MBA数学串讲讲义

MBA考试用到的公式总结：

1.       乘法公式与因式分解：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

2.       指数

（1）      （2）

（3）        （4）

（5）         （6）

3.       对数（ ）

（1）对数恒等式   ，更常用

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）换底公式

（7） ，

4.排列、组合与二项式定理

（1）排列 

（2）全排列 

（3）组合 

组合的性质：

（1）       （2）

（3）二项式定理 

l         展开式特征：

1）

2）

3）指数：

4）展开式的最大系数：

l         展开式系数之间的关系

1） ，即与首末等距的两相系数相等。

，即展开式各项系数之和为

即奇数项系数和等于偶数项系数和

二、平面几何

b

h

a

b

c

a

h

B

A

C

1. 图形面积

（1）任意三角形

                            

(2)平行四边形：

(3)梯形：S＝中位线×高＝ （上底＋下底）×高

r

l

O

θ

（4）扇形：

弧长  

2.  旋转体

（1）圆柱

设R――底圆半径    H――柱高，则

1）  侧面积：

2）  全面积：

3） 

l

H

R

体积：

（2）圆锥：（  斜高）

1）侧面积：

2）全面积：

3）体积：

（3）球

设R――底圆半径，则

1）  全面积：

2）  体积：

   

三、解析几何

1.       两点距离公式：

设  ， 为平面上两点，则A、B的距离为

2.       平面直线方程

（1）       一般式： ，斜率

（2）       斜截式： ，

（3）       点斜式： ，通过点 ，

（4）       截距式： ，  ， ，a、b为两轴上的截距

（5）       两点式：

3.       直线间关系

设二直线

       

1）    或 

2）   或

3）重合

4.       点到直线的距离

5.       圆的方程

 

充分性判断题解题技巧

【充分条件基本概念】

1.定义   对两个命题A和B而言，若由命题A成立，肯定可以推出命题B也成立（即 为真命题），则称命题A是命题B成立的充分条件。

2.条件与结论   两个数学命题中，通常会有“条件”与“结论”之分，若由“条件命题”的成立，肯定可以推出“结论命题”也成立，则称“条件”充分.若由“条件命题”不一定能推出(或不能推出)“结论命题”成立,则称“条件”不充分.

【充分条件基本题型】

本书中,所有充分性判断题的A、B、C、D、E五个选项所规定的含义,均以下列呈述为准,即:

(A)条件(1)充分,但条件(2)不充分;

(B)条件(2)充分,但条件(1)不充分;

(C)条件(1)和(2)充分单独都不充分,但条件(1)和(2)联合起来充分;

(D)条件(1)充分,条件(2)也充分;

(E)条件(1)和(2)单独都不充分,条件(1)和(2)联合起来也不充分.

 

常用的求解方法有以下几种:

解法一   直接法(即由A推导B.)

若由A可推导出出B,则A是B的充分条件;若由A推导出与B矛盾的结论,则A不是B的充分条件.

 

例1  要保持某种货币的币值不变.

(1)  贬值10%后又升值10%;

(2)  贬值20%后又升值20%;

分析   设该种货币原币值为 .

由条件(1)经过一次贬值又一次升值后的币值为:

显然与题干结论矛盾.

所以条件(1)不充分.

由条件(2)经过一次贬值又一次升值后的币值为:

即  题干中的结论成立,所以条件(2)充分,故应选择B.

 

例2  等差数列 中可以确定

(1)

(2)

 

解  据等差数列性质有

由条件(1)

.条件(1)充分.

由条件(2) 

又   

所以条件(2)也充分.故应选择D.

 

解法二   定性分析法(由题意分析,得出正确的选择.)

当所给题目比较简单明了,又无定量的结论时,可以分析当条件成立时,有无结论成立的可能性,从而得出正确选择,而无需推导和演算.

 

例1  对于一项工程,丙的工作效率比甲的工作效率高.

