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小学奥数难题汇编16 虽然这个活动都是以国际象棋的棋盘和棋子来说明，但实际上所需要的只是一些方格纸、一支铅笔和一些国际象棋走法的基本知识。
车的巡回路径
车的走法与中国象棋中的“车”相同，只能横走或直走。研究车经过棋盘上每个方格一次，然后再回到起点的路径。这种路径会形成连续不断的回路，可称为“重返路径”。图1和图2提供两种走法作为参考。 车走完一次重返路径，需要改变方向的次数最少是多少？ 如果车的巡回路径不一定要重返，那么可以只改变14次方向就经过每一方格一次。你能找出这条路径吗？ 车是否可能由某一个角落出发，经过每一方格一次，最后到达相对的角落？ 王后的巡回路径 王后可以走对角线，也可以像车一样直走或横走，因此所走路径的变化更多。
在图3的例子中，王后的巡回路径是对称的，由一角落出发，最后到达相对的角落。在图4的例子中路径并不对称，但可以重返。研究一下既对称又能重返的巡回路径。
如果允许王后经过每一方格的次数可以超过一次，那么就可以在只改变方向13次的情况下，完成重返巡回路径。试找出这条路径。 图5的王后巡回路径有一种特性。如果把所经过的方格依序给予连续的整数，以标有S的方格为1开始，那么就会形成一个幻方。请试试看。 象的巡回路径 象只能沿 解答与分析 车的巡回路径 要完成重返巡回路径，至少要改变方向15次，如图1。一条不必重返的巡回路径，只要改变方向14次就可以完成，如图2。 车不可能完成由某一角落到相对角落的巡回路径。因为例如将车由左下角走到右上角，则向上的位移是7格，向右的位移也是7格，总共有14格的位移；因此在行进时，任何超过这个数目的向右移动，必定要以向左移动抵销，向上移动也要以向下移动抵销。所以，车要到达右上角，经过的方格数一定是偶数。但完成这个巡回路径只有63个方格，因此不可能有这样的巡回路径。如果车由左下角出发，完成一条巡回路径，最后可能结束于哪些方格？ 换个角度来看这些问题，可以看成是个8×8的钉板，用一条橡皮圈接触每一个钉子一次。参阅“5×5的钉板”。 王后的巡回路径 任何由车所能完成的巡回路径，王后都可以完成，因此我们将主要讨论沿对角线方向移动的巡回路径。图3是一个四瓣旋转对称的重返巡回路径，可以从中探讨许多与数学有关的问题。 图4中的路径虽然经过一些方格两次，但能在只改变方向13次的情况下，经过每一方格。 象的巡回路径
象从角落的黑色方格出发后只能朝一个方向移动，因此这个方格不可能出现在象巡回路径的中途。同理，在任何走黑色方格的巡回路径中，角落的方格一定是起点或终点。
让我们由图5中标有1的方格出发，当象走到2时，只能再走到3或4。假设象走到3，那么略作思考就可以明白，4只会在最后一步时经过，因为只有一种方式能走到4，那就是经过5。但我们已经讨论过，路径的终点应该是在相对的角落，由此可见，不可能完成一条巡回路径。 如果不能重复经过任何方格，则最多能经过29个方格。不管怎么走，一定会有至少3个黑色方格无法到达。图6是一种走法，图7是经过每一个黑色方格最有效的路径。
(1)在一块5×5的钉板上，试用一条橡皮圈说明：
①有一种方式可以形成一个包围5枚钉子的正方形。 ②有两种方式可以形成一个包围5枚钉子的对称十字形。 ③有三种方式可以形成一个包围9枚钉子的正方形。 (2)用两条橡皮圈就可能形成一个包围5枚钉子的正方形，而有20根钉子在外。请说明如何做到。 (3)是否有可能由某一枚钉子出发，每次上、下、左或右移一步，而能经过所有的钉子(但不得重复)之后又回到起点？
解答与分析 (1)答案如图1所示。
