一元一次不等式-----平面直角坐标系复习

认识不等式

一、本节学习指导

本节中不等式与方程的结合是考试的亮点，大家一定要把握住。多注意下面列出来的一些常见关键词，比如不大于等等，看到这些要能挖掘出里面的隐含条件。

二、知识要点

（一）、不等式

1、概念：利用不等符号连接的式子叫不等式。不等符号有：>、<、≥、≤、≠

注：1、有些不等式中不含有未知数，有些不等式中含有未知数。要与方程加以区别。含有未知数的等式叫方程。比如2x+5=0 是方程，而2x+5>0是不等式。

2、一些常见关键词的隐含条件：

“不大于、最多”就表示“小于等于”,不要把等于忘记了 ,符号：≤

“不超过”也表示“小于等于”   符号：≤

“不小于、至少”表示“大于等于” 符号：≥

“不是正数、非正数 ”表示“0和负数” 符号：≤0

“非负数、不是负数”表示“0和正数” 符号：≥0

2、一元一次不等式：含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫一元一次不等式。【重点】

不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫这个不等式的解的集合，简称解集。 而求不等式解集的过程叫做 解不等式。

例：下列哪个数不是不等式5x-3<6的解  （     ）  

A、1      B、2      C、-1      D、-2

3、不等式的性质：【重点】

性质 ①、不等式左右两边加（减）同一个数（式），不等式仍然成立（不等号的方向不变）；

性质 ②、不等式左右两边乘以（除以）同一个正数，不等式仍然成立（不等号的方向不变）；

性质 ③、不等式左右两边乘以（除以）同一个负数，不等号的方向改变。

注：不等式左右两边同乘或同除以一个数或已知符号的式子时，这个数或式子的值绝对不能是零，否则无意义；

注意：要与等式的性质相区别：最大区别就是 不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号要改变方向。

4、不等式与方程、方程组的结合：  【重点】

用例题来说明：

5、解一元一次不等式的方法与步骤：

同于解一元一次方程，都是：去分母→去括号→移项→合并同类项→未知数系数化为1

注：①、去分母时，注意每一项都要乘到，特别是本身没有分母的项；去括号时，注意括号前面如果是负号时，去掉括号后，各项都要改变符号。

②、解不等式时，常把小数系数化为分数系数以简化计算，统一系数形式后，再按一般的解一元一次不等式步骤解题即可。

例：解不等式：（2x-1）/3-0.5×（3x-5）-（x+1）/6 + 1.25>0

（二）、实际问题与一元一次不等式：【重点】

列不等式解实际应用问题，和列方程解实际应用问题一样，基本思路都是：审→设→列→解→答。

其中，审题与找出题中的不等量关系是列一元一次不等式的关键，找题中不等关系时要着重理解题中的关键字、句，如“便宜”、“提前”、“不超过”、“不低于”、“至多”等等。此外，解出不等式的解集后，要加以检验，看所得的解集符不符题目的实际意义。

例1、 导火线的燃烧速度是每秒0.7cm,爆破员点燃后跑开的速度是每秒5m,为了点火后跑到130m以外的安全地带，问导火线至少应有多长（精确到1cm）？

分析：导火线燃烧的时间只要大于或等于人跑到安全地带的时间就可以了。

例2、某人10点10分离家赶11点整的火车，已知他家离车站10公里，他离家后先以每小时3公里的速度走了5分钟，然后乘公共汽车去车站，问公共汽车至少每小时行多少公里才能不误当次火车？

分析：路的时间为5分钟化为小时，设公共汽车的速度为x公里/小时，用总路程-走路的路程计算出坐车的路程，用路程÷速度表示出坐车的时间，根据用走路的时间+坐公共汽车的时间小于等于5/6小时（50分钟化为小时）列出不等式，求出不等式的解集即可得到满足题意的速度。

三、经验之谈：

这一节的知识点无论是单独命题还是和其他知识点搀和起来命题，占得分值都比较大。希望同学们多做练习，特别是不等式与方程的结合更是考试的亮点，希望能把握住。多注意上面列出来的一些常见关键词，比如不大于等等，看到这些要能挖掘出里面的隐含条件。祝同学们学习这一章一切都进行得顺利！

不等式及其性质

一、知识回顾

1、不等式：利用不等符号连接的式子叫不等式。

2、一元一次不等式：含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫一元一次不等式。

3、不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫这个不等式的解的集合，简称解集。 而求不等式解集的过程叫做 解不等式。

