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Madio.net 数学中国 ///编辑：余弟 1.1 当今形势 1.2 三个层次 1.3 希腊文化小结 2.1 素质教育统选课的特点 2.2 教学的指导思想 2.3 留心三个方面 3.1 实现四结合 3.2 培养四种本领 3.3 数学的教育价值 4.1 数学与西方宗教 4.2 欧几里得几何的影响 4.3 数学与音乐 诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外。入乎其内，故能写之，出乎其外，故能观之，入乎其内，故有生气，出乎其外，故有高致。 ——王国维《人间词话》 当今形势 二次世界大战以后，数学与社会的关系发生了根本性的变化。数学已经深入到从自然科学到社会科学的各个领域。著名数学家A.Kaplan说：“由于最近20年的进步，社会科学的许多领域已经发展到不懂数学的人望尘莫及的阶段。”A.N.Rao更指出，一个国家的科学的进步可以用它消耗的数学来度量。70年代末，美国国家研究委员会正式提出，美国的扫盲任务已转变为扫数学盲。1989年，美国国家研究委员会发表《人人关心数学教育的未来》一书，书中重点强调：“我们正处在国家由于数学知识而变得在经济上和种族上都被分裂的危险之中。”并解释道：“...除了经济以外，对数学无知的社会和政治后果给美国民主政治的生存提出了惊恐的信号。因为数学掌握着我们的基于信息的社会的领导能力的关键，具有数学读写能力的人与不具有这种能力的人之间的差距越来越大，从种族和经济的范围上，其程度是惊人地一致。我们冒着变成一个分裂的国家的危险，其中数学知识支持着多产的、技术强大的精英阶层，而受赡养着、半文盲的成年人、不相称的西班牙人和黑人，却发现他们远远不具备经济和政治的能力。这必须纠正过来，否则没有数学基本能力的人和文盲将迫使美国崩溃。” 我们知道，语言的读写能力是非常重要的。一个文盲是没有读写能力的，或者只会写自己的名字。他很难在社会上找到重要的工作。现在数学的读写能力，也就是量的读写能力正在提到我们的眼前，现代社会的许多信息是用量的方式提供的；因而作为一个现代人，用量的方式去思维，去推理和判断成为一种基本能力。1999年美国出版了一本教材名叫“应用与理解数学”在此书的第三页列出了一张就业表，其中包含两种能力：英语与数学(表中只摘录了其中一部分)。  整个人类文明的历史就像长江的波浪一样，一浪高过一浪，滚滚向前。科学巨人们站在时代的潮头，以他们的勇气、智慧和勤奋把人类的文明从一个高潮推向另一个高潮。我们认为，整个人类文明可以分为三个鲜明的层次。 1) 以锄头为代表的农耕文明； 2) 以大机器流水线作业为代表的工业文明； 3）以计算机为代表的信息文明。 数学在这三个文明中都是深层次的动力，其作用一次比一次明显。 数学在人类文明中一直是一种主要的文化力量。数学不仅在科学推理中具有重要的价值，在科学研究中起着核心的作用，在工程设计中必不可少。而且，在西方，数学决定了大部分哲学思想的内容和研究方法，摧毁和构造了诸多宗教教义，为政治学和经济学提供了依据，塑造了众多流派的绘画、音乐、建筑和文学风格，创立了逻辑学。作为理性的化身，数学已经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治的领域，并成为其思想和行动的指南。 人类历史上的每一个重大事件的背后都有数学的身影：哥白尼的日心说，牛顿的万有引力定律，无线电波的发现，三权分立的政治结构，一夫一妻的婚姻制度，爱因斯坦的相对论，孟德尔的遗传学，巴贝奇的计算机，马尔萨斯的人口论，达尔文的进化论，达·芬奇的绘画，巴赫的12平均率，晶体结构的确定，双螺旋疑结的打开等都与数学思想有密切联系。 但是，要说清楚数学的中心作用，必须从根谈起，必须从古希腊谈起。 古希腊对数学的主要贡献是， 第一，对自然哲学的贡献。它留给我们一个坚强的信念：自然数是万物之母，即宇宙规律的核心是数学。这个信念鼓舞人们将宇宙间一切现象的终极原因找出来，并将它数量化。 第二，对数学科学的贡献。他们将数和形抽象化，并坚持演绎证明。这样，数学科学诞生了。并由此它孕育了一种理性精神，这种精神现在已经渗透到人类知识的一切领域。 第三，对数学内容的贡献。主要表现在以下三个方面：1)无理数的诞生引出了第一次数学危机，数学由此走上了公理化的道路。