(1)甲、乙两人合作,需10天完成该项工程;

(2)乙、丙两人合作,需7天完成该项工程;

解  条件(1)中无甲与丙间的关系,条件(2)中亦无甲与丙间的关系,故条件(1)和(2)显然单独均不充分.

将两条件联合起来分析:在完成相同工作量的前提下,甲与乙合作所需时间比乙与丙合作所需时间多,故甲的工作效率当然比丙的工作效率低,题干结论成立,所以条件(1)和(2)联合起来充分.

故应选择C.

 

例2  在一个宴会上,每个客人都免费获得一份冰淇淋或一份水果沙拉,但不能同时获得二者,可以确定有多少客人能获得水果沙拉.

(1)  在该宴会上,60%的客人都获得了冰淇淋;

(2)  在该宴会上,免费提供的冰淇淋和水果沙拉共120份.

解   由于条件(1)中不知客人总数,所以无法确定获得水果沙拉的客人的人数.而由于条件(2)中只给出客人总数,所以仍无法确定获得水果沙拉的客人的人数,故条件(1)和(2)单独显然均不充分.

由条件(2)知客人总数,由条件(1)可获得水果沙拉的客人点总客人数的百分比,必可确定获水果沙拉的客人的人数,所以条件(1)和(2)联合起来充分.

故应选择C.

 

解法三   逆推法(由条件中变元的特殊值或条件的特殊情况入手,推导出与题干矛盾的结论,从而得出条件不充分的选择.)

 

例1  要使不等式 的解集为R.

(1)                    (2) .

解  由条件(1) ,取 ,原式即 ,

此不等式化为:    

所以   .

所以不等式的解为 ,所解集为R矛盾.

所以条件(1)不充分.

由条件(2), ,取 ,不等式化为 ,

此不等式化为:

所以 .

所以不等式的解为 与解集为R矛盾.

所以条件(2)也不充分.

条件(1)和(2)联合,得

所以 ,显然条件(1)和(2)联合起来也不充分.

故应选择E.

 

例2  三个球中,最大球的体积是另外两个球体积之和的3倍.

(1)    三个球的半径之比为1:2:3;

(2)    大球半径是另两球半径之和.

解  由条件(1)设三球半径分别为

所以大球体积

两小球体积和

显然 .

所以条件(1)充分.

由条件(2)设两小球的半径分别为 ,大球半径 .所以

显然 .

所以条件(2)不充分.

故应选择A.

 

 

 

 

 

    解法四  一般分析法(寻找题干结论的充分必要条件.)

即:要判断A是否是B的充分条件,可找出B的充要条件C,再判断A是否是C的充分条件.

例1  要使 的展开式中的常数项为60.

(1)a=1            (2)a=2

解   设 展开式的常数项为 ,因为

.

所以 

因为  ,

所以 

所以题干中结论的充要条件是 .

所以条件(1) 不充分;条件(2) 充分.

故应选择B.

此题用解法一需要将 和 代入,推算两次,而用此种方法只推算一次得出 即可.

 

例2  要使关于x的一元方程 有四个相异的实根。

（1） ；              （2） 。

解   方程 有四个相异的实根，设 ，则方程 应有两个不等正实根 ，所以

即    

所以  

所以题干中结论的充要条件是

所以条件（1）充分，

    条件（2）不充分

故应选择A..

一道条件充分性判断试题有时可以用多种方法求解,如上面的例2也可求解如下:

又解   设 ,所以原方程化为:

        

原方程有四个相异实根,即(*)有两个不等正实根.因为

由条件(1) ,所以 ,又因为两根之和为2,两根之积为k,由条件(1) 所以这两根一定是不等正实根.题干结论成立,所以条件(1)充分.

由条件(2) ,取 ,则(*)化为

方程无实根.

题干结论不成立,所以条件(2)不充分,故应选择A.

 

  解法五  化繁就简法(化简题目)

例1   成立.

(1)                      (2)

 由题目看出,这几个式子都比较繁杂,难以看出彼此关系,通过化简将

                

进一步得x=4.

对条件(1)化简为 .

对条件(2)化简为 进一步得 ,由于 ,所以 ,则(1)不充分,(2)充分.

