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知识点盘点——几何初步(初中)

2012-10-06  紫曦唯幂1
一、几何初步知识网络

知识点盘点——几何初步(初中)




二、考试目标要求: 
理解直线、射线、线段的概念和性质以及表示方法,掌握三者之间的区别和联系,会解决与线段有关的实际问题;了解角的概念和表示方法,会把角进行分类以及进行角的度量和计算;掌握相交线、平行线的定义,理解所形成的各种角的特点、性质和判定;了解命题的定义、结构、表达形式和分类,会简单的证明有关命题.
具体目标:
1、图形的认识
(1) 点、线、面
    ①认识点、线、面(如交通图上用点表示城市,屏幕上的画面是由点组成的).
    ②认识直线、射线、线段及性质.
    ③会比较线段的大小,会计算线段的和、差、倍、分,并会进行简单计算.
    ④了解线段的中点.
(2) 角
    ①通过丰富的实例,进一步认识角
.
    ②会比较角的大小,能估计一个角的大小,会计算角度的和与差,认识度、分、秒,会进行简单换算.
    ③了解角平分线及其性质
(3) 相交线与平行线
    ①了解补角、余角、对顶角,知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等.
    ②了解垂线、垂线段等概念,了解垂线段最短的性质,体会点到直线距离的意义.
    ③知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.
    ④了解线段垂直平分线及其性质.
    ⑤知道两直线平行同位角相等,进一步探索平行线的性质.
    ⑥知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线,会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.
    ⑦体会两条平行线之间距离的意义,会度量两条平行线之间的距离.
2、尺规作图
①完成以下基本作图:作一条线段等于已知线段,作一个角等于已知角,作角的平分线,作线段的垂直平分线
.
②了解尺规作图的步骤,对于尺规作图题,会写已知、求作和作法(不要求证明).
3、命题与证明
①理解证明的定义和必要性.
②通过具体的例子,了解定义、命题、定理的含义,会区分命题的条件(题设)和结论.
③结合具体例子,了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,并知道原命题成立其逆命题不一定成立.
④掌握用综合法证明的格式,体会证明的过程要步步有据.
三、知识考点梳理
知识点一、直线的概念和性质

1.直线的定义: 
  
代数中学习的数轴和一张纸对折后的折痕等都是直线,直线可以向两方无限延伸.(直线的概念是一个描述性的定义,便于理解直线的意义)
2.直线的两种表示方法: 
  
(1)用表示直线上的任意两点的大写字母来表示这条直线,如直线AB,其中A、B是表示直线上两点的字母;
  (2)用一个小写字母表示直线,如直线a.
3.直线和点的两种位置关系
  
(1)点在直线上(或说直线经过某点);
  (2)点在直线外(或说直线不经过某点).
4.直线的性质: 
  
过两点有且只有一条直线(即两点确定一条直线).
5.同一平面内两条不同直线的位置关系: 
  
(1)两条直线无公共点,即平行;
  (2)两条直线有一个公共点,即两条直线相交,这个公共点叫做两条直线的交点(两条直线相交,只有一个交点).
知识点二、射线、线段的定义和性质
1.射线的定义: 
  直线上一点和它一旁的部分叫做射线.射线只向一方无限延伸.
2.射线的表示方法: 
  (1)用表示射线的端点和射线上任意一点的大写字母来表示这条射线,如射线OA,其中O是端点,A是射线上一点;
  (2)用一个小写字母表示射线,如射线a.
3.线段的定义: 
  直线上两点和它们之间的部分叫做线段,两个点叫做线段的端点.
4.线段的表示方法: 
  (1)用表示两个端点的大写字母表示,如线段AB,A、B是表示端点的字母;
  (2)用一个小写字母表示,如线段a.
5.线段的性质: 
  所有连接两点的线中,线段最短(即两点之间,线段最短).
6.线段的中点: 
  线段上一点把线段分成相等的两条线段,这个点叫做线段的中点.