(2)图2的两个平行四边形交叉所形成的正方形就符合题目的要求。试用类似的方法，形成一个包围9枚钉子的正八边形，而有16枚钉子在外。 (3)像图3这些只差一点就走完全程的情形，一开始可能会鼓舞我们继续尝试，但无论如何总是会有一枚钉子无法经过，因为这是不可能完成的，现说明如下。
由于总共有25枚钉子，所以要经过每一枚钉子一次，再回到起点，总共须走25步。然而，要回到起点，步数必须是偶数，因为任何向右的一步，必定要在某个地方由一个向左的一步将它抵销，向上的一步也要由向下的一步抵销，以此类推。因此本题不可能找到答案。 这些黑白圆圈乍看好像没有任何规律，其实是从最上面一行开始，按照一个简单的规则，依序定出每一行的图案。当你找出规则后，再继续多排几行。你觉得以后的图案是否可能出现下列情形： (1)全是白圈。 (2)全是黑圈。 (3)只有一个黑圈。
(4)某一行的图案是否有可能重复出现？ 如果以下列情形开始的话，会有什么结果？ (1)改变第一行的图案。 (2)改变第一行的圆圈数目。 解答与分析 每个圆圈是黑或白是由其左上方与右上方的圆圈决定的。如果上面两个圈同色，那么它就是白圈；如果不同色，它就是黑圈。
每一行的圆圈都应该看成是连续循环的，因此在最右边的圆圈之后的应该是最左边的圆圈。
因此在决定每行最后一个圆圈的颜色时，应该把它视为位于上一行第一个与最后一个圆圈的下面。在第一行之后，每一行黑圈的数目必定是偶数(白圈也一样)。为什么？ 一行全部为白圈的情形，只会在全白或全黑的一行之下出现。因此，它的出现完全取决于是否可能出现全黑圈行。全黑圈行又只会在黑白交错的一行下出现，但是从下面的讨论中就可以证明这是不可能的。 假设6号圈是白圈，那么1号必定是黑圈，这样才能使下一行最右边的成为黑圈。接着2号必须是黑圈，这样1、2号才可
能使下一行最左边的成为白圈。2号圈是黑圈，则3号圈必为白圈，同理4号圈一定是白圈，而5号圈一定是黑圈。但这样5号和6号圈的颜色不同，下一行倒数第二个圆圈就不可能是白圈。如果一开始假设6号圈是黑圈，也会产生同样的矛盾。 在一行中只有一个黑圈也是不可能的，因为黑圈的上面必定是一个黑圈和一个白圈，再稍加思考，我们就会发现一定还会有另一个黑圈出现。 所出现的图案在某个阶段之后一定会再重复出现，因为每行所可能出现的图案数目有限，但却能无限制地不断产生新的一行。
我们通常都可以从二维的图画中看出所要表现的三维物体，识图与绘图的训练，可以培养我们的空间观念。然而，就像这里所示的一些图画，二维的图画也可以在视觉上创造出不可能的事物。在第一张图中，到底是2根还是3根木栓？阶梯是否可以自己相连？你是否能用3根木条做出图上的三角形？ 关于视觉的认知，可能心理学家要比数学家研究得更多一些，但数学家也经常使用二维图形作为思考空间问题的参考，因此必须对二维图形的缺点有所了解。 荷兰艺术家埃舍尔(M.C.Escher)在绘画上运用视错觉的原理，创造出许多不可能的世界。你可以参阅《埃舍尔绘画作品》(The Graphic Work of M.C.Escher)一书中的一些图画。 注意并收集那些会欺骗你眼睛的图画。
图1中两个有趣的模型是由四面体构成的环，可以像烟圈一样反复扭转。环中两个相邻的四面体是靠一条棱彼此相连，其作用就像是绞链。任何一个四面体，如图2中的ABCD，在环中都是以其相对的两条棱，如AB和CD，与两边相邻者连接。就是这种构造使它具有可以扭转的性质。 我们可以先做出许多全等的四面体，然后再用胶带纸将它们连接起来，或者用由两排三角形构成的单一展开图做出模型。
