例1．如被除数为60，它的约数可以一对一对的找到6对

[1，60]；[2，30]；[3，20]；[4，15] ；[5，12]；[6，10] = 60．

因为它们相乘都是60，所以每对都是（倍数）被除数的约数。

几个自然数公有的约数，叫作这几个数的公约数。

公约数中最大的一个公约数，称为这几个数的最大公约数。

几个自然数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数。

公倍数中最小的一个公倍数，称为这几个数的最小公倍数。

（四）常用的求最大公约数的方法是分解质因数法和短除法．

1．分解质因数法：把每个数分别分解质因数，再把各数中的公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公约数．

例2，求24和60的最大公约数．24=2×2×2×3，60=2×2×3×5，24与60的全部公有的质因数是2，2和3，它们的积是2×2×3=12，所以（24，60）=12．

2．短除法：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商无公约数为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几数的最大公约数．

例3．求24，48，60的最大的公约数与最小公倍数？

先求24，48，60的最大公约数？

　4┖24 48 60

　3┖ 6 12 15

　 2 4 5

答最大公约数：两个除4×3=12。

再求24，48，60的最小公倍数？

　4┖24 48 60

　3┖ 6 12 15

　 2┖2 4 5

1 2 5

答最小公倍数：4×3×2×1×2×5=240。

解释：用短除法求最小公倍数只要在求出最大公约数的基础上，再检查各数余数中是否全部都是互质数，如果还有公约数，则继续提取，求最小公倍数与求最大公约数不同之处在于，求最大公约数的各个余数中只要任何二个余数还有公约数就应继续提取；例如上面三个余数2，4，5中2与4再可商2，剩下1，2，5中已没有公约数，然后全部商、余相乘，其乘积就是最小公倍数。

（五）用辗转相除法求两个数的最大公约数

在中国古代就有一个很好的算法来计算a,b的最大公约数（a,b）,称为辗转相除法，在西方称为Euclid(欧几里得)算法。

下面通过计算（1397，2413）来阐述这一算法。

例4．求（1397，2413）的整个计算过程为：

2413÷1397=1……1016，

1397÷1016=1……381，

1016÷381=2……254，

381÷254=1……127，

254÷127=2……0，

答案：（1397，2413）=127。

解释：我们用这两个数1397和2413中两个数中小的去除大的，得商为1，余数为1016。将原来两个数中大的2413扔掉，将1397作为大数，将余数1016作为新的小数。重复上面的过程：用1016去除1397，得商为1，余数为381。扔掉1397，将381作为除数，1016作为被除数。用381去除1016，得商为2余数为254，扔掉1016，用254 去除381，得商为1 ，余数为127，再扔掉381，用127去除254，发现能整除，于是127就是最大公约数。