弗赖登塔尔

弗赖登塔尔﹝H. Freudent

弗赖登塔尔﹝H. Freudenthal﹞

《做为教育任务的数学》

《除草与播种──数学教育科学的前言》

《数学结构的教学现象学》

汉斯?弗赖登塔尔﹝Hans Freudenthal，1905-1990﹞，荷兰数学家、数学教育家。本文主要介绍他的三本着作：《作为教育任务的数学》﹝Mathematics as an Educational Task，D. Reidel Publishing Company，1973﹞、《除草与播种─数学教育科学的前言》﹝Weeding and Sowing─Preface to a Science of Mathematical Education. D. Reidel Publishing Company，1978﹞、《数学结构的教学现象学》﹝Didactical Phenomenology of Mathematical Structures，D. Reidel Publishing Company，1983﹞.

一、  作者介绍

汉斯?弗赖登塔尔﹝1905─1990﹞为国际上享有圣名的数学教育权威，荷兰数学家和数学教育家。他出生于德国，1930年获柏林大学数学博士学位，自1946年起任荷兰乌得勒支﹝Utrecht﹞大学教授，1951年起为荷兰皇家科学院院士，1971─1976年任数学教育研究所所长，他还曾获的柏林大学、爱尔朗根大学、布鲁塞尔大学、多伦多大学及阿姆斯特丹大学的荣誉博士称号。

弗赖登塔尔在数学方面的主要工作领域是拓朴学和李群【辣椒注：在数学中，李群（Lie group）是具有群结构的实流形或者复流形，并且群中的加法运算和逆元运算是栁形中的 解析映射。李群在数学分析、物理和几何中都有非常重要的作用。同时李群也常被用于人名，在诸多领域均有同名人物】。同时也涉及其它数学分支以及哲学与科学史领域，早自50年代起就开始进行数学教育方面的研究工作，共发表有著作140余种，这里介绍的三本巨著，被译成多种文字出版，在国际上产生了重大影响，人们普遍认为，如果说克莱茵在20世纪上半叶对数学教育作出了不朽的功绩，那么弗赖登塔尔就是20世纪下半叶数学教育事业的带头人。

弗赖登塔尔是一位卓越的组织者和改革家，1963─1974年间他一直是国际数学教育委员会﹝ICMI﹞的理事，他积极支持数学教育改革，但反对狂热的“新数”运动【辣椒注：20世纪50年代兴起的一场数学教育现代化运动。“新数”方案的基本原则是：要把内容的公理化的演绎体系变成中小学数学教学的中心，那些不从属于演绎方式的内容，如数学的应用，都要放到次要的地位】；1967年他当选为ICMI的主席，在此期间他做了两件对数学教育事业的发展有着深远影响的大事。第一，在他的积极推动下第一届国际数学教育会议﹝ICMI【辣椒注：国际数学教育委员会】﹞从国际数学家大会中分出来单独召开，其活动方式，也从一般的各国情况交流、调查汇报，转向考题式的讨论研究，从而促进了数学教育科学的探求与发展；由于弗氏的努力，ICMI终于成为一个促进数学教育研究的国际机构，而四年一度的ICMI也成为各国数学教育工作者交流切磋的最好机会。ICMI-7于1992年8月在加拿大的魁北克﹝Quebec﹞举行。第二，创办了《数学教育研究》﹝Educational Studies in Mathematics﹞杂志，其内容涉及许多国家的数学教育研究成果，今天它已成为国际上最有影响的数学教育刊物。

弗赖登塔尔在数学与数学教育方面都有精深广博的研究，也有丰富的实践经验。他的数学教育理论，完全是从数学的独特本质，数学发展创造的历史，以及数学理论与现实的关系出发，有着独到的见解，创造性的精僻分析，与目前流行的“教育学”加“数学例子”的做法不同。从这三本着作中，我们将可窥其一般。

弗赖登塔尔曾在1987年12月访问上海华东师范大学一个月，然后顺访北京。他访华的讲稿已经出版，题为《访问中国》。为了纪念弗赖登塔尔的功绩，荷兰的乌德勒大学建立了弗赖登塔尔数学教育研究所。