图3是由6个四面体构成的环体展开图。它由24个完全相同的等腰三角形组成，每4个三角形组成一个四面体。第一次制作时，先将各画斜线的粘合片仔细编号，以确定粘合位置，并在每一条线上刻出印痕，实线表示往上折，虚线表示往下折。开始粘合时，最好是先粘中间带状的三角形，如图中阴影d到d的部分，这些三角形会折叠成四面体。完成这个部分之后，其他的四面体就很容易折叠定位。粘合环的两端比较棘手，如果你的模型尺寸较小的话，会更困难，此时有必要请人帮忙。标示i的两个三角形必须完全重合，以增加接合的强度。
可以在完成后的四面体环上着色，或是粘贴彩色纸形成某种图案，使之更加美观。 图4是由8个及10个四面体构成的环的展开图。这次所用的三角形都是等边三角形，因此你在放大尺寸时，应该不会有太大的困难。
解答与分析 这里所描述的四面体环，以及其他的类似环体，最早是由安德鲁斯(J.M.Andrews)和史托克(R.M.Stalker)所发现的。 文中由6个四面体组成的环体，是以等腰三角形作为四面体的一个面，因为如果是等边三角形，则不易扭转。不过，只要环体是由8个或更多四面体所构成，那么即使是正四面体，也可以扭转。稍加研究展开图，应该可以看出任何数目的四面体都可以组成环体。
一位聪明的园丁设计了一个新的正方形庭院，需要使用64块石板。为了增加趣味性，他选用4种不同颜色的石板，每种颜色的石板数目一样。经过多次试验之后，他终于设计完成石板的图样，是由4个完全相同的连锁图形组成的，每个图形一种颜色。 图中标示的A、B、C、D代表不同颜色的石板。园丁的设计是什么样子？ 解答与分析
许多不同的火车路线汇集在一起，这个车站就成为这些路线的总站。不过，本题的总站与其他总站不同，没有许多支线，但在铁轨尽头有一圈环形的轨道(如图所示)。设计这种轨道的工程师说，这样不但可以减少占用的土地，还可以让到站的不同车厢重新排列次序，以满足不同的需要。请说明如何利用这条环形道将9节按到站顺序排列的 1、2、3、4、5、6、7、8、9号车厢，重排成7、9、8、1、2、4、5、3、6号的次序发车。请注意这条环形轨道有足够的长度，能容纳所有的车厢，而且车厢也可以逆时针方向绕行轨道。 请设计一套策略，使车站管理人员可以排出任何需要的发车次序。 解答与分析 要解答这个问题，先要了解一组车厢环绕环形轨道一周再进入主轨道之后，次序会与原来的次序相反。要把7号车厢安排在第一个出发位置，首先必须将1、2、…7号车厢在环形轨道上绕一圈，使7号车厢位于车列的最左边，然后再将9节车厢都在环形轨道上绕一圈。 这两次的调度已经使7号车厢在正确位置，因此可以把它留在主轨道上，再调整排第二的9号车厢。调整的策略是先将9号车厢置于车列的最左端，再将8节车厢反转次序排列在7号车厢的左边，这样就可以使9号车厢到达正确位置。本例中，9号车厢正好在车列的最左端，因此只需要调度一次就可以了。完成之后，8、1和2号车厢也已经在正确的出发位置了。 接下来调整的是4号车厢， 它需要调度两次。 这次又正好把5号车厢安排在正确位置，因此只要再将3号与6号车厢交换位置就可以完成所需要的发车次序了。 本题总共需要6次调度以排出正确的发车次序。一次调度是指使一组车厢在环形轨道绕行一次。 需要几次调度才能使车厢的排列改变为下列的次序？ 怎样的发车次序会让调度员感到最难处理？ 美丽的公园内经常有人丢弃大量的垃圾，市议员都十分关心这个问题。为了有效杜绝这种现象，他们决定在公园内设置一些垃圾桶。这座公园里有14条错综复杂的人行道，如图所示。有人建议，在每一条人行道上应该至少设置3个垃圾桶。但市府的财政官员却有异议，因为他认为这样必须设置14×3＝42个垃圾桶，花费太大。不过公园管理员告诉他，其实并不需要那么多的垃圾桶，这令他相当意外。 