对数学的长远发展产生了深刻的影响。2)它给出一个样板——欧几里得几何。这个样板的光辉照亮了人类文化的每个角落；3)它研究了圆锥曲线，为日后天文学的研究和抛射体的研究奠定了基础。 素质课的教学与通常数学课的教学有何不同？ 首先：教学对象的差异大大地扩大了，学生来自全校不同的系，不同的年级，甚至还有研究生，追求不同，基础差异空前地大。 其次，教学内容的多元化。不再是单科讲授，对教师的要求提高了。 第三，必须考虑贯通教育。统选课必须考虑到从中学到大学的过渡，从专业教育到素质教育的过渡。 因而对素质教育统选课的教学内容，教学方法，教学规律应予探讨。 素质教育课在文化这一更加广阔的背景下讨论数学的发展，数学的作用以及数学的价值，从历史的文化的和哲学的高度鸟瞰数学的全貌。 首先是历史的。如果我们不知道我们从哪里来，那么我们也就不知道到哪里去。而且，“一门科学的历史是那门科学中最宝贵的一部分，因为科学只能给我们知识，而历史却能给我们智慧”。所以我们要讲一点历史。并且，将力量集中在划时代学科的诞生与重要概念的发展上，考察数学科学的演变，并给出评价与展望，而不去过多地涉及细节。 其次，我们要讲述数学与各种文化的交互影响，从中认识到数学是理解当今世界的一把大钥匙，任何学科都离不开它。并将阐述数学与人文科学的联系。因为目前这方面的论述比较少。同时也讲述其他科学对数学发展的影响。 第三是哲学的。我们要贯穿一种探索精神，研究治学之道。我们知道，正确的思考比正确的结论更重要。通过素质课，我们和学生一起研究如何构建自己的知识结构。 素质课与一般课确有差别，我们要注意到下面提到的三个层面，处理好这一对矛盾，追求真善美。 2.3.1 三个层面 数学有三个层面：作为理论思维的数学；作为技术应用的数学；作为文化修养的数学。这三个层次对不同的人有不同的含义和不同的用场。从事数学研究的人，以理论层面为主，强调归纳与演绎。从事工程的人以技术层面为主，强调应用与计算。从事人文科学的人以文化层面为主，强调数学与其他学科的联系，强调数学在人类文明中的作用。 2.3.2 知识与智慧 教育的本质是培养学生运用知识的艺术：教育的中心问题是如何使知识保持活力，使学生在知识增加的同时，智力获得同步增长。这就是古人讲的“积学以储宝，酌理以富才”。教师应当是思想活跃的“活人”，而不是被书本牵着走的机器。传授知识是课程的目标之一，但课程还有更重要的目标——开发智力，增加智慧。没有知识作基础，人不可能聪明；但有很多知识也可以不聪明，智慧是掌握知识的方法.教育与工厂不同，工厂处理死的物质，教育是开发人的心智。怀特海说：“把人当作工具是教育理论中最致命、最危险、最错误的概念之一。” 2.3.3 科学、应用和艺术——真善美 一个完整的素质教育统选课应包含三个方面：科学、应用和艺术。科学在于求真，培养学生追求真理的勇气，求实的精神和严密的逻辑思维能力和创新的能力。应用在于培养学生活用知识的能力，使他们能在自己的专业中使用数学的思想和方法，掌握量的思维方式。艺术的作用在于培养学生的想象力、审美力和创造力，并使学生拥有丰富的个性。 3.1.1 历史与逻辑相结合 数学的历史发展与本身的逻辑体系不是一回事。例如，微积分的讲授顺序是：实数——极限—— 微商 —— 积分。这与微积分的发展史恰恰相反，讲清这对矛盾的关系，有助于理解数学的本质。 3.1.2 数与形相结合 数学的两大主干是几何与代数，提供了两种不同的思维方式，其特点为 几何：空间形式的科学，视觉思维占主导，培养直觉能力，培养逻辑推理能力，培养洞察力； 代数：数量关系的科学，有序思维占主导，培养符号运算能力。 认清几何与代数的基本特征对学好以后的课会有很大帮助.讲数学课，应当将数和形结合起来，使两种思维的优点都能发挥出来。 关于数和形的关系，华罗庚先生写过一首词：  数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。 数缺形时少知觉，形少数时难入微。 数形结合百般好，隔离分家万事非。 切莫忘，几何代数统一体， 永远联系，切莫分离。 例1. 自然数的平方和 由图1，数底边的点子数和垂直边的点子数，得到  由此可算出
由此可算出