二、《作为教育任务的数学》

《作为教育任务的数学》一书，共有19章，其目录是：

﹝1﹞数学的传统。

﹝2﹞今日数学。

﹝3﹞传统与教育。

﹝4﹞数学教育的用处和目的

﹝5﹞苏格拉底﹝Socrates﹞的方法。

﹝6﹞再创造。

﹝7﹞用数学化的方法组织一个领域。

﹝8﹞数学的严谨性。

﹝9﹞教学。

﹝10﹞数学教师。

﹝11﹞数学的概念─客观地接近的方法。

﹝12﹞数的概念的发展─从直观方法到算法化的理论化。

﹝13﹞数的概念的发展─代数方法。

﹝14﹞数的概念的发展─从代数原理到代数的整体结构。

﹝15﹞集合与函数。

﹝16﹞几何的情况。

﹝17﹞分析学。

﹝18﹞概率与统计。

﹝19﹞逻辑。

再加上一个附录：皮亚杰学派对数学概念发展的研究。总篇幅达677页。

如作者在序言中所说，“本书并非术学的方法论著作，即并非系统阐述某些教材应当如何教，也不是对题材的系统分析。我很少涉及依赖统计方法估的教学实验，也不引用发展心理学或是学习心理学的实验结果。????我的观点大部分直接来源于教科书，教学设计，实际课程以及对个别儿童的观察，而主要的间接来源是与教师的谈话与讨论。”

作者不愿引用各种数学教学的调查研究资料，因为“???他们不能回答基本的教育问题，应当教什么？教的目的是什么？以及教给什么人????”。作者认为“真正的教育活动应该是在忠诚的信念引导下，沿着正确的道路通向教育。教育科学首先应当是这个忠诚信念的合理证明。你可以称之为哲学???调查研究只有在健康的教育哲学的土壤中才能成熟”。因而“本书最重要的是阐述一种数学教育哲学”。

作者在第一章中回顾了数学发展的历史，强调数学发展的动力来自于实践，“应当说，如果数学是无用的，它就不会存在”﹝P.16﹞。当然不能否认理论的作用。“数学总是跑在应用的前头，这是数学的发展道路─寻求各种思维的模式，而让应用者从中作出选择”﹝P.8﹞。理论与实践两者必须更好地结合起来，那才能“以更透彻，更符合逻辑的方式来分析自然”﹝P.8﹞。从而促使“今天在极端理论与极端实际的数学现象之间，存在一个几乎连续的过渡”﹝P.9﹞。

第二章作者论述了现代数学的特性表现在以下几个方面：

1.“数学表示的再创造与形式化活动”﹝P.30﹞。“有意识地以语言作为一个精确表达的工具称为形式化，???现代数学表现出一种强烈的结构化趋势，形式化就是一种方法”﹝P.29﹞。事实上形式体系已经成了现代数学的标志之一。

2.建立数学概念的方法，从典型的通过“外延描述的抽象化”，转向实现“公理系统抽象化”，特别是对“隐含定义的认识是重要的一步，它已经成为现代科学方法论的普遍范例。????这是在脱离亚里士多德﹝Aristotle﹞科学理论的道路上迈出的决定性的一步”﹝P.34﹞。

3.“在传统领域之间界限的日趋消失，是现代数学的特性之一”﹝P.42﹞，而几何直观却在其间起着联络的作用。因为几何直观可以告诉我们什么是重要的、有趣的和容易进入的。当我们陷入问题、观念、方法的困境中时，几何可以拯救我们。借用康德﹝Kant﹞的一个说法：“没有概念的直观是无用的，没有直观的概念是盲目的”﹝P.42﹞。

4.“现代数学与传统数学的区别就是强调概念成分还是强调算法成分”﹝P.44﹞。当然，算法数学与概念数学﹝或思辨的数学﹞的关系是辩证的。“不能将它等同于心新和旧”﹝P.44﹞，“概念的喷发，冲破了僵化的算法外壳，???而每个概念的更新又包含着自身的算法萌芽─这就是数学发展的道路”﹝P.44﹞。

第三章是作者讨论了传统与教育的关系。作者指出，“人类历史必然是一个前进的历史”﹝P.53﹞。只有突破了对传统、对权威的迷信，才能充分发挥科学的创造性。“科学是一种活动，科学不可能从课堂上与书本中学到，科学是做出来的”﹝P.55﹞。因而学校的“教学必须由被动地听发展成为主动地获得”﹝P.57﹞，“我们的教学应当为青年创造机会，通过他们自己的活动来获得文化遗产”﹝P.58﹞。而且教育中更重要的一个问题，不是教什么题材，而是“教给儿童更珍贵的东西。即如何掌握题材”﹝P.59﹞，因而“大多数学校需要重新组织数学，目的是使﹝学生﹞只能主动地学，而不能被动地学”﹝P.62﹞。

第四章围绕数学教育的目的进行了仔细的分析与研究。作者认为数学教育的目的必须随着时代而变化，数学教育的用处也必然受到社会条件的约束与限制，当然也要与学生的接受能力相对应。他特别探讨了以下几个方面：