到底公园里最少需要几个垃圾桶？这些垃圾桶又应该放置在哪里？ 如果每一条人行道上都需要一位管理员，那么最少需要几位？ 解答与分析 为了让每条人行道都能有3个垃圾桶，总共需要11个垃圾桶。答案在图上以黑点表示，有10个位于4条人行道的交叉点，另一个则是在图下中央2条人行道的交叉点。 只需要4位管理员，就能确保每条人行道都有人在照管。他们的位置在图上以P表示。 处理这个问题最好的方法是画出人行道的图形，然后把硬币或筹码放在交叉点上，这样可以帮助思考。 用6枚硬币可排成一个三角形。移动硬币，可使三角形变为圆形。但每次移动硬币时，都必须将它放在能与另外两个硬币接触的位置，而且不能推挤硬币。请问最少要移动几次才能完成？ 有位建筑商获得许可，在一块被3条马路所围绕的三角形土地上，盖3栋不相连的房屋。为了有效地利用这块土地，建筑商希望能将这块地分成3个三角形，每一个三角形的面积相同。他该怎么办？
解答与分析
这是根据三角形面积所编的题目。在这里显示的4个解答中，P和Q是AC的三等分点，而L、M和N分别是BP、BC和AC的中点。C是三角形的重心，这也是最具有数学意义的解答。然而，如果所有分割的土地都要面对大马路的话，那么第一个解答是最好的。
这组简单的吊饰，从某个角度来看，像是平行四边形，能在微风吹拂时轻轻摇晃(图1)。它是由4根吸管(越长越好)组合而成，只要吸管经过仔细的“配重”，当吊饰以各种不同构形摆动时，吸管仍能保持水平，看起来就像是能抗拒地心引力一般。用细针在吸管两端1/5处穿孔，再用细的棉线或钓鱼线把这些吸管依次串起，吸管的排列方式如图2所示。
在w和X位置的棉线越短越好，只要吸管不互相接触就可以。再调整Y和Z位置的棉线，使各吸管放在平面上时彼此保持平行。 由最上方的一根吸管的中心点吊起整组吊饰。如果没有经过配重，吊饰看起来会死气沉沉地垂挂着。然而，只要经过几次细心的试验，我们就可以在中间两根吸管最接近上面吸管的一端(如图中的黑色部分)，塞入适当的重物以平衡整组吊饰，使得每一根吸管在空中都保持水平。可以使用钉子来配重，将钉子塞入吸管内并用大头针将它们固定。当快要达到平衡时，用增加或减少大头针数目的方法完成平衡。为了唬住你的朋友，在每一根吸管的末端都插上一些大头针，如此一来，别人就看不出你是如何抗拒地心引力的了！ 解答与分析 制作这种吊饰是很有价值的活动，它可以使我们了解平行四边形与交叉四边形的关联，同时也能通过“配重”的过程了解力矩的概念。此外，当完成吊饰后，将它吊起来欣赏也是一件愉快的事。 在工业革命时期，蒸汽动力以及许多复杂机器的发展，使得如何将圆周运动转换成直线运动成为工程师的重要课题。因此，当时的工程师及数学家无不绞尽脑汁，想解决这个实际问题。许多人都提出了不同的解决方法，不过，其中最为人熟知的，应该是由一位名叫波塞里亚(Peaucellier)的法国陆军军官，在1864年提出的一种方法。 他用4根等长的杆子连成菱形的连杆(如图 1中的 AQBP)，再把两根长度相同而较长的杆子，分别连接在菱形连杆相对的两个顶点和一个固定点O。这种连杆机制的特点，就是当P被限制在以O为圆心的圆周上运动时， Q会沿直线运动。在图 1中，P点被连接在一根可以绕着固定点C旋转的杆子上，其中C到O的距离与CP的长度相等。