 寄韬光禅师 白居易 一山门作两山门，两寺原从一寺分。 东涧水流西涧水，南山云起北山云。 前台花发后台见，上界钟声下界闻。 遥想吾师行道处，天香桂子落纷纷。 3.1.3 理论与应用相结合 课上既讲理论又讲应用，要求学生既学理论又自己找应用。我们增加了数学与人文科学的结合，数学与艺术的结合，因为这方面的应用过去讲得少。例如，在课上我们介绍了数学与西方政治，透视画与射影几何，音乐之声与傅立叶分析等有关应用，学生对这些内容十分感兴趣。课后学生结合自己的专业写出了很好的论文：将你的心灵数字化(心理系)：数学在语言学中的应用(英文系)，数学分析在国际关系中的应用(国际关系学院)；地图、数学、数字地球(地球与空间科学学院)等。 例3 自然数的平方和。 先让我们来构筑这样的一个点阵：
在距原点O长度为1处放置1个单位质量的质点，在长度为2处放置2个单位质量的质点……在距原点长度为n处放置n个单位质量的质点。则该点阵相对于原点的重力矩为 又因为三角形的重心在底边所对应的中线上，且距顶点的距离为中线长度的2/3。所以上图所示的三角形点阵的重心距原点的水平距离为 ， ， 即
3.1.4 科学结论与方法论相结合 具体到数学上，科学结论就是定理，科学方法就是怎样发现定理，怎样证明定理，怎样理解定理，怎样推广定理和怎样应用定理。证明定理主要用演绎法。发现定理和推广定理主要用到归纳和类比。将科学结论与方法相结合起来才会使学生建立完整的知识结构。 3.2.1 以简驭繁 我们主要讲笛卡儿的方法。在科学史上做出创造性工作的科学家很多，但是，他们的创造性工作是如何完成的呢？如何做就能得到创造性的成果呢？迄今为止，对这些问题进行过深刻地自我反省，并将自己的观察结果留给后人的情况几乎没有。笛卡儿对这些问题的自我考察作为非常珍贵的资料保存了下来。 笛卡儿是近代思想的开山祖师，他所处的时代正是近代科学革命的开始，是一个涉及到方法的伟大时期，在这个时代，人们认为，发展知识的原理和程序比智慧和洞察力更重要。方法容易使人掌握，而且一旦掌握了方法，任何人都可以作出发现或找到新的真理。这样，真理的发现不再属于具有特殊才能或超常智慧的人们，笛卡儿在介绍他的方法时说：“我从来不相信我的脑子在任何方面比普通人更完善。” 他列出四条原则。这四条是最先完整表达的近代科学的思想方法。其大意是： 1)只承认完全明晰清楚，不容怀疑的事物为真实； 2)分析困难对象到足够求解的小单位； 3)从最简单、最易懂的对象开始，依照先后次序，一步一步地达到更为复杂的对象； 4)列举一切可能，一个不能漏过。 这四大原则对研究任何一门学科都有不容忽视的指导作用。笛卡儿一针见血地指出：“不可以从庞大暖昧的事物中，只可以从最容易碰见的容易事物中演绎出最隐秘的真知本身”。他还说：“当我们运用心灵的目光的时候，正是把它同眼睛加以比较的，因为想一眼尽收多个对象的人是什么也看不清楚的，同样，谁要是习惯用一次思维行动同时注意多个事物，其心灵也是混乱的。”所以当我们进行一项科学研究时，必须首先明确我们的目标，然后把研究对象分成若干环环相扣的简单事物，在理性之光的指引下，找到这些细分小单位的由简至繁的顺序，最后从最直观，最简单的对象入手，依照一条条理清晰的道路直捣真理之本蒂。总之，笛卡儿给出一条由简入繁的路，告诉我们如何以简驭繁.用老子的话总结，就是“天下之难作于易，天下之大作于细”。 3.2.2 审同辩异，即同中观异，异中观同 异中观同就是抓住本质，抓住共性.领域不管相隔多远，外表有多大不同，实质可能是一样的。实质认的越清楚，作出新发明的可能就越大。例如，庞加莱对Fuchs群的研究，高斯对数论的研究。最近的例子是，1998年8月号的《科学的美国人》刊登了阿德尔曼的一篇文章《让DNA作计算》。 阿德尔曼写道：“我正躺着叹服于这个令人惊奇的酶，并且突然为它们与图灵发明的机器之相似而大为震动”。想到这一点使他“彻夜难眠，想办法让DNA作计算。”这就是DNA计算机的发明。 另一方面是同中观异。恩格斯说：“从不同观点观察同一对象···殆已成为马克思的习惯。”法国雕塑家罗丹说：“所谓大师就是这样的人。人们用自己的眼睛去看别人见过的东西，在别人司空见惯的东西上能够发现出美来。”尼采说：“独创性——并不是首次观察某种新事物，而是把旧的、很早就已知的、或者人人都视而不见的事物当作新事物观察。这才证明是真正有独创性的头脑。”所以必须训练自己的观察力和对事物的敏感度，否则只能停留在常人水平。例如，对方程式  毕达哥拉斯：面积关系。在直角三角形上，两直角边上的正方形的面积之和等于斜边上正方形的面积。 费马：不定方程。数组3，4，5和5，12，13都满足此方程。 