1.体系  “以数学体系作为最终目的，那是为培养未来数学家的”﹝P.69﹞。“许多人必须学数学，其中少数人才会应用一些相对复杂的数学，但即使从不用数学的人也应当学数学，因为他们需要数学作为人类生存的一个方面”﹝P.69﹞。这才是普通数学教育的目的。因此“真正重要的是所教的题材是否符合数学教学的整个体系，能否结合成一个整体”﹝P.67﹞。因为“历史并不了解系统，而教育却能够且应当使之系统化”﹝P.72﹞。这里既要符合数学的体系，但又不能过于强调逻辑严密性，以免违反教学理念。

2.应用  “不能忘记数学在社会中扮演的角色，从过去、现在一直到将来，教数学的教室不可能浮在半空中，而学数学的学生也必然是属于社会的”﹝P.74﹞。因而不该一味追求现代数学中形式变换的花样，而丢掉了数学的实际应用。为此应该教给学生充满着联系的数学，“夸美纽斯﹝Comenius，j.A.﹞渴望人们学习的每件事情都应当是充满着联系的”﹝P.75﹞。这里不仅是数学内在的联系，更重要的是数学与外部的联系，“应当在数学与现实的接融点之间寻找联系”﹝P.77﹞。

3.思维训练  “人们相信，数学是智力的磨刀石，是一种思维的训练”﹝P.80﹞。特别认为“数学教学是逻辑思维的一种训练”，但究竟“是否存在思维的训练？数学是否是其中之一？甚至是最强有力的一种”﹝P.81﹞。人们很难回答这些问题，作者曾给大学生与中学生提出下列问题：

“(1)诗人中最伟大的画家与画家中最伟大的诗人，是否同一个人？

(2)诗人中最老的画家和画家中最老的诗人，是否同一个人？

(3)如果诗人中只有一个画家，那么画家中是否也只有一个诗人，他们是否同一个人？

(4)小镇上有房子，房子里有桌子。对任意n=1,2,3,…..，下列断言成立：如果某房子中有n条腿的桌子，那里就没有多于n条腿的桌子。问以下命题是否成立：对n=1,2,3,…..，如果某房子中有n条腿的桌子那里就没有少于n条腿的桌子。

(5)篮中有各种不同颜色和不同形状的物体，试问篮中是否一定有两件物体，其颜色和形状都不同？“﹝P.86﹞

试验结果是，在受过教育以后，对以上问题的看法、理解与回答都大有长进。

4.筛选工具  “每个教师都坚信：一般说来，谁的数学学得好，那其它科目他也学得好”﹝P.82﹞。因而“作为一种智力筛选工具，数学也比其它学科﹝甚至智力测验﹞更可信，也更容易使用”﹝P.82﹞。因为社会本身有着各种不同的需要，也有各种不同的层次，人们必须通过形形色色的入场考试；即使社会差异会逐渐消失，但社会总要对它的成员进行各种挑选，以保证合理的社会分工；因此筛选工具是必须的，考试也是必须的。但如果说，“数学教学的目的就是为了考试”，“学生学习只是为了一个分数，而教师的职责也只是在给分宽严之间作一个最佳选择”，那就与数学教育的目的相距太远了。

5.解决问题  “数学通常会得到高度的评价，因为它是解决许多问题的工具”﹝P.94﹞。从日常生活中常见的数值计算，直到高精尖领域中的应用，都可以选择与施展数学的魅力。数学可以训练语言的表达，数学可以简化问题，也能推广问题使之一般化，因而数学可以从多个侧面，给人们提供解决问题的手段、背景以及思维方法。“但是如果人们只会套公式，而从不亲身体验一下，数学可以成为解决问题的一种活动，那有怎么能做到这一点呢？”﹝P.95﹞

从第五章到第八章，作者提出了下列数学教学的基本原则：

1.“苏格拉底方法”原则  “苏格拉底方法仍然是或者说应当是教学基本原则之一。???如苏格拉底自称的，讲师只是助产士，他把听众自己的思想表达出来，???这是辩证法，或者称作思想实验方法。???教师在头脑中想象在教一群主动的学生，设想是如何应付学生可能有的反映，???狭义的说，苏格拉底所做的就是在教学过程中再创造或再发现所教的东西，学生感觉一切都是当着学生的面发生的，而不是以教条形式灌输的。”﹝P.100﹞参照知识发展的历史，力求用发生的方法来教；特别反对按照某个特定的演译体系，抛弃了分析过程，他将这种教学方法称之为“违反教学理论的颠倒“﹝P.103﹞。

2.“再创造”原则  “夸美纽斯的教学原则是：教一个活动的最好方法是演示。???我想：学一个活动的最好方法是做。???重点从教转向学，从教师的行为转到学生的活动，从感觉效应转为运动效应”﹝P.110﹞。不应该学习现成的数学，“学生应当通过再创造来学习数学，???这样获得的知识与能力才能更好地理解，而且能保持较长久的记忆”﹝P.118﹞。这个“再创造”原则应该贯穿于数学教育整个体系之中，要把数学教育作为一个活动的过程来分析，要使学生在学习过程的不同层次中，始终处于积极、创造的状态。