4、不等式的性质：

性质 ①、不等式左右两边加（减）同一个数（式），不等式仍然成立（不等号的方向不变）；

性质 ②、不等式左右两边乘以（除以）同一个正数，不等式仍然成立（不等号的方向不变）；

性质 ③、不等式左右两边乘以（除以）同一个负数，不等号的方向改变。

二、典型例题

例1：已知：①x+y=1；②x＞y；③x+2y；④x2-y≥1；⑤x＜0，其中属于不等式的有（　　）个．

A2　　　　   B 3　　　　   C 4 　　　　   D 5

分析：主要依据不等式的定义-----用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．

解答：①x+y=1是等式；

②x＞y符合不等式的定义；

③x+2y是多项式；

④x2-y≥1符合不等式的定义；

⑤x＜0符合不等式的定义；

故选B．

例2：下列各式中，一元一次不等式是（　　）

A．x≥5/x      B．2x＞1-x2      C．x+2y＜1      D．2x+1≤3x

分析：找到只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是1，用不等号连接的整式即可．

解答：A、不是整式，不符合题意；

B、未知数的最高次数是2，不符合题意；

C、含有2个未知数，不符合题意；

D、是只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是1，用不等号连接的整式，符合题意；

故选D．

例3：下列语句错误的是（　  　）

A．方程2x+3=1的解是x=-1 　　　 　    B．x=-1是方程2x+3=1的解

C．不等式2x+3＜1的解为x=3 　　　　   D．x=3是不等式2x+3＞1的解

分析：可以把它们的解代入原方程或不等式，检验给出的解正不正确．

解答：将各选项中x的值代入方程中进行检验：

A、x=-1是方程2x+3=1的解，对；

B、x=-1是方程2x+3=1的解成立，对；

C、将x=3代入2x+3＜1中，不等式不成立，错；

D、x=3是不等式2x+3＞1的解成立，对．

故选C

例4：（2011·湛江）把下列不等式的解集在数轴上表示，其中正确的是（      ）

分析：不等式的解集在数轴上的表示方法是：“＞，≥”开口向右，“＜，≤”开口向左，当有等号时，应取端点，所以断点处是实心点，如果没有等号，断点处是空心。

解答：A x＞1，没有等号，所以在点1处应是空心圆，故错

B x≤3，有等号，所以在点3处应是实心圆，故错

C x≥2，符合不等式的解集表示方法，故正确

D x＞0，图像表示的是x＞1，故错。

故选C．

例5：（2011·仙桃）某不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组可能是（　　）

分析：先根据数轴上表示的不等式组的解集写出来，在对四个选项进行分析即可．

解答：由数轴上不等式解集的表示法可知，图中表示的不等式组的解集为-2≤x＜3，

A、不等式组的解集为-2≤x≤3，故本选项错误；

B、不等式组的解集为-2≤x＜3，故本选项正确；

C、不等式组的解集为-2＜x＜3，故本选项错误；

D、不等式组的解集为-2＜x≤3，故本选项错误．

故选B．

例6：a、b两数在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的有（　　）个．

①ab＞0    ②a+b＞0    ③a-b＞0    ④a2-b2＞0       ⑤|b-1|=1-b．

A．2    　　　　    B．3   　　　　     C．4    　　　　    D．5

分析：先根据数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小，然后对各小题分析判断后利用排除法求解．

解答：根据图形可得a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，

①ab＜0，故本小题错误；

②a+b＜0，故本小题错误；

③a-b=a+（-b）＞0，正确；

④a2-b2＜0，故本小题错误；

⑤|b-1|=1-b，正确，

所以正确的有③⑤共2个．

故选A．

例7：若a，b是有理数，那么下列结论一定正确的是（　　）

A．若a＜b，则|a|＜|b|  　　         B．若a＞b，则|a|＞|b|

C．若a=b，则|a|=|b| 　　            D．若a≠b，则|a|≠|b|

分析：根据绝对值的定义通过列举反例可以说明A、B、D三选项错误；而两有理数相等则它们的绝对值相等得到B选项正确．

解答：A、若a=-1，b=0，则|-1|＞|0|，所以A选项错误；

B、若a=0，b=-1，则|0|＜|-1|，所以B选项错误；

C、若a=b，则|a|=|b|，所以C选项正确；

D、若a=-1，b=1，则|-1|=|1|，所以D选项错误．

故选C．

例8：已知a＜b，则下列式子正确的是（　　  ）

A．a+5＞b+5　　          B．3a＞3b 　　         C．-5a＞-5b　　          D．a /3 ＞b /3

分析：看各不等式是加（减）什么数，或乘（除以）哪个数得到的，用不用变号．

解答：A、不等式两边都加5，不等号的方向不变，错误；

B、不等式两边都乘3，不等号的方向不变，错误；

C、不等式两边都乘-5，不等号的方向改变，正确；

D、不等式两边都除以3，不等号的方向不变，错误；

故选C．

例9：如果a＞b，且c为实数，那么下列不等式一定成立的是（　　）

A．ac＞bc  　　         B．ac＜bc 　　          C．ac2＞bc2  　　         D．ac2≥bc2

分析：根据不等式的性质分析判断．

解答：c是正是负无法确定，根据不等式的基本性质，A、B式无法判定；

c为实数，则c2≥0，根据不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，所以c为0时ac2=bc2，c为不等于0的任何实数时，ac2＞bc2成立，所以一定成立的是ac2≥bc2；故D成立．