 

 

 

 

解法六  数形结合法(用直观的图来表示题目)

例1  设A、B为随机事件,A = B成立.

(1)

(2)

本题如果用计算或推理都很难下手,我们考虑作图.先考虑条件(1),阴影部分为 ,而 即指 与B不相交,则B只能躲藏于A的内部,这样可以得到 .同理根据条件(2)可以得到 .

显然由 且 ,可以得到A=B,即可选C.这就是画图的妙用.脑子里很难想明白的关系,纸上一画图,有豁然开朗的感觉,考生们不妨一试.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解法六  排除法(举反例排除错误的选项)

 

例1  不等式 成立

(1)    (2)

对于条件(2) ,直接代入不等式 成立,条件(2)充分.

对于条件(1),不好直接解答,可考虑举反例,令 ,代入原不等式, 不成立,则(1)不充分,最后结果应选B.

 

  

MBA数学考试重点难点提示

（一）绝对值

例1、等式 成立的条件是

(A)                     (B)

(C)              (D)

(E) .

解   由 这一基本绝对值不等式中,等号成立的充要条件为 ,可以得知:

当 或 时等式都能成立.应先C.

 

(二)比和比例

例1、设 ,

则使 成立的y值是

(A)24                     (B)36

(C)74/3                  (D)37/2  （E）无法确定

这是典型的比例问题,题型较新颖,但仍可利用比例系数,像一般比例问题一样去求解.由已知有 ,即

  此题应选A.

 

 

例2、某厂生产的一批产品经检验,优等品与二等品的比是5:2,二等品与次品的比例是5:1,则该批产品的合格率(合格品包括优等品与二等品)为:

(A)92%                 (B)92.3%            (C)94.6%                     (D)96%  （E）无法确定

此题给出了两个比,但却必须知道3种不同等级的产品在这批产品中,各自所占的比例,这就需要利用比例中项和比例的性质定理,求出同一个量在不同的比中的数值的最小公倍数,再利用比的性质,把它们化为比例式.如:

优质品:二级品          二级品:次品

则可得到   优质品:二级品:次品=25:10:2

应选C.

2.关于比例系数

例1、已知 的值是

(A)19                          (B)-19                      (C)6                    (D)-6  （E）无法确定

解    由已知有

则   

又如,若 ,要求出 的值,这里再告诉你一个简单有效的计算方法,那就是将上式中的x、y,分别以3和5代换直接计算即:

就是正确答案.

要证明不难,请看下面的过程:

因此设比例系数

代入求值原式,即

 

 

 

例1、某公司得到一笔贷款共68万元，用于下属三个工厂的设备改造，结果甲、乙、丙三个车间按比例分别得到36万元、24万元和8万元。

(1)甲、乙、丙三个工厂按 的比例分配贷款.

(2)甲、乙、丙三个工厂按9:6:2的比例分配贷款.

解  由条件(1) =9:6:2

即条件(1)与条件(2)等价.从而可能的选项只有D,或E,设比例系数K,则依题意有

甲、乙、丙三厂分别分配得:

.

即结论成立,条件(1),(2)都充分,选D.

3.百分比问题

例1、一种货币贬值15%,一年后需增值百分之几才能保持原币值.

(A)15%                  (B)15.25%

(C)16.78%               (D)17.17%                

(E)17.65%

分析  解此题的关键在于所求的百分比是比贬值后的币值为标准量的,只要明确了这个概念,不难得出正确的解法:应设需增值x%,并假定原币值为a,依题意有:

应选E.

 

例2、某商店将每套服装按原价提高50%后,再做七折“优惠”的广告宣传,这样每售出一套服装可获利625元.已知每套服装的成本是2000元,该店按“优惠价”售出一套服装比原价

(A)多赚100元               (B)少赚100元

(C)多赚125元               (D)少赚125元

(E)多赚155元

解  解题之关键是要分清成本价,原销售价、“优惠价”和利润这几个概念,有些题目还会给出利润所占的百分比,此时要注意,通常情况下毛利率这一百分比的标准量是销售价而不是成本价,这是在工商管理学的教材上明确定义的,但具体题目还是会有指明以成本价计算利润率的情况,只能具体问题具体分析了,此题是已知最终售价即“优惠价”,由此逆推,依所给条件去求原价,即可知盈亏.