3.“数学化”原则  简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化。每个人有不同的“数学现实”世界，不一定限于客观世界的具体事物，也可以包括个种层次的抽象的数学概念及规律。因而相应地有不同层次的数学化。“毫无疑问，学生应当学习数学化；自然先在最低层次，对非数学事物进行数学化﹝使之合乎数学精确性要求﹞以保证数学的应用。接着还应进到下一层次，至少能对数学事物进行局部组织。???应当懂得，没有数学化就没有数学，没有公理化就没有公理系。没有形式化也就没有形式体系。???因此数学教学必须通过数学化来进行”﹝P.134﹞。

4.“严谨性”原则  “只有数学可以强加上一个有力的演译结构，从而不仅可以确定结果是否正确，还可以确定是否已经正确地建立起来。这就是所谓数学的严谨性，也是数学的测量标准。而教数学也必须遵循这个标准”﹝P.147﹞。严谨性是相对的，必须根据具体的时代、具体的问题来作出判断。“严谨性有不同的层次，每个题材都有相应的严谨性层次。学生必须通过不同层次的学习来理解并获得自己的严谨性”﹝P.150﹞。现成的数学与做出来的数学，两者的严谨性是有区别的，同时我们还应该从数学与现实的关系来理解，我们不可能将数学禁闭在一个与现实完全隔离的“严谨”的防水舱内。

在第九章与第十章中，作者声称“我并不认为本书的实质是为教师指定教学方法，???我的哲学仍然是与违反教学理论的学校教师做斗争，特别反对纯粹照本宣读与教条主义观点，完全忽视了数学教学的心理学前提与社会影响”﹝P.156﹞。从而认为“要实现真正的现代数学教育，必须以根本不同的方式来组织数学，???应当组成混合的学生小组，教师讲解与学生活动相结合”﹝P.160﹞。当然必须提供何适的教材，力求“使学生学会在学习过程中设计再创造教学的能力与方法”﹝P.161﹞。为此作者提出了“数学教师培训的最低要求：

1.使教师能自信地使用现代数学的基本方法。

2.提供为理解现代数学的结构所必要的基本知识。

3.理解有关数学是如何应用的某些见解。

4.初步了解数学家是如何进行研究的。“﹝P.166﹞

当然还“要考虑数学教师的教育学方面的培训，???教学也属于通过做而学的活动，???现代的数学理论也应当再创造”﹝P.167﹞。

该书的后半部分，作者用大量篇幅就数学的各个领域进行了较详细的研讨。以数的概念为例，可以有多种理解，“从内容与形式两方面，从方法论观点，从发生的观点和数学理论的观点。???数的概念的客观形成可以有四个不同的途径：即作为计数的数﹝Counting number﹞、数量的数﹝Numerosity number﹞、测量的数﹝Measuring number﹞和计算的数﹝Reckoning number﹞”﹝P.170﹞。他主张“数轴应当从算术一开始就引入，至少应较早使用，最初只标出自然数，以后再逐渐填满”﹝P.212﹞。并且认为“将实数理解成十进小数是最适当的教学过程，???也是足够严密的”﹝P.221﹞。至于数的扩展则应该根据实际的数学背景，由于某些运算的需要，同时又要求保持一些通常的规律，采取这样的直观方式来进行，而不宜采用等价类和商域等做法。

“我将数的概念的学习过程，区分为以下几个阶段：直观的运算，算法的运算，代数的运算，综合的组织以及最后使之从属于整个数学体系。这种阶段并非时间的划分；对于不同的概念，学生可以处于不同的阶段，而对于同一概念，学生也可以同时处于两个不同的阶段”﹝P.242﹞。所谓直观运算就是指初学算术时应使用具体材料作为教具，如算盘，这些材料还应该是同类的、直观的，甚至具有一定的结构，如第纳斯﹝Dienes，Z.﹞的单位立方体系统﹝10个，100个，1000个分别组成一维，二维，三维的图形﹞，进一步也可以用纸上的图形代替实物对象，矩阵模式与数轴都可以作为形象化的工具，借助于数轴可将数解释成为实体、坐标和作为映射的算子。此外，各种图象解释与标杆也都可以用作直观的解决，但也必须注意直观到适当的程度，为转向推理的代数体系作好过渡的准备。