笛卡儿：二次曲面。 3.2.3 判美析理 这四个字取自庄子的“判天地之美，析万物之理”。 析理。讲析理一要讲好定理，二要分析概念。前面讲了定理，这里讲概念。讲概念除了讲一个概念的内涵和外延外，如果必要，还应该讲一点概念史。例如，在解释函数定义时(即讲函数的外延)常使用狄里赫勒函数。这个函数一无图形，二无公式。它的意义何在?这个函数恰恰是从古典分析到现代分析的转折点。在此以前，数学家发现或创造函数是为了研究客观世界，狄里赫勒函数不是，它不反映任何客观规律。这是学生在学微积分时遇到的第一个怪函数，怪在什么地方？为什么要研究它？把这些问题说清楚了，学生对函数概念的本质，乃至数学的本质都会有新的理解。 这里顺便提提Atiyah给数学下的一个定义：数学是一门艺术，是一门发展概念和技巧以使人们更为轻快地前进，从而避免蛮力计算的艺术。 判美。析理讲好了，判美自然就出来了。数学理论体现了真与美的结合。希腊箴言说，美是真理的光辉。因而追求美就是追求真。著名物理学家海森堡说：“当大自然把我们引向一个前所未见的和异常美丽的数学形式时，我们不得不相信它们是真的，它们揭示了大自然的奥秘。”著名数学家魏尔说：“我的工作总是尽力把真和美统一起来，但当我必须在两者中挑选一个时，我通常选择美。”美常常是科学研究的第一标准。 3.2.4 鉴赏力 鉴别真与假，好与坏，美与丑，重要与不重要，基本与非基本，非常重要。有鉴别力的学生会区分主次，自然学得好。鉴赏力可以在教学过程中逐渐加以培养。如何培养？前面几条都起作用。在数学课程的讲述中，加强“点评”。使学生 1)理解数学的概念和原理； 2)理解数学的探究过程； 3)理解数学与一般文化的关系； 4)理解数学的用场。 弄花香满衣，点评得好，鉴赏力就在其中了。 首先，数学的抽象性帮助我们抓住事物的共性和本质。例如，建立数学模型的过程就是一个科学抽象的过程。它要求人们善于把问题中的次要因素、次要关系、次要过程先撇在一边，抽出主要因素、主要关系和主要过程，而后化为一个数学问题。这种方法可以用于数学以外。 此外，数学的抽象性使得数学问题的解决伴随着困难。在解决数学问题的过程中，使学生体验到挫折和失败，而这正是砥砺意志打磨心理品质的绝好时机。愈挫愈奋，百折不挠的良好心理素质不会在温室中形成。如果学生在学校里没有尝尽为求解问题而奋斗的喜怒哀乐，那么数学教育就在一个重要的地方失败了。 其次，数学赋予知识以逻辑的严密性和结论的可靠性。爱因斯坦说：“为什么数学比其它一切科学受到特殊的尊重？一个理由是，它的命题是绝对可靠的和无可争辩的，而其它一切科学的命题在某种程度上都是可争辩的，并且经常处于被新发现的事物推翻的危险之中。···数学之所以有高声誉，还有一个理由，那就是数学给精密自然科学以某种程度的可靠性，没有数学，这些科学是达不到这种可靠性的。” 数学的严密性和精确性可以使学生在将来的工作中减少随意性。英国律师至今要在大学中学习许多数学知识，并不是律师工作要多少数学，而是出于这样一种考虑：经过严格的数学训练可以使人养成一种独立思考而又客观公正的办事风格和严谨的学术品格。数学教育是培养学生诚信观念的重要渠道之一。在数学课上形成的诚信观是持久的，根深蒂固的；前苏联的数学家辛钦说：“数学教学一定会慢慢地培养青年人树立起一系列具有道德色彩的特性，这种特性中包括正直和诚实。” 再次，数学是思想的体操。进行数学推导和演算是锻炼思维的智力操。这种锻炼能够增强思维本领，提高抽象能力、逻辑推理能力和辨证思维能力，培养思维的灵活性和批判性。思维的灵活性表现在不受思维定式的束缚，能迅速地调整思维方向，善于从旧的或传统的思维轨道上跳出来，另辟蹊径。数学中的一题多解是培养思维灵活性的有效途径。思维的批判性指，对论证和解答提出自己的看法。数学中常用的反证法和构造反例是思维批判性的具体表现。 数学不仅仅是一种工具，它更是一个人必备的素养。它会影响一个人的言行、思维方式等各个方面。一个人，如果他不是以数学为终生职业，那么他的数学素养并不只表现在他能解多难的题，解题有多快，数学能考多少分，关键在于他是否真正领会了数学的思想，数学的精神，是否将这些思想融会到他的日常生活和言行中去。日本的米山国藏说：“我搞了多年的数学教育，发现学生们在初中、高中接受的数学知识因毕业进入了社会后，几乎没有什么机会应用这些作为知识的数学，所以通常是出校门不到一、两年就很快忘掉了。