故选D．

例10：那么如果a+b＜0且a＞0，那么a，b，-a，-b的大小关系为（　  　）

A．a＜b＜-a＜-b 　　           B．-b＞a＞-a＞b

C．a＜-b＜-a＜b 　　           D．a＜-b＜b＜-a

分析：那么如果a+b＜0，则a＜-b，因为a＞0，所以a＜-b，-a＞b，那么即可确定a，b，-a，-b的大小关系．

解答：∵a+b＜0，且a＞0，∴b＜0，且|b|＞|a|

∴a＜-b，即-a＞b；

∴a，b，-a，-b的大小关系为：-b＞a＞-a＞b；

故本题选B．

三、解题经验

本节知识点较多，同学们要多做练习。重点是，不等式解集在数轴上的表示方法 ，不等式的3条性质要牢记，不要看似简单就马虎，这些知识很容易出错，解题是我们一定要细心，不等式和数轴联系紧密，遇到问题时多画数轴出来观察。

解一元一次不等式　  一、知识回顾

1、解一元一次不等式的方法与步骤：

同于解一元一次方程，步骤是：

去分母→去括号→移项→合并同类项→未知数系数化为1

2、去分母时，注意每一项都要乘到，特别是本身没有分母的项；去括号时，注意括号前面如果是负号时，去掉括号后，各项都要改变符号。

3、解不等式时，常把小数系数化为分数系数以简化计算，统一系数形式后，再按一般的解一元一次不等式步骤解题即可。

4、在数轴上表示不等式解集时要注意有没有取到端点。

二、典型例题

分析：根据解不等式的一般步骤解就可以了

解答：解：

x＞x-2

去分母得3x＞x-6

移项合并得2x＞-6

解得x＞-3

其解集在数轴上表示为：

分析：先去分母，在去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1即可．

解答：去分母，得3（1+x）≥2（2x+1），

去括号、移项、合并同类项，得-x≥-1，

系数化为1，得x≤1．

例3：解不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来

分析：（1）先去分母，解得不等式的解集，然后根据解集在数轴上表示即可．

（2）先在不等式的左右两边同乘以12，去分母，然后解出不等式的解集，再在数轴上表示出解集即可．

解答：解：（1）在不等式的左右两边同乘以2得

（3-x）-6≥0

解得：x≤-3

所以在数轴上表示为：

（2）在不等式的左右两边同乘以12得

6（2x-1）-4（2x+5）＜3（6x-7）

解得：x＞1/2

所以在数轴上表示为：

例4：（2011·烟台）不等式4-3x≥2x-6的非负整数解有（　  　）

A．1个　　          B．2个 　　         C．3个 　　         D．4个

分析：首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可．

解答：不等式4-3x≥2x-6

整理得，5x≤10

∴x≤2

∴其非负整数解是0、1、2

故选C

例5：（2004·吉林）不等式2（x-2）≤x-2的非负整数解的个数为（　　）

A．1　　          B．2 　　         C．3 　　         D．4 :

分析：先求出不等式的解集，然后求其非负整数解．

解答：解不等式2（x-2）≤x-2得x≤2，

因而非负整数解是0，1，2共3个．

故选C．

三、解题经验

一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法步骤相同，解不等式的过程中，尤其要注意化系数为1时，不等号何时发生改变何时不发生改变，如：-2x＞4，解得x＜2，因为x的系数是-2，根据不等式的性质：“不等式两边同时除以或乘以一个负数，不等式符号要改变”，所以： -2x÷（-2）＜4÷（-2）得到x＜2.