7.两点的距离: 
  连接两点间的线段的长度,叫做两点的距离.
知识点三、角
1.角的概念: 
  (1)定义一:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点叫做角的顶点,两条射线分别叫做角的边.
  (2)定义二:一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.射线旋转时经过的平面部分是角的内部,射线的端点是角的顶点,射线旋转的初始位置和终止位置分别是角的两条边.
2.角的表示方法: 
  (1)用三个大写字母来表示,注意将顶点字母写在中间,如∠AOB;
  (2)用一个大写字母来表示,注意顶点处只有一个角用此法,如∠A;
  (3)用一个数字或希腊字母来表示,如∠1,
3.角的分类: 
  (1)按大小分类:
    锐角----小于直角的角(0°<∠A<90°)
    直角----平角的一半或90°的角( A=90°)
    钝角----大于直角而小于平角的角(90°<∠A <180°)
  (2)平角:一条射线绕着端点旋转,当终止位置与起始位置成一条直线时,所成的角叫做平角,平角等于180°.
  (3)周角:一条射线绕着端点旋转,当终止位置又回到起始位置时,所成的角叫做周角,周角等于360°.
  (4)互为余角:如果两个角的和是一个直角(90°),那么这两个角叫做互为余角.
  (5)互为补角:如果两个角的和是一个平角(180°),那么这两个角叫做互为补角.
4.角的度量: 
  (1)度量单位:度、分、秒;
  (2)角度单位间的换算:1°=60′,1′=60″(即:1度=60分,1分=60秒);
  (3)1平角=180°,1周角=360°,1直角=90°.
5.角的性质: 
  同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等.
6.角的平分线: 
  如果一条射线把一个角分成两个相等的角,那么这条射线叫做这个角的平分线.
知识点四、相交线
1.对顶角
  (1)定义:如果两个角有一个公共顶点, 而且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线,那么这两个角叫对顶角.
  (2)性质:对顶角相等.
2.邻补角
  (1)定义:有一条公共边,而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角.
  (2)性质:邻补角互补.
3.垂线
  (1)两条直线互相垂直的定义:当两条直线相交所得的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线是互相垂直的,它们的交点叫做垂足.垂直用符号“⊥”来表示
  (2)垂线的定义:互相垂直的两条直线中,其中的一条叫做另一条的垂线,如直线a垂直于直线b,垂足为O,则记为a⊥b,垂足为O.其中a是b的垂线,b也是a的垂线.
  (3)垂线的性质:
    ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
    ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单说成:垂线段最短. 
  (4)点到直线的距离定义:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.
4.同位角、内错角、同旁内角
                  
  (1)基本概念:两条直线(如a、b)被第三条直线(如c)所截,构成八个角,简称三线八角,如图所示:∠1和∠8、∠2和∠7、∠3和∠6、∠4和∠5是同位角;∠1和∠6、∠2和∠5是内错角;∠1和∠5、∠2和∠6是同旁内角.
  (2)特点:同位角、内错角、同旁内角都是由三条直线相交构成的两个角.两个角的一条边在同一直线(截线)上,另一条边分别在两条直线(被截线)上.
知识点五、平行线
1.平行线定义 

2.平行公理及推论: 

3.性质: 
  (1)平行线永远不相交;
  (2)两直线平行,同位角相等;
  (3)两直线平行,内错角相等;
  (4)两直线平行,同旁内角互补;
        
4.判定方法 
  (1)定义
  (2)平行公理的的推论
  (3)同位角相等,两直线平行;
  (4)内错角相等,两直线平行;
  (5)同旁内角互补,两直线平行;
  (6)垂直于同一条直线的两条直线平行.
知识点六、命题、定理、证明
1.命题 
  (1)定义:判断一件事情的语句叫命题.
  (2)命题的结构:题设+结论=命题
  (3)命题的表达形式:如果……那么……;若……则……;
  (4)命题的分类:真命题和假命题
  (5)逆命题:原命题的题设是逆命题的结论,原命题的结论是逆命题的题设.
2.公理、定理: 
  (1)公理:人们在长期实践中总结出来的能作为判断其他命题真假依据的真命题叫做公理.
  (2)定理:经过推理证实的真命题叫做定理.
3.证明: 
  用推理的方法证实命题正确性的过程叫做证明.
四、规律方法指导
1.数形结合思想
  利用线段的长度、角的角度、对顶角、三线八角等基本几何图形,会求线段的长,以及角的度数,利用图形的直观性解决数的抽象性,能在一定条件下形数互化,由数构形,以形破数.
2.分类讨论思想
  直线的交点个数及位置关系,角的大小等需要有分类讨论的思想,包含多种可能的情况时,应根据可能出现的所有情况来分别讨论得出各种情况下相应的结论,不重不漏.
3.化归与转化思想
  在解决利用几何图形求线段长度和角的度数的问题时,常常是将需要解决的问题,通过做辅助线、求和差等转化手段,归结为另一个相对较容易解决的或者已经有解决模式的问题,化繁为简、化难为易,由复杂与简单的转化.
4.注意观察、分析、总结
  结合近几年中考试卷,几何基本图形中的角的计算、与线段和平行有关的实际问题是当前命题的热点,常以填空和选择形式出现,以考查基础为主;尺规作图通常结合计算和证明出现,要注意弄清概念,认真观察,总结规律,并做到灵活应用.

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