用卡诺图化简逻辑函数

一、卡诺图

    逻辑函数可以用卡诺图表示。所谓卡诺图，就是逻辑函数的一种图形表示。对n个变量的卡诺图来说，有2 个小方格组成，每一小方格代表一个最小项。在卡诺图中，几何位置相邻（包括边缘、四角）的小方格在逻辑上也是相邻的。

二、最小项的定义及基本性质：

1、最小项的定义

    在n个变量的逻辑函数中，如乘积项中包含了全部变量，并且每个变量在该乘积项中或以原变量或以反变量的形式但只出现一次，则该乘积项就定义为该逻辑函数的最小项。通常用m表示最小项，其下标为最小项的编号。编号的方法是：最小项的原变量取1，反变量取0，则最小项取值为一组二进制数，其对应的十进制数便为该最小项的编号。如最小项 对应的变量取值为000，它对应十进制数为0。因此，最小项 的编号为m ，如最小项 的编号为m ，其余最小项的编号以此类推。

2、最小项的基本性质：

   （1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而其余各种变量取值均使它的值为0。

   （2）不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。

   （3）对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。

    图1.4.1分别为二变量、三变量和四变量卡诺图。在卡诺图的行和列分别标出变量及其状态。变量状态的次序是00，01，11，10，而不是二进制递增的次序00，01，10，11。这样排列是为了使任意两个相邻最小项之间只有一个变量改变（即满足相邻性）。小方格也可用二进制数对应于十进制数编号，如图中的四变量卡诺图，也就是变量的最小项可用m₀, m_１,m_２,……来编号。

                           图1.4.1 卡诺图

二、应用卡诺图表示逻辑函数

    应用卡诺图化简逻辑函数时，先将逻辑式中的最小项(或逻辑状态表中取值为1的最小项)分别用1填入相应的小方格内，其它的则填0或空着不填。如果逻辑式不是由最小项构成，一般应先化为最小项或将其列出逻辑状态表后填写。

三、应用卡诺图化简逻辑函数

1、一个正确卡诺圈的要求：

    （1）画在一个卡诺圈内的1方格数必须是2 个（m为大于等于0的整数）。

（2）画在一个卡诺圈内的2 个1方格必须排列成方阵或矩阵。

（3）一个卡诺圈内的1方格必须是对称相邻的。

2、利用卡诺图化简逻辑函数的步骤：

    （1）先找没有相邻项的独立1方格，单独画圈。

    （2）其次，找只能按一条路径合并的两个相邻方格，画圈。

    （3）再次，找只能按一条路径合并的四个相邻方格，画圈。

    （4）再次，找只能按一条路径合并的八个相邻方格，画圈。

    （5）依此类推，若还有1方格未被圈，找合适的圈画出。

     如： 化简

 

 

   则有：Y1=

   化简

          

3、 具有无关项的逻辑函数的化简

    逻辑函数中的无关项：

 

   用“×”（或“d” ）表示

    利用无关项化简原则：

   无关项即可看作“1”也可看作“0”。卡诺图中，圈组内的“×”视为“1”，

组外的视为“0”。

    例1 为8421BCD码，当其代表的十进制数≥5时，输出为“1”，求Y的最简表达式。（用于间断输入是否大于5）

    解：先列真值表，再画卡诺图

A	B	C	D	Y	A	B	C	D	Y
0	0	0	0	0	1	0	0	0	1
0	0	0	1	0	1	0	0	1	1
0	0	1	0	0	1	0	1	0	×
0	0	1	1	0	1	0	1	1	×
0	1	0	0	0	1	1	0	0	×
0	1	0	1	1	1	1	0	1	×
0	1	1	0	1	1	1	1	0	×
0	1	1	1	1	1	1	1	1	×

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    写出表达式：Y=
   归纳起来，n个变量卡诺图中最小项的合并规律如下：

    （1）卡诺圈中小方格的个数必须为2^m个，m为小于或等于n的整数。
    （2）卡诺圈中的2^m个小方格有一定的排列规律，具体地说，它们含有m个不同变量，(n-m)个相同变量。
    （3）卡诺圈中的2^m个小方格对应的最小项可用(n-m)个变量的“与”项表示，该“与”项由这些最小项中的相同变量构成。
    （4）当m=n时，卡诺圈包围了整个卡诺图，可用1表示，即n个变量的全部最小项之和为1。