然而，不管他们从事什么业务工作，惟有深深铭刻于头脑中的数学精神，数学的思维方法、研究方法和着眼点等，都随时随地发生作用，使他们受益终生。” 数学还有另外的作用。数学家狄尔曼说：“数学能集中、强化人们的注意力，能够给人以发明创造的精细和谨慎的谦虚精神，能够激发人们追求真理的勇气和信心，···数学更能锻炼和发挥人们独立工作精神。.” N.布特勒说：“现代数学，这个最令人惊叹的智力创造，已经使人类心灵的目光穿过无限的时间，使人类心灵的手延伸到了无边无际的空间。” 数学已成为现代人的基本素养。 数学与西方宗教 从古希腊起，数学成为人类三种信仰的基石。 首先，宇宙的根本规律在数学。用毕达哥拉斯的话，就是万物皆数也。 其次，世界上存在严格的真理，它们是理性的产物，是严密逻辑的结果，它们放之四海而皆准。勾股定理已经两千多年了，它依然如新。但是其他学科如物理、化学、生物等，它们的结论经常处于被推翻的危险之中。世界上存在永恒的东西。数学的对象，例如数，必然是永恒的，不在时间之内。事实上，古人对数“2”的理解与今人的理解没有什么差异。 第三，存在一个超感觉的可知的世界。几何学讨论的严格的圆在现实世界上是不存在的。不管我们多么谨慎地使用圆规，画出的圆总有一些不完备和不规则的地方。这就告诉我们，一切严格的推理都只能应用于与可感觉的对象相对立的思想的对象。当数学家证明一个三角形的命题时，它所涉及的不是正在谈论的画在某个地方的图形，而是在他心目中才能见到的东西。我们再进一步想一想就会承认，思想比感官更高贵，思想的对象比感官知觉的对象更真实。因为感觉的对象是易变的，不完备的，而思想的对象是永恒的。 对数学的这种信仰深深地影响了后来的西方哲学与神学。自从毕达哥拉斯之后，特别是柏拉图之后，理性主义的宗教一直被数学和数学方法支配着。例如，在西方基督徒认为基督就是道，神学家追求上帝存在和灵魂不朽的逻辑证明皆源于此。柏拉图相信有两个世界： 一个看得见的世界，一个感觉的世界，一个“见解”的世界； 一个智慧的世界，一个感觉之外的世界，一个“真知”的世界。 柏拉图在他的《蒂迈欧》一书中对创世的解释——通过复制理想的数学模型造出我们的宇宙。由此引出了早期基督思想中的创世说。在犹太教义和伊斯兰教义中也可以找到受柏拉图影响的高度数学化的宇宙论。柏拉图的观点还被犹太教、基督教和伊斯兰教的哲学家们用来探明神明和灵魂如何与物质世界相互作用。 柏拉图这种理念论也深深地影响了西方的文学。法国著名作家雨果在《克伦威尔》序言中说，生命有两种，一种是暂时的，一种是不朽的，一种是尘世的，一种是天国的。···就像两条曲线的公切点。 著名文艺理论家泰纳在《英国文学史》序言中说：“当你用你的眼睛去观察一个看得见的人的时候，你在寻找什么呢？你是在寻找那个看不见的人。你所听到的谈话，你所看见的各种行动和事实，例如他的姿势、他的头部的转动、他所穿的衣服，都只是一些外表；在它们的下面还出现某种东西，…一个隐藏在外部人的下面的内部的人。” 欧几里得几何是推理的典范，其特点是，以简驭繁，以少胜多。这本书成为后人模仿的样板。我们来举几个典型的例子。 阿基米德不是通过用重物作实验，而是按欧几里得的方式，从“相等的重物在离支点相等距离处处于平衡”这一公设出发证明了杠杆定律。 牛顿称著名的三定律为“公理或运动定律”。从三定律和万有引力定律出发，建立了他的力学体系。他的“自然哲学的数学原理”具有欧几里得式的结构。 世界上第一个为人口学建立科学理论的是英国的马尔萨斯(Malthus 1766-1834)。他的理论对世界各国的人口政策产生了重大影响。马尔萨斯的《人口论》在方法上是地地道道欧几里得式的，他从公理出发研究了人口发展的规律。在该书的开篇，他写道： 他接着从对人口增长和食品供求增长的分析中建立了他的数学模型。这个模型简洁，有说服力，对各国的人口政策有巨大影响。 令人惊奇的是，欧几里得的模型还推广到了政治学。美国的“独立宣言”是一个著名的例子。独立宣言是为了证明反抗大英帝国的完全合理性而撰写的。美国第三任总统杰斐逊(1743-1826)是这个宣言的主要起草人。他试图借助欧几里得的模型使人们对宣言的公正性和合理性深信不疑。“我们认为这些真理是不证自明的···”不仅所有的直角都相等，而且“所有的人生来都平等”。这些自明的真理包括，如果任何一届政府不服从这些先决条件，那么“人民就有权更换或废除它”。宣言主要部分的开头讲，英国国王乔治的政府没有满足上述条件。