依题意“优惠价”为   2 000+625=2 625(元)

所以原价是  2 625÷70%÷(1+50%)=2 500(元)

多赚   2 625-2 500=125(元)

应选C.

 

 

 

 

 

例3、一商店把某商品按标价的九折出售,仍可获利20%,若该商品的进价为每件21元,则该商品每件的标价为

(A)26元             (B)28元

(C)30元             (D)32元

分析  可设标价为x元,则打折后的实售价为9x/10,而标价的20%为利润,即x20%,依题意有:

9x/10-20x%=21

x=30(元)

应选C.

解法中用到的一个概念,即

实售价-成本=利润,这是显而易见的,此题所涉及的商家的打折是真诚的让利行为,将原定价时的30%的利润率,降至20%,即从获利9元降到6元,此题若以成本价为标准量得:

(元)

将得到错误答案B.

 

  （三）方程与方程组

1、一元二次方程的求根公式

一元二次方程    有

其中 称为判别式.

    △≥0时，方程有两实根（△=0时为二等根）；

△<0时，方程无实根。

2、一元二次方程的根与系数的关系

关于x的方程 ，若有二实根 这是韦达定理中最简单的情况，3、一元三次方程的根与系数的关系：

若 为其3个实根，则必有

                

 

 

 

 

例1、已知方程 的值是           

由三次方程的韦达定理有：

 

例2、要使关于 的方程:

的两个实根分别满足 .实数m的取值范围应是

(A)                     (B)

(C)                                    (D)

(E)

解   答案是A.

分析   令 此函数的图像是开口向上的抛物线,且与x轴交于 两点,于是有如下不等式组:

公共解为

练习题：

1．筑路队修一条公路，前 天共修 m，后 天共修504m，平均每天修多少米？   (61)

2.有 个数，最小的是 ，从第二个数起，每个数都比它的前一个数多 ，求这 个数的平均数是(      ).                                                     (28.5)                                                          

3. 某人以 公里/小时的平均速度上山，上山后立即以 公里/小时的平均速度原路返回，那么此人在往返过程中的每小时平均所走的公里数为（    ）。

A. 9        B. 8          C. 7         D. 6      E. 以上均不正确

4．甲、乙两个仓库共存有抗洪物资810吨，从两个仓库各调出150吨物资后，甲、乙两仓库所剩的物资比是 ，原来甲、乙两仓库各存有物资(  )吨.      (450,360)

5. 甲、乙两种茶叶以 (重量比)混合配制成一种成品茶,甲种茶叶每斤50元, 乙种茶叶每斤40元,现甲种茶叶价格上涨10%,乙种茶叶价格下降10%,成品茶价格恰好仍保持不变,则 =(  )

A．1:1        B．5:4       C．4:5             D．5:6  E. 以上均不正确

6. 某公司得到一批贷款68万元，按 的比例分配给下属的甲，乙，丙三个工厂。则甲厂得到贷款

A．24万元    B.36万元   C.28万元    D. 32万  E. 以上均不正确

7. 甲，乙，丙三人进行200米赛跑，（假设他们的速度保持不变。）甲到终点时，乙离终点还差20米，丙离终点差25米，那么乙到达终点时，丙离终点还差（  ）米。

     A.       B.      C. 6      D. 8  E. 以上均不正确

8．车间共有40人，某次技术操作考核平均成绩为80分，其中男工平均成绩为83分，女工平均成绩为78分，该车间有女工

A．16人      B.18人      C.20人     D.24人  E. 以上均不正确

              