关于算术与代数的问题作者主张不应该将两者截然分开，“小学高年级的教师应该将代数方法结合进算术的教学中”﹝P.287﹞。同时还应注意，“一个关键的问题与困难的问题”﹝P.288﹞，那就是防止“代数退化成为26个字母的无意义的游戏”﹝P.288﹞。新数学运动中引入集和论的处理方法就犯了这个错误。作者还指出必须加强代数公式的教学，事实上这是一种独特的语言，例如他认为以﹝□+○﹞﹝□-○﹞=□^2-○^2来代替﹝a+b﹞﹝a-b﹞=a^2-b^2也许能使学生更容易理解作者提出“在学习过程中，首先是对于数进行运算，注意这些运算所满足的法则，将这些法则形成公式，根据局部的联系建立局部的结构，直到最终，将它们组成一个整体的演译体系”﹝P.313﹞。至于具体的组织过程，来是强调应该通过学生自己的亲身体验，获得“做出来的”数学，而不是给以“现成的”数学，特别是考虑到数学与现实的密切联系，决不可忽视关于对数与角在中学数学中的重要地位。

再以几何为例，作者认为“几何不仅是演译科学的范例，???也是苏格拉底教学法与再创造学习法的最好材料。???因而对传统几何的没落应当作进一步的调查研究。”“什么是几何？从高层次看，它以公理方式组织的一部分数学，而从最低的最基本的层次看，它是对空间的理解、探索与征服”﹝P.402﹞。在现实空间中有许多问题：“为什么卷起来的纸不容易弯？月球表面的明暗界线是什么曲线？万花筒的工作原理是什么？为什么镜子只改变左右而不改变上下，如果不是站在镜子前而是躺在镜子前会产生什么情况？???”﹝P.404﹞。提出这些问题是要说明“重要的是紧密联系实际地学习数学，除此之外没有其它途径能保证数学的持久影响；因而如果从日常生活开始，以掌握物理空间为出发点，几何就可以成为一种卓越的工具来教数学这一充满着关系的科学”﹝P.405﹞。几何与其它数学的区别在于：首先“几何经常被看作是一种思维训练，它与逻辑有密切关系形成演译体系是几何的特权”﹝P.406﹞；其次是几何有实际应用，“几何是学习将现实数学化的最好机会之一，???借助于眼睛、手等各种感官所实现的空间形状，是更为令人信服的”﹝P.407﹞。

作者认为几何的入门教学应该始用“具体材料，???如折纸、剪纸、黏合、画图、油漆、测量、铺路以及镶嵌等，都可以组织成几何的活动“﹝P.408﹞。以重复实验几何学中概念、性质的发现过程，并且“具体材料的教学十分自然地必然从空间开始，???传统几何教学中，学生的空间想象力被平面几何中太多太片面的练习所扼杀了”﹝P.408﹞。作者还介绍了两个具体的试验课程的内容安排。当然从直观萌芽所获得的笼统印象，还必须进到演译推理的高层次但这不能通过形式灌输来强加给学生，同样也应该让学生自己来发现，“好的几何数学应该使学生在学习一个题材的结构的同时也学习什么是结构化；在学习具体对象的概念的同时，也学习什么是概念化；在学习给对象下定义的同时，也学习什么是定义”﹝P.418﹞。

为了使几何摆脱困境，作者题出了几条途径：一是“向线性代数靠拢，???开始就从解析几何引入。这有很大的优越性。可以是代数的完美的严密性自动转入几何中”﹝P.420﹞。二是“通过合理化，???学生在学习了局部的结构化以后，还应学习整体的结构化，最终才割断本体论的联系”﹝P.451﹞。但决不是让学生面对一个现成的公理系，而是应该在现实的背景下，通过公理化的方法来掌握公理系。例如，“三角形各边的垂直平分线交于一点”和“球极平面射影”都是局部结构化的极好例子。而“定向与角的概念”刚涉及一个领域的结构化。三是“借助于变换群，特别是从具体的反射、平移、旋转这一运动群出发的方式，最为有效”。

该书于1973年出版，对当时的数学教学实践作深入的剖析，既批判了新数学运动的一些错误的倾向，也评论了某些心理学家的片面观点；他力求从数学家的视角，按照数学本身发展的规律，来改造当前的数学教学，使之既具有现代数学的特性，又无违背认知发展规律与教学理论；既符合严密的形式逻辑演译体系，又特别强调数学与现实世界的密切联系。但是教育的理想虽说是未来的现实，必竟与当前的现实有很大的距离，要使数学教学过程真正来源于现实，通过数学化的途径，并成为学生再创造的活动，那还是一个有待探索、研究和实践的巨大工程。

三、《除草与播种─数学教育科学的前言》

《除草与播种─数学教育科学的前言》一书在开头就声称数学教育尚未形成为科学，“一旦数学教育科学存在，就会有它应有的前言，???而现在这一前言的作用，就在于加速数学教育科学的诞生”。全书共分四章，