“因此，···我们宣布，这些联合起来的殖民地是，而且按正当权利应该是，自由的和独立的国家。”我们顺便指出，杰斐逊爱好文学、数学、自然科学和建筑艺术。 相对论的诞生是另一个光辉的例子。相对论的公理只有两条：1)相对性原理，任何自然定律对于一切直线运动的观测系统都有相同的形式；2)光速不变原理，对于一切惯性系，光在真空中都以确定的速度传播。爱因斯坦就是在这两条公理的基础上建立了他的相对论。 4.3.1 音律的基本术语。 先引进一些基本概念在音乐中有固定音高的音的总和叫乐音体系。乐音体系中的音，按照音高次序排列起来叫音列。在钢琴上可以明显地看出在乐音体系中使用的音和音列。钢琴上有88个音高不同的音，有些音在音乐中几乎不用，乐音体系中的各音叫作音级。音级中有基本音级和变化音级两种。 乐音体系中有七个独立名称的音级称为基本音级。这七个基本音级分别用英文字母C，D，E，F，G，A，B来标记，叫做音名，它表示一定的音高，在钢琴键盘上的位置是不动的。这七个音名在唱歌时依次用do，re，mi，fa，sol，la，si来发音，称为唱名。如果表示不同的八度还有小字一组，小字二组等。正对着钢琴钥匙孔的中间一组音的音名是小字一组. 两音之间的音高上的相互关系叫音程。七个基本音级在音列中是循环重复的，第一级音与第八级音的音名相同，但音的高度不同，构成了八度关系。这里的度指的是，琴键间的间距.例如把C当作起点，G就是五度音。 4.3.2 古希腊音律的确定 在西方，从毕达哥拉斯时代开始，人们就认为，对音乐的研究本质上是数学的，这个思想对后来有深远的影响。莱布尼兹指出：“音乐就它的基础来说，是数学的；就它的出现来说，是直觉的.”法国音乐理论家、作曲家拉莫(J.P·RaMeau 1683-1764)说：“音乐是一种必须掌握一定规律的科学，这些规律必须从明确的原则出发，这个原则没有数学的帮助就不可能进行研究。我必须承认，虽然在我相当长时期的实践活动中，我获得许多经验，但是只有数学能帮助我发展我的思想，照亮我甚至没有发觉原来是黑暗的地方。” 音乐必须有美的音调，美的音调必然是和谐的，希腊人发现，最和谐的音调是由比1：2：3：4确定的。中世纪美学家奥古斯丁说过：“1，2，3，4这四个最小的数是音乐上最美的数。”为什么会是这样呢？看了毕达哥拉斯的生律法，就清楚了。 我们知道，振动物体对周围的空气发生作用，产生声波，声波沿各个方向传播出去，传到我们的耳朵，为我们所接受。但大部分声音，像说话，或鸟叫不是乐音。乐音通常是由弦的振动引起的，如小提琴，大提琴，吉他，钢琴等，或是由空气柱的振动引起的，如管风琴，小号，长笛等。 描述乐音的一个最基本的量是音高。什么是音高呢？这个问题看来简单，其实不简单。人类花了许多个世纪才对音高有了精确的理解。这要归功于伽里略和法国数学家兼宗教家梅森(Mersenne Masin1588-1648)。为了说明音高，需要引进频率的概念。 频率指的是，物体在单位时间内振动的次数。通常，将单位时间取为秒，物体每秒振动多少次叫多少赫兹或多少赫。 例如，如果一紧绷弦每秒振动100次，就说它的频率是100赫兹。 毕达哥拉斯连续使用比2：3找出了从C到的各个音。他是如何做的呢？他将两条质料相同的弦水平放置，使它们绷紧，并保持相同的张力.假定一根弦的长度为1，另一根弦的长度为前者的2/3，然后使两条弦同时发音，若前者发的音是C，则后者发的音是比前者高五度的音一G，再取后者长度的2/3，就得到比G高5度的音。把新弦长放大一倍，就得到D。把这个步骤继续下去；就可定出所有的音。这种定音的方法叫五度相生法。 五度相生法用3：2的频率关系生成音列，其频率比的公式是
下面的表是用五度相生法生成的(大调式)七音阶表。
从上面的表可以看出，如果以一个音阶的频率当作音阶的主音，按1：2：3：4的规律就会得到一个音阶中最和谐的几个音。从1：2得到八度音，2:3得到五度音，3：4得到四度音.由于它们比例最简单，所以产生的共同谐波就多，听起来很和谐。谁都知道八度音是最和谐的，似乎可以把它们融合在一起。在人类有音乐的初期，人们就会使用这个音，它也是复音音乐的起点。当一个小孩和一个成人同唱一首歌时，或一个男声和一个女声同唱一首歌时，就自然形成了八度平行。 注：1.哲学意义：“万物皆数也”的思想起源之一。 2.数学意义：音律的确定需要指数函数。 4.3.3 简谐振动 音叉的振动。傅里叶如何使音乐乐声的数学分析成为可能呢？我们先来看看最简单的乐器一音叉是如何发声，如何传播，又如何用数学公式描述它的。 用小锤击音叉的一边，音叉就振动起来，并发出声音。当音叉第一次运动到右边时，它就撞击阻碍它向右运动的空气分子，使那些分子间的密度加大。这种现象称为压缩。压缩的空气继续向右移动，直到不拥挤的地方，这一过程将反复重复。于是，向右的压缩将会一直继续下去(图3)。
