文艺复兴前的沉寂：中世纪的欧洲数学

作者：学夫子

时间和历史，当然我天衣无缝的整体，就像数学中的连续统一样，任何细分的时期都是人的手工品；但正如坐标系在几何中很有用一样，把事件细分为时期或时代在历史学中也是方便之举。——《数学史》

阿拉伯数学最辉煌的时代，正是欧洲黑暗沉闷的中世纪时期，前前后后持续了一千多年。历史上，人们把475年罗马的陷落标定为中世纪的开始，而把1453年君士坦丁堡落入土耳其人之手作为中世纪结束的标志。从数学史的角度，我们最好把中世纪的开始定位524年，这是数学家波伊提乌去世的年份，也接近埃克西谷建议将年代学建立在基督纪元基础上的时间；然后将1436 年定位中世纪的结束，这一年是阿拉伯数学家卡西去世的年份，同时也是另一位数学家雷格蒙塔努斯出生的年代，这一年因此有着这样一种特殊含义：使用阿拉伯文写作的数学家开始被使用拉丁文写作的数学家所替代。

从世界的角度，整个中世纪有五个伟大的文明：中国，印度，阿拉伯以及今天要说的东罗马帝国和西罗马帝国。东罗马帝国以君士坦丁堡（拜占庭）为中心，并以希腊语为官方语言；西罗马帝国没有一个中心，没有单一的语言，但在这里的学者们以拉丁文为通用语。

一：黑暗沉闷的时代

在拜占庭，希腊数学文明在这里得到默默的延续，但真的只是静悄悄地……虽然也有辛普里丘、伊西多尔、查士丁尼等科学家，但是他们的成就要么就是对已有的希腊作品进行评注，要么就仅仅是“独立”发现一些比希腊数学低级得多的思想。拜占庭的数学，更多的是充当一个“保险箱”的作用，将希腊数学成就进行尽可能的保存，直到西方做好了接续的准备。或许是由于政治因素，使得这个时候的数学家不能充分地发挥他们的才能，如果你知道撰写了一部非常低级的教科书和一本非常简单的《词源学》的卡西奥多鲁斯——便是他那个年代最有学问的科学家的时候，你就能充分理解那个时代的悲哀：“学术研究已经在我们中间死去。”那确实是科学的“黑暗时代”，接下来的两个世纪里，这种黑暗进一步加深，以至于在接下来的两个世纪里，除了尊者比得笔下的沙沙声，再也听不到任何学术方面的声音。而比得的任务，便是编写涉及到教会历法所需要的数学。

二：翻译的时代

比得死后，法国出了一个阿尔昆，他受查理曼大帝的召请前去复兴法国教育，进步非常明显，但是阿尔昆的数学成就并无值得一提的内容。随后值得一提的，是法国的吉尔伯特，这是一个在政治和学术领域都非常活跃的人，他写过算术和几何的作品，也很有可能是欧洲第一个讲授如何使用印度——阿拉伯计数体系的人，不过却没有用到“零”。在吉尔伯特之前，中世纪的欧洲根本没有任何值得注意的数学发展，最初基督教对待学术的态度，很想早期的伊斯兰教一样，有了耶稣基督的福音，什么学术的声音就不必需要了，直到12世纪情况才有所改变，也不知道是什么原因激发了穆斯林世界的学术渴望，人们大力学习阿拉伯语，开始大量翻译阿拉伯作品，欧几里得的《几何原本》、托勒密的《至大论》等这批阿拉伯文版的作品都被翻译成拉丁文。这其中杰出的翻译家有：阿德拉尔德、罗伯特、鲁道夫、杰勒德、约翰等等。最伟大的要归杰勒德莫属，超过85部作品的翻译被归到他的名下。我们如今数学中的一部分英文术语，都是出自这一时期，要说的是，这里面很多词语都是因为翻译错误造成的，比如正弦的英文——sin：首先是印度人给正弦命名为jiba，到了欧洲人的手中时，负责翻译的学者——英国的罗伯特——因为大意把这个词与阿拉伯语中的“jaib”搞混了，jaib在阿拉伯语中的意思是“海湾，小河湾”，于是，罗伯特用拉丁文中表示“海湾、小河湾”的词“sinus”命名了正弦，错误就这样延续至今天；再比如在翻译花拉子米的作品《代数学》时，人们对花拉子米的名字产生了混乱，并导致人们将其名字拿来作为“代数运算”的命名。

三：印度-阿拉伯计数体系的传播

在翻译阿拉伯人的作品中，很自然就接触到了其计数体系，不过希腊的计数体系与印度的计数体系却在这里产生了竞争，不同的人有不同的选择。在推动印度计数体系传播的过程中，有三个人的名字我们必须要提——一个是法国修士维勒迪约，另一位是英国神学家约翰，以及斐波拉契，没错，就是斐波拉契数列的斐波拉契。也许没有想到这位鼎鼎大名的数学家生活的时期却还是印度数字还没有得到推广的时候吧！斐波拉契大力在他的作品中推广了印度数字体系，除此之外他还讨论了分数运算、三次方程的解法，当然少不了著名的斐波拉契数列。在随后的时间内，虽然仍然有希腊计数体系与印度体系的竞争，但印度体系显然以及占据上风，被许多数学家所广泛采用。

四：其他数学成就

1：诺瓦拉的坎帕努斯
卡帕努斯的数学呈现一种思辨的味道。他也翻译了欧几里得的《几何原本》，这也是中世纪晚期较为权威的译本。他和约旦努斯讨论了“接触角”，也就是圆上一段弧与其端点上的切线所成的角度，并由此看到欧几里得的穷举法命题不能用于接触角。
2：菲诺伯努斯在运动学方面的研究，提出了非常类似后来的“惯性”的思想。
3：布雷德沃丁讨论了无限细分的思想，特别是“连续统的”的思想——连续量尽管包括无穷多个不可分的量，但他并不是由数学原子构成。这种思考影响了19世纪康托尔的无穷小概念。
4：奥雷斯姆在他的《论比例的比例》中讨论了小数幂，并且富有想象力地提出——无理幂也是有可能的。但由于缺乏恰当的术语以及表示法，也因此没能有效地发展无理幂的概念。无理幂的想法应该是奥雷斯姆最有才华的想法，但并不是最有影响的。他最有影响的想法是——他给匀速直线运动物体画了一幅速度——时间图！他沿着一条水平线标出了代表时刻（称为纬度）的点，并在每一个时刻垂直的方向画了一条称为“经度”线段，他看到了匀速运动的图象是一条直线，直线下的面积代表了经过的路程。这是一个非常了不起的想法——这是人类第一次以图象的方式来描述变量。这是解析几何的前奏，并且其求三角形面积来表示物体运动的距离，这正是微积分思想的最简单形式。奥雷斯姆在这方面走得更远——他甚至将这种思想推广到了三维空间。

五：中世纪学术的衰微

这是一个非常黑暗的时代，从7世纪的低谷，到14世纪斐波拉契和奥雷斯姆的作品，看起来进步非常惊人。但整个时期——也就是中世纪——全世界所有文明的努力加起来也比不上古希腊的数学成就。不过从斐波拉契和奥雷斯姆过后，西欧数学又一次开始衰落——刚刚才开始就衰落，这其中的一个原因便是那一场谈起来都非常恐怖的黑死病的爆发，这场病魔夺取了无数人的生命，刚刚成为学术中心的英国和法国，因为15世纪的战争遭受重创，学术自然也就衰落。而在这个时期，意大利、德国和波兰的大学接下了牛津大学和巴黎大学的数学领导权，开始酝酿这历史上伟大的文艺复兴。