其目录是：

(1)什么是科学？

(2)关于教育。

(3)关于教育科学。

(4)数学教育科学。

总篇幅为304页。

在“什么是科学”这一章中，作者指出“科学作为一种活动，它不是真理的宝藏，而是提出问题的一种方法”。科学必须满足三个准则：“相关性﹝relevance﹞、兼容性﹝consistency﹞和大众性﹝publicity﹞”。“相关性可以反映定义、概念、理论、知识领域的特性，但就整体意义而言，更主要的是与现实的相关，而不是悬浮在半空中虚无飘渺的东西”。“兼容性不仅强调它作为一个逻辑封闭系统的侧面，???它也可以作为是一种活动的性质与模式”。“科学必须具有公开的性质，真正的科学的特征之一就是大众性，???对于学习科学和实践科学的每个人来说都是开放的”﹝P.1﹞。根据这三条准则，就可以将真正的科学与伪科学、非科学、技术以及信仰区分开来，因为它们是建立在不同的哲学基轴上的。

在“关于教育”这一章中，作者强调“教育依赖于人，依赖于社会，???实质上教育需要一种哲学，那是信仰而不是科学”。所谓“受教育的同等权利，必须通过复杂的不同的体系来实现，例如掌握学习，???许多不同的体系往往忘记了学习的社会背景”。“我提倡混合的学习小组，我分析了数学学习过程，揭示了其中的层次，在某一层次做出来的数学就成为下一层次观察的数学”。“教育的改革是社会的一个大的学习过程，???改革的第一个结果是课程，而改革的基本变化应该反映在教师培训上，这一方涉及教材内容与教学理念的结合，另一方面则强调教师与学生的课堂实践与学习过程中的有意识观察”。“而所有这些都是教育哲学的一部分”﹝P.33﹞。

在“关于教育科学”这一章中，作者提出“教育科学是否存在？”确实近几年来建立了许多教育技术与教育理论，例如“教育目标，它的形成、分类与测试”，“课程理论”，“民意测验，如何以统计方法收集各种意见”，“评价、形成评价与诊断测试”等等。但这些脱离实际的抽象化理论“实质上只是些空盒子，???这是由于将内容与形式分隔开来的错误哲学所造成的”。尤其是近来常用“模型”和“数学模型”来说明教育理论，特别是统计常被应用于教育技术之中，可是“教育中所应用的数学，大多数是不相关的，甚至是错的”。“教育是个广阔的天地，???也确实需要相关的教育理论，???来训练未来的教师。”可需要提醒的是“任何教学理论只能是教特定题材的特定理论教学理论应当是学习理论的补充，学习应当作为一个过程来观察和研究，它是一个个别的不连续的过程，而统计只能提供平均的学习过程”﹝P.77﹞。

在“数学教育科学”这一章中，作者一开始就明确“不存在数学教育科学，至少目前来说不存在，但有很多活动﹝数学教育工程﹞和源于经验的设想与解释，可以用来形成数学教育科学”。例如，“作为研究工具的与言，学习情境，学习过程及其层次与不连续性，以及目的与完成的动机”。此外，还有“观点的改变，背景的掌握，逻辑的转化，以及整体到局部和从局部到整体的转换，从质到量和从量到质的转变等”。这些都通过相应的范例来加以综合与理解，例如概率论中涉及很多背景的掌握而几何中出现更多的却是观点的改变。本章最后以比和比例这一数学概念的教学现象学的一个例子作为数学教育研究的前提。

作为对数学教育科学的基轴理论的研究，本书作了广泛而深入的讨论，从科学、教育、教育科学，逐次进到数学教育科学，分析了各自之间的区别、联系，以及它们相应的哲学基轴，特别强调了数学教育科学必须是从研究特定的数学内容的数学理论出发的，而绝不是将一般的教育理论用之于特殊的数学领域，事实可能正好相反，正由于数学教育科学的发展，才给一般的教育科学提供了良好的开端。另一方面，作者还阐述了科学、教育、数学教育与社会、与人类文化之间的密切联系，孤立地考虑问题是不足取的。我国当前数学教育研究工作正在多方面、多角度地蓬勃发展，如何根据我国的国情，我国特有的历史文化背景，以建设中国的数学教育科学，本书的一些观点、材料，应当说是很可以作为借鉴的。

四、《数学结构的教学现象学》

《数学结构的教学现象学》是一套新的数学教育丛书的第一本，是作者在前两本书的基础上，作了进一步的发展，借用该丛书主编毕肖普﹝Alan J.Bishop﹞的话，“与前面两本书比较，弗赖登塔尔在本书中对数学教育从本质上提出了许多新的观点，从而为广大的数学教育工作者提供了进行研究的丰富源泉，而这也正是编辑该丛书的目的”﹝编者序﹞。