接着音叉又向左运动。这样，就在音叉原来的位置留下一个比较大的地方，右边的空气分子就向这里涌过来。于是在这些空气分子先前的位置上造成了一个稀薄的空间。这种现象称为舒张。 事实上，音叉的每一次振动在所有的方向上都产生压缩和舒张，这就是声波。声波把空气进行局部的压缩和舒张，使空气周期性的变疏和变密。这种声波传到人的耳朵里，对耳膜产生作用，我们就听到了声音。 现在的问题是，这种声音能不能用一个数学公式表示出来？如果能，那是什么样的公式呢？ 简谐振动。音叉的振动是最简单的周期振动。与它同样简单的周期振动还有单摆的振动，弹簧的振动。它们的共同特点是，在相等的时间间隔里重复自己的运动。这类振动称之为简谐振动。描述这类周期振动的公式具有同一形式。为直观计，我们取弹簧的周期振动作模型。 顺便指出，对简谐振动的研究不仅为乐声的描述提供了工具，它首先导致了精确记时钟的发明。通过实验，R·胡克掌握了弹簧振动的基本规律，发现了弹性力学定律。16世纪50年代，他试着用金属弹簧来调整钟的频率。但是，第一个用弹簧控制的时钟却是丹麦物理学家C·惠更斯建造的。惠更斯的办法是使用盘旋的弹簧；这种办法至今仍在机械手表里使用。 4.3.4 弹簧的振动 考虑一个被压缩和拉长的弹簧，并取平衡位置为坐标原点(图4)。根据胡克定律，作用力F与弹簧的压缩或伸长量x成正比： F=-kx (1)
x的值对伸长为正，对压缩为负。常数b叫弹簧常数，是弹簧劲度的度量，弹簧越硬，k的值就越大。再设连在弹簧上的物体M的质量为m。这个系统的特点是，当物体M受扰动离开平衡位置后，在弹力的作用下，系统趋于回到平衡位置.但由于惯性的作用，M会超越平衡点继续运动。M超越平衡点后，弹力再次作用使之回到平衡点。结果，系统就来回振动起来，与音叉的振动一样。物体M的水平位置x是时间t的函数：x=x(t).x(t)的变化规律是什么呢？我们来作一些数学分析。 我们需要牛顿第二定律。记着，加速度a是位移函数的二阶导数：，考虑弹力公式(1)，我们有 或 其中，令，则上面的方程可写为 (2) 这是一个含有未知函数导数的方程，称为微分方程。这个方程的解x(t)的一个重要特点是，二阶导数与函数本身的负值成正比。这个函数是什么函数？猜一猜！ 从初等微积分，我们已经知道，正弦函数和余弦函数具有这一特点：
以此作出发点，我们猜测方程(2)的解是正弦函数或余弦函数是合乎情理的。事实上，它的解取下述形式： (C，D：常数) 或 (3) 直接把它代入(2)中验算，就知道结果是正确的。 例4 如果受音叉的作用，理想空气分子运动的振幅是0.001，频率是200赫兹，那么圆频率是200π，从而音叉声音的公式是 y=0.001sin400πt 公式(3)中的A叫振幅。它表示弹簧振动的幅度。完成一次振动的时间叫周期，记为T。例如，若振动一次需0.5秒，则T=0.5秒。若振动一次需4秒，则T=4秒。 叫频率，它是做简谐振动的物体每秒钟振动的次数。前面已经指出，频率的单位是赫兹；每秒振动1次叫1赫兹.频率和周期互为倒数： 叫圆频率，也叫角速率；角速率是做圆周运动的物体在单位时间内通过的角度(以弧度为单位)。而角频率则与做简谐运动的物体每秒振动的次数密切相关。关系是这样的：做圆周运动的物体在回到出发点时通过了2弧度，由于2弧度对应于一个周期，所以 长笛、单簧管、小提琴、钢琴发出的声音各不相同，怎样从数学上给以说明呢？观察各种声音的图形，可以得到问题的部分答案。所有声音的图形，人的声音也包括在内，都表现出某种规律性。这种规律性是，每一种声音的图形在1秒钟内都准确地重复若干次。图5是一个例子，即小提琴的声音的图形，它表现出重复现象，这种声音听来是悦耳的。相反地，噪音具有高度的不规则性。所有具有图形上的规则性或具有周期性的声音称为乐音，不管这些声音是如何产生的。这样，通过图形我们把乐音和噪音区分开了。 傅里叶的定理说，任何一个周期函数f(t)都可以表示为形如(3)的正弦函数之和，而且正弦函数的各项的圆频率是其中圆频率最低一项的圆频率的倍数。如果最低一项的圆频率是，那么其它项的圆频率是2，3···。写成数学公式是