本书不准备讨论要如何证明这样的机制能产生直线运动，但要想了解这种装置，以及由其所发展出的其他装置，最好的方法就是实际做出模型。可以用厚纸板做成长条，配上图钉制作模型。 理论上，波塞里亚的方法可以产生出一条绝对的直线，但由于接点多少会有些松动，因此它经常会偏离原定的路径。然而，罗勃兹(Roberts)在1860年提出的是另一种方法，该方法可以相当精确地产生直线运动，而且也更为实用。 他用一片三角形的金属板BCP，使AB和CD两根杆子与固定点A和D相连(图2)。 AB＝BP＝DC＝CP且 AD＝2BC 当P在A和D之间运动时，其运动路径会是一条直线。但是当P移动到AD之外时，就会偏离直线，而且当AB和CD交叉时，BPC会在BC之上。同样，也请你用纸板制作这一模型。 图3是第三种方法。这是一个圆形的滚轮，在直径为其两倍大的圆中沿着圆周滚动。在滚轮圆周上的任何一点(如图中的P点)会沿着大圆的直径(AB)移动。当滚轮由位置1逆时针方向滚动时，P点朝向B点移动；当滚轮上的P点与大圆接触时，P就与B重合；然后P开始移向A。
这个模型可以用厚纸板很容易地做出来。 滚轮上的弦MN(图4)，在滚动的过程中会产生怎样的现象？ 一百多年来，科尼什水平动力机(Comish beam engine)一直是用途广泛的动力机械(图5)。令人印象最深刻的，就是它那铸铁制成的巨大横梁在缓缓地上下摆动。 当横梁上下摆动时，端点A沿着圆弧运动，因此它无法与汽缸中的活塞杆保持直线关系。为了解决这个问题，可用一根连杆AB连接横梁和活塞杆。为了确保AB不将活塞杆往横向拉扯，于是又增加BC、CD和CE3根连杆， ABCD是平行四边形，而CB只比CE稍短。这种能确保B点作直线运动的连杆装置是瓦特发明的，他认为这是他最伟大的成就。 解答与分析
这是一个两人玩的游戏，目的是练习估算答案的能力。 由一人(击球手)出计算题，另一人(投手)估算答案，然后再计算出正确答案与估计值的差。这个差就是击球手的得分。 在游戏进行之前应该视两人的能力规定适当的出题方式，使正确答案与估计值的差不会太离谱。例如，可以限制题目为两位数的相乘。在一局游戏中击球手出11道计算题，投手则尽可能估计出正确答案以减少击球手的分数。一局结束后，两人互换角色，累积得分最高者获胜。 可以将题目和估计值整理如下，以便计算分数。 题目 估计值 正确答案 得分 23×47 1000 1081 81 38×57 2200 2166 34 71×29 2100 2059 41 86×94 8100 8084 16 刚开始得分可能会是天文数字！但是随着估算技巧的进步，得分会逐渐降低，这也就是这个游戏所要引导产生的结果。 这个游戏很有趣，现在就开始玩吧！
解答与分析 经验证明，这个游戏能得到不同程度参与者的喜爱。在英国和澳大利亚，这种测验比赛正逐渐流行。 这个游戏不但能提高投手的估算能力，对培养击球手的估算能力也有帮助，因为他必须设计出他认为难以估算的算式，而且在游戏过程中他也会自行估算。 这个游戏还可以有另一种玩法。将所有算式写在一叠卡片上，击球手轮流从其中抽出11张卡片。可以依照参赛者的不同程度做出难易不同的卡片，这样程度较低的人也可以和程度较高的人比赛，而且还有机会获胜呢！ 此外，也可以让两人或更多的人同时对某一个算式进行估算，累积误差最小的人获胜。 请你移走下图中的4根火柴棒，形成4个面积相等的等边三角形。
在一张纸上仔细画出12条直线，每条线长3cm，间距2cm，如图1所示。 然后将第一条线顶端和最后一条线末端连成直线，沿此线将这张纸裁成两张。 现在沿着切开的边缘，如图2所示移动这两张纸，使直线重合。
现在纸上有几条直线？你如何解释其中的矛盾？
解答与分析 你的眼睛没有骗你，滑动纸张后的确只剩11条直线。不过这些直线都稍微变长了。原来12条直线的总长度为12×3＝36cm。新的直线长 用尺量量看，直线是否变长了。你也可以画25条3cm长的直线，彼