众所周知，数学是现实世界的抽象化，形形色色的数学概念都是各种具体情境的内在共性的反映作者写作本书就是要让读者回到数学概念所从中抽象出来的世界。

“数学概念、数学结构与数学观念都是工具，人们用以来组织物理世界、社会世界与思维世界的各种现象。一个数学概念、数学结构或是数学观念的现象学，就是对这些概念、结构或观念的描述，但这些描述是在这样的背景下进行的，即将它们放在所来自的现象的关系之中；这些现象可以扩充到人类的学习过程，因而，当我们的描述涉及到学习过程时，那就是教学现象学，它给教师明了道路，即学生应当从人类学习过程的哪个阶段开始进入”﹝作者的“回顾与前瞻”﹞。

这个现象的世界，部分在数学之外，部分在数学之内；部分抽象，部分具体；部分是严密的逻辑思维推理，部分却是直观形象与直觉。本书的重点放在“思维对象与概念获得”这一特性上。

“概念是认知结构的骨架。在日常生活中，儿童知道什么是椅子，什么是食物，???但却并没有将椅子与食物的概念教给他们。数学应该也没有什么区别，儿童知道什么是数，什么是圆，???他们将其作为思维对象来掌握。并且比这些思维对象来进行思维活动；当然数与圆???的概念要比椅子与食物???的概念更为精确，更为清晰，也许这又成为一个理由，促使人们宁愿教数的概念而不愿教数，一般来说，人们宁愿教概念，而不愿教思维对象与思维活动，而这就是我所谓的‘违反教学理论的颠倒’的一个例子。”

“思维对象与思维活动的教学法范畴以及有意识地进行概念化的开端，就是这一现象学的主要课题”﹝作者的“回顾与前瞻”﹞。

“以我的观点，思维对象的构成，必须在概念获得之前，并且对概念获得起很大影响。???读者应当记住，我们将这些观念首先看作是思维对象，其次才看作是概念，???在明确建立概念之前，如何运用思维对象是一件够重要的事情”﹝P.33﹞。

全书共分17章，其目录为：

(1)长度作为一个例子。

(2)方法。

(3)集合。

(4)自然数。

(5)分数。

(6)比和比例。

(7)结构：特别是几何结构。

(8)放入几何背景中。

(9)作为几何背景的拓朴学。

(10)地形测量的背景。

(11)图形与构图。

(12)几何映射。

(13)用几何来测量。

(14)几何测量学。

(15)负数与有向量。

(16)代数语言。

(17)函数。

总篇幅达578页。

书中对初等数学的主要概念，都作了仔细的解剖、分析与探索，并且从数学的角度与现象学的角度进行了研究，作者试图通过详尽的现象学分析，从中探索思维对象是如何构成的，数学概念又是如何获得的，找出其发展过成与规律，以此作为数学教育的依据。所以本书实质上是数学、心理学与数学教育学三方面的紧密结合，作者更多地从数学发生发展的身刻背景，来探索人类认知过程，特别是教学过程中，概念形成与获得的规律，特别指出了心理学研究中的缺陷。

“据我所知，所有这类心理学研究都存在一个基本缺陷：在研究﹝某个年龄的﹞数学获得时，不作任何现象学的分析，就以某种方式假定了有官数学结构的存在，因而结果获得的往往是肤浅的甚至是错误的理解。另一方面也不作任何教学现象学的分析，因而这类研究往往成为一个个孤立的镜头，而不是作为整个发展过程中的各个阶段”﹝P.10﹞。

就以分数为例，人们在日常生活中就遇到很多：“一半那么长”，“轮子转动了二又三分之一圈”，???，这就产生了分数。分数可以看作是一个“分割者﹝fracturer﹞”，它将一个整体分割成部分这种分割也许是“可逆的、不可逆的，或者只是象征性的”，它的分割过程可以是“具体实现的，亲身体验的，眼睛看到的或是感觉到的，甚至是想象的”，在这方面可以举出各种各样的现象作为例子，可是“有些学生在学习了一、两年的分数之后，虽然能熟练运算，但对分数是什么，以及利用分数能做些什么，都毫无概念，???，我认为这种数学的失败，很大程度上是由于数学现象学的贫乏所致”﹝P.144﹞。

分数有可以看作是一个“比较者﹝comparer﹞”，这种比较可以是“直接地或是间接地”，所比较的现象可以是“具体可触摸的或是想象的，甚至是思维中的”，例如，“街道宽度是人行道宽度的

    倍”，“甲的工资是乙的工资的一半”，等等。

“为了强调活动与状态，分数又可以看作是一个“运算子﹝operator﹞或是一种关系﹝relation﹞”，还可进一步将分数看作是“变换子﹝transformer﹞”，“测量子﹝measurer﹞”，分数从“最初作用于具体的对象，???接着忽略具体对象，而作用于对象所相应的量值。???最终，分数运算子在纯数域上活动”﹝P.149﹞。