其中a是常数，这个级数叫傅里叶级数。 一个周期函数可以表示成正弦函数的和是令人惊讶的。 我们知道，任何乐音都是周期函数，因此，任何乐音都可以表示为简单的正弦函数之和。 例5 小提琴奏出的乐声如图5所示。它的公式基本上是
傅氏定理的意义是什么呢？它指出，任何乐声都是形如Asin(ωt+φ)之各项之和，其中每一项都代表一种有适当频率和振幅的简单声音，例如由音叉发出的声音。因此，这个定理表明，每一种声音，不管它多么复杂，都是一些简单声音的组合。乐音的复合特征可以通过试验得到证实，例5的小提琴的声音可以由三个具有适当音量，频率分别是500赫兹、1000赫兹和1500 赫兹的音叉同时发声而产生。因此，从理论上讲，完全可以由音叉来演奏贝多芬的第九交响曲。 这是傅氏定理的一个令人惊奇的应用！ 这样，任何复杂的乐音都能由简单声音经适当组合而成。单音称为声音中的泛音。在这些泛音中，频率最低的一个称为基音。频率次高的一个称为第二泛音，它的频率是基频的二倍，接着是第三泛音，它的频率是基频的三倍，等等。 乐音与噪音的主要区别是，乐音的声波随时间呈周期变化，噪音则不是。乐音有固定的频率，听起来使人产生有固定音高的感觉，和谐的感觉。噪音听起来不和谐、不悦耳，缺乏固定音高的感觉。将复合音分解为泛音可以帮助我们用数学方法描述乐音的主要特征。 乐音有四个要素：音调或音高、音色或音质、音响或音量、时值。 当我们说一个声音是高还是低时指的是它的音调。钢琴的声音按照键盘从左到右的顺序从低音上升到高音。音调主要是由振动频率决定的，也就是由ω或T决定的，但它不是严格按比例对应的。一般认为，频率增高到2倍，音调听起来高一个八度。这仅仅在中频段里是这样。在高音部分，听感偏低.所以要把频率调高，以适应人的耳朵。低音段则听感偏高，所以需要把频率调低一些。对一个复合音而言，它的音高由基频的频率决定的。在前面的小提琴的例子中，这些泛音对应的频率分别是500赫兹，1000赫兹，1500赫兹。这意味着，当基音的图形完成一个周期时，第二个泛音的图形将完成两个周期，第三个泛音将完成三个周期。因此，当且仅当基音经过了1/500秒后，复合图形重复一次，空气分子又将循环运动。所以，复合音的音高由基音决定。 音的响度或音量与声波振幅的平方成正比，振幅越大，听起来响度就越大。但这两者也不是按比例对应的。 公式中的初相位φ，人的耳朵一般觉察不出来。一个声音的音色是使它与另外具有相同的音高和音量的声音区别开来的性质。一名小提琴师和一名笛手演奏出相同音调和音量的歌曲时，我们很容易将它们区分开来。乐音的音色影响图形的形状。不同的乐器所发出的声音的图形具有相同的周期和振幅，但形状不同。 乐音图形的形状，部分地依赖于泛音，部分地依赖于泛音的相对强度。有些乐器第二泛音的振幅可能很小，它对整个图形影响不大。例如，在长笛的高音中，除了基音外，所有的泛音都很弱。 时值指振动的延续时间。 现在我们已经知道了，不仅一般乐音的本质，而且它们的结构和主要性质都具有数学上的特征。 欧几里得以五条公理总结了整个欧氏几何，不管多么复杂的几何定理都可以从这五条公理中推导出来。牛顿给出了三定律，对整个力学作了本质上的概括。这些功绩都是开天辟地之功。傅里叶的定理具有同样的地位。自从有了傅里叶定理，世界上的声音一下子变得简单了，都可以归结为简单声音的组合，这些简单声音用数学表示就是正弦函数。人们终于认识到，世界上的声音是如此丰富，却又如此简单！ 4.3.6 大自然的统一性 大自然充满了神奇的统一性。不仅声音可以用正弦函数来描述，电流也可以用正弦函数来描述。事实上，电流与时间的关系是 I= Asinωt 这与音叉的振动具有相同的形式，正是这种统一性使声音可以转变为电流。这就使声音的录制、传播、接收和复原成为可能。这样，你可以在元旦晚上坐在电视机旁欣赏维也纳的新年音乐会。你可以在散步时通过随身听接收中央台的音乐节目。你可以使用手机和你的朋友通话。但是，很少人想到傅里叶的贡献，想到数学的作用——数学是一种看不见的文化。考查一下对人类生活的实际影响，我们会发现，傅里叶的影响超过了牛顿。 参考文献 张顺燕.数学的美与理.北京：北京大学出版社。 文字 / 余弟 配图 / 余弟 排版 / 余弟 点击下方 关注我们 |
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