由于从英国前往欧洲大陆度假的旅客人数越来越多，往来其间的飞机班次也随之增加。一位航管员负责定出从英国南部到欧洲大陆旅游点的安全航线，以安排日益增加的航班。 其中令他倍感困惑的问题是由3家航空公司引起的。这3家公司分别在机场A、B、C营运，并要求直航到机场P、Q、R。由于空中交通非常频繁，维持这些航线不互相交叉是很重要的，更不允许飞机越过某个机场的上空。你能替航管员解决问题，找出那9条航线吗？ 解答与分析 本题无解。一旦由机场A与B到P、Q、R的飞行路线安排好之后，一定会有一个机场(如图中的P)无法由C到达。可以安排8条航线，但不可能有第九条。
在市中心一个小型地下停车场里，车子像沙丁鱼一样挤在一起。由于车子停得太靠近了，所以只能向前或向后移动。图中1号车的车主急着要开出停车场，请你协助停车场的管理员，以车辆移动次数最少的方式，使1号车离开它所陷入的车阵。解题时可以利用骨牌作为视觉上的辅助工具。 解答与分析 把车宽定为1，车长定为2，英文字母L、R、U、D分别代表往左、右、上、下移动。 那么经下列移动后，1号车就可以脱离车阵了：3(L1)、4(U1)、5(R2)、11(U2)、6(U1)、7(U2)、12(L4)、8(L1)、13(U1)、10(R1)、1(D6)。解题关键是要看出10号车必须往右移动，这只有在13号车往上移动后才能做到，而这又必须先将12号车往左移动，以此类推。尝试设计类似的题目。
1982年，有一种称为“辛赛的奥妙”(Shinsei Mystery)的数学玩具上市，它是由两个相同的部分组成的，每一部分又是由8个互相连接的多面体构成。它可以组合成许多奇妙的形状，其中包括立方体和12个顶点的星状体。 这个模型的基础是半个立方体(如图1)，可以把它看成是3个角锥体(6个这样的角锥体构成立方体)，向内折使其顶点会合于立方体的中心。这个半立方体的展开图见图2。展开图中有一个三角形的面出现两次，可以粘合在一起，以增加强度。 “辛赛的奥妙”每一半都有8个这样的半立方体，彼此以巧妙的方式连接在一起。它可以叠成如图3所示有12个顶点的星状体。为了说明连接的方法，我们可以把星状体水平分成两半，再把相同的两半并排在一起，用比较平面的方式表现。
图4是由上方俯视的示意图，A、B、C对应于立方体展开图(图2)的标示。将8个半立方体的底面DEF按图所示置于平面上，并用胶带纸粘贴。现在你也拥有一个奇妙的模型了，任何把玩它的人都会觉得趣味盎然。用不同颜色的纸板再做一个相同的模型，你会发现它们可以组合在一起，而且可以使其中一个消失在另一个之中。
你可以把立方体分成3个相同的角锥体，如图1所示的ABCDV。这个角锥体不像前面的模型那样是对称的，它的顶点是在正方形底面一角的正上方。这么一来，角锥体的两个三角形面，即ADV和CDV，正好是立方体两个正方形面的一半。另外两个面ABV和CBV则是直角三角形，它们的边分别是正方形的边、正方形的对角线，以及立方体的对角线。因此这种角锥体是很容易制作的。
第一次制作这个模型时，可以利用展开图2做出3个相同的角锥体，再用胶带纸把它们粘成图2右下方所示的“L”形，注意底面的方向须如图所示。这是比较容易的方法。不过，尝试设计出包含3个角锥体的展开图，将是一个有趣的挑战。 这里要介绍一种制作四面体(见图1)的简单方法。四面体完成后，你还可以随时将它恢复成平面。
将一张长28cm、宽4cm的长方形卡片纸，等分为4个相等的小长方形，并如图2所示画出对角线。利用圆规的尖端或剪刀，小心地在垂直线和对角线上刻出印痕。再将长方形的两端以胶带纸粘合，形成环状。所形成的环带就可以折成四面体了。
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