对分数运算的数学，作者建议从具体例子出发，比如，3个人分8瓶啤酒，先将整瓶的分，再将整瓶分成3份，于是最初得到的应该是，最后才得出 。

“目的是将加法、减法、序关系从自然数集N同构地转换到集 上    

 

 。???这里可以借助于列表

 同时可以练习分数化简。这些表又可以再通过数轴来形象化，只要将对影点连接起来﹝如图1﹞。

乘法可以作为重复相加，除法可以通过例子，8瓶啤酒分成3组，每一组又再分给2个人，这可以用树形模型来形象表示﹝如图2﹞。

这里目的是将加法、减法、序从集 转换到集  ，并且将同构 理解

为两个同构之积”﹝P.161﹞。

相对于数量关系而言，思维对象在空间形式中更起作用。

“用3与5来代表任意自然数并不恰当，而它们的和与积更不能代表任意自然数对的运算。与此相反，每个三角形只要不是太特殊，都可以代表一般三角形，每一对线段都可以代表任意的线段对，用以表明两个长度的和与积是什么。我们可以指出什么是平行四边形、菱形与正方形，什么是对角线，以及对角线互相平分、互相垂直与相等是什么意思。只要引入适当的名词，并用例子来解释这些名词，而不必用概念来困扰自己，我们可以对几何领域进行广泛的探索，而不必形成概念，直到瓜熟蒂落之时，概念自会脱口而出。”﹝P.226﹞

在自然环境与日常生活中，人们很早就形成了像直线性─树干与四肢，平面性─天花板与墙壁，圆─太阳与地平线，以及球、圆柱、正方体等很多几何中的思维对象。

“尽管非形式的几何教育开始得很早，形式的几何教育却开始得很迟，???思维对象作为一个理想的工具，常被教育学、心理学所忽视。或者说，人们不顾思维对象与概念之间的距离，将两者等同起来，混淆在一起，而这样做法对两者的理解与掌握都不利”﹝P.228﹞。

总之要真正掌握与理解有关几何的背景，必须“通过对思维对象与思维过程的认知，分类，具体地再现，命名以及思维地再现，并且要使自己能意识到这些活动，还能描述这些活动。而其中重要的一点是能够进行自然的、人工的或是制作的再现，能够提出典型的例子，并使之明确化”﹝P.248﹞。

数学结构的教学现象学可以理解成为在数学教育领域中提出的一种新观点，其目的还是围绕着数学必须源于现实、寓于现实并用于现实这一宗旨，不能忘了数学的“本”，在书中，作者对数学发生发展的事实、过程作了详细的探究与精辟的分析，从最原始的零星、片断的感觉，模糊而笼统的印象，丰富多采的具体直观形象，直到最终形成抽象的形式体系，严格的逻辑演译推理，在各个不同水平的现象学基础上，进行着各种不同水平的数学化，通过不断的反思，在人们意识中建立起各种不同阶段的思维对象，随着认知过程的不断深入，对数学概念掌握获得也经历着一个不断发展不断提高的过程。

“利用三脚形、平形四边形、菱形或正方形这些几何图形，可以顺利地组织有关轮廓线的现象世界；利用数可以组织有关量的现象世界，在更高的水平上，几何图形的现象可以用几何作图与证明来组织，而‘数’的现象又可以用十进制来组织。数学就是这样，通过不断的抽象化，将类似的数学现象又归结为新的数学概念─如群、域、拓朴空间、演译、归纳等等，一直达到最高水平。”﹝P.28﹞

应该说，对现象学问题的讨论，本书还只是在大量数据积累的基础上，从一个新的视角作了一种尝试，当然这是一个良好的开端，书中有著作者所特具的那种分析的思考，洞察的眼光，对我国数学教育理论的研究会有大的启发，可以开阔我们的思路与眼界，更进一步体会数学教育的研究该是一门多源泉、多侧面的边缘科学，必须将它放入更广的背景之中。同时也应看到本书并不是作为一门科学的总结，它在很多方面是并不完善的，事实上，数学本身也从来不是完全的，数学观念的更新不断地改变着数学教育的旧观念，因而对有些问题的分析与探讨也可能不太好捉摸与理解，甚至不一定能领会作者的原意，但也正由于此，很多问题、很多现象以及很多观点就有待于我们更好地思索，更进一步地探究。在密切联系现实，密切结合数学的过程中，数学教育学的建立还有待于我们的继续不断的努力。如果将本书作为一杯饮料的话，它的一半可能是空的，另一半是满的，它包含有美味的饮料，但更留有足够的空缺，等待着人们去进一步充实。对有志于数学教育研究的人而言，这是一本  不可多得的必要参考书。

hal﹞