9.某工厂二月份产值比一月份的增加 ，三月份比二月份的减少 ，那么     。

A．三月份与一月份产值相等。            B．一月份比三月份产值多 。

C．一月份比三月份产值少 。       D．一月份比三月份产值多 。 

E. 以上均不正确    (B)

10 已知甲，乙两种商品的原价之和为150元，现甲商品降价10％，乙商品提价20％后，            

  两种商品的单价之和比原单价之和降低了1％。求甲，乙两种商品的原价各为多少？

11. 一卡车从甲地驶向乙地，每小时行60千米，另一卡车从乙地驶向甲地，每小时行55千米。两车同时出发，在离中点10千米处相遇，则甲乙两地之间的距离为（  ）千米。

12.  甲、乙两人同时从同一地点出发，相背而行。1小时后他们分别到达各自的终点A和B。若从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A之后35分钟到达B。问甲的速度和乙的速度之比是

A．      B．      C．          D．    E. 以上均不正确                (D)

13. 两个码头相距352千米，一艘客轮顺流而下行完全程需要11小时，逆流而上行完全程需要16小时。则这条河的水流速度为（   ）KM/H。                 (5)

14.  某部队以每分钟100米的速度夜行军，在队尾的首长让通信员以3倍于行军的速度将一命令传到部队的排头，并立即返回队尾。已知通信员从出发到返回队尾，共用了9分钟，则行军部队队列的长度为（      ）米。                             (1200)

15. 修整一条水渠，原计划由 人修，每天工作 小时，6天可以完成任务。由于特殊原因，现要求 天完成，为此又增加了 人，则他们每天要工作（     ）小时。(10)

16. 某项工程8个人用35天完成了全工程量的 ，如果再增加6个人，那么完成剩余的工程还需要的天数是（   ）

        A.18      B.35    C.40      D.60       E. 以上均不正确                           (40)

17. 在桥上用绳子测量桥的高度,把绳子对折垂到水面尚余8米, 把绳子三折垂到水面尚余2 米,则桥高和绳长分别为（     ）米.                                (10,36)

18.A,B,C,D,E五支篮球队相互进行循环赛，现已知A队已赛过４场，B队已赛过3场，C队已赛过2场，D队赛过1场，则此时E队已赛过(      )场。               (B)

　   A.1       B.2        C.3         D.4     E. 以上均不正确

20. 若 ,则

A    B     C.    D.

E. 以上均不正确      (B)

21. 10. 设 ，且 。则 （     ）

   A.        B.         C. 2        D.-2  E. 以上均不正确

22. 设方程 的两个根的平方和为1，则 （   ）。

       A．          B．4              C．3或           D．4或

                      

23. 不等式 的解集是区间 ，则 等于(   ).

A. .        B. .          C. .        D. .     E. 以上均不正确    (A)

24．使不等式 成立的范围是[   ]

A.     B.   C.   D.  E. 以上均不正确

25．不等式

 

26. 不等式 的解集是（　　　）。                        

   　

27.已知数列 是等差数列，且 ，数列 的通项为（  ）。

                                                                       （2n）

28．设 是一等差数列，且 ，求 和 。（32,192）

29． 三个不相同的非零实数 成等差数列，又 恰成等比数列，则 （　）。（A）

　　 A.4         B.2        C.-4         D.-2  E. 以上均不正确

30.设 是一等比数列，且 ，求 和 。     (3,1536,576)

31．在各项都是正数的等比数列 中，公比 ，并且 成等差数列，则公比  的值为（　　）。                                                    ( )

32．设 为正整数，在1和 中间插入 个正数，使这 个正数成等比数列，则所插入的 个数的积等于（　　　　）。                                 (A)

　　A. 　　　　　B.        C.            D.

33. 设 为实数，给出下列两个叙述

①  如果关于 的一元二次方程 有两个相等的实根，则 成等比数列；

② 如果 成等差数列，则 成等比数列。

下列结论正确的是[   ]

A. 叙述①正确，叙述②错误    B. 叙述②正确，叙述①错误  

C. 叙述①②都正确            D. 叙述①②都错误  E. 以上均不正确

34.知等差数列 满足 ，则有[   ]

A.       B. 

C.       D.    E. 以上均不正确