一元一次不等式的应用

一、知识回顾

本节有配套学习视频　　列不等式解实际应用问题，和列方程解实际应用问题一样，基本思路都是：审→设→列→解→答。

其中，审题与找出题中的不等量关系是列一元一次不等式的关键，找题中不等关系时要着重理解题中的关键字、句，如“便宜”、“提前”、“不超过”、“不低于”、“至多”等等。此外，解出不等式的解集后，要加以检验，看所得的解集符不符题目的实际意义。

二、典型例题

例1：（2010·佛山）“数x不小于2”，是指（　　）

A．x≤2　　         B．x≥2　　         C．x＜2 　　        D．x＞2

分析：数x不小于2，即是大于或等于2，由此得出答案．

解答：数x不小于2，即是数x大于或等于2，x≥2

故本题选B

例2：（2007·长春）小华拿24元钱购买火腿肠和方便面，已知一盒方便面3元，一根火腿肠2元，他买了4盒方便面，x根火腿肠，则关于x的不等式表示正确的是（　  　）

A．3×4+2x＜24　　         B．3×4+2x≤24

C．3x+2×4≤24 　　        D．3x+2×4≥24

分析：此题中的不等关系：方便面与火腿肠的总价不能超过24元，也就是应≤24元．

解答：根据题意，得3×4+2x≤24．故选B．

例3：（1999·杭州）x的2倍减3的差不大于1，列出不等式是（　  　）

A．2x-3≤1 　　        B．2x-3≥1 　　        C．2x-3＜1 　　        D．2x-3＞1

分析：不大于1，说明就是小于等于1，关系式为：x的2倍-3≤1．,

解答：列出不等式是：2x-3≤1，故选A．

例4：（2009·佛山）

（1）列式：x与20的差不小于0；

（2）若（1）中的x（单位：cm）是一个正方形的边长，现将正方形的边长增加2cm，则正方形的面积至少增加多少？

分析：（1）不小于意思为“≥”；

（2）正方形增加的面积=新正方形的面积-原正方形的面积．

能够结合（1）中x的取值范围，求得正方形的面积增加的范围，从而得到正方形的面积至少增加多少．

解答：解：根据题意，得

（1）x-20≥0；

（2）由（1），得x≥20．

则正方形的面积增加（x+2）2-x2=4x+4≥4×20+4=84．

即正方形的面积至少增加84cm2．

例5：若一件商品的进价为500元，标价为750元，商店要求以利润率不低于5%的售价打折出售，问售货员最低打几折出售此商品设打x折，用不等式表示题目中的不等关系．

分析：利润率不低于5%，即是利润应大于或等于利润率的5%．

利润有两种表示方法：利润=售价-成本=成本×利润率．

本题满足的关系为：售价-进价≥500×5%．

解答：解：设应打x折，根据题意，得750× x/10 -500≥500×5%．

例6：一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一题得4分，答错或不答倒扣1分，在这次竞赛中，小明获得80分以上，则小明至少答对多少道题？设小明答对x道题，用不等式表示题目中的不等关系．

分析：理解：80分以上，意思是大于80分．本题的不等关系为：4×答对的题数-1×答错或不答的题数＞80．

解答：解：设小明答对x道题，根据题意，得

4x-（30-x）＞80

三、解题经验

解应用题最关键的是读懂题意，然后抓住关键词语，弄清不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式。

解一元一次不等式组

一、知识回顾

本节有配套学习视频　　1、由两个或两个以上的一元一次不等式组成的方程组叫一元一次不等式组

2、解出两个一元一次不等式的解，取公共部分 就是一元一次不等式组的解集。

3、不等式组解集取法口诀：根据大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小

二、典型例题

例1：下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（　　）

分析：根据一元一次不等式组的定义判定则可．

解答：A选项是一元一次不等式组；

B选项中有2个未知数；

C选项中最高次项是2；

D选项中含有分式，不属于一元一次不等式的范围．

故选A

例2：下列说法正确的是（　　）

分析：根据大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无解画数轴判定则可．

解答：依据选项把解集表示在数轴上是：

故选C

例3：（2008·济南）解不等式组{ 2x+4＞0  ①     并把解集在数轴上表示出来。

{ 3+x＜6     ②

分析：先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口诀“大小小大中间找”，来求不等式组的解集为-2＜x＜3，表示到数轴上即可．

解答：解不等式组 {2x+4＞0    ①

{3+x＜6      ②

解①得，x＞-2，

解②得，x＜3，

所以，这个不等式组的解集是-2＜x＜3．

这个不等式组解集在数轴上表示如图：

例4：解不等式组 { 2x-4≤0                   并把解集在数轴上表示出来．

{ 1/2 (x+8)-2＞0

分析：先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．

解答：解：{ 2x-4≤0               ①

{ 1/2 (x+8)-2＞0    ②

由①得，x≤2

由②得，x＞-4

故原不等式组的解集为：-4＜x≤2

在数轴上表示为：

例5：（2004·梅州）已知关于x的方程5x-2m=3x-6m+1的解为x，满足-3＜x≤2，求m的整数值．

分析：先用m的式子表示x，再根据-3＜x≤2，列出不等式组，求出不等式组的解集，再从中找出m的整数值

解答：解：解方程5x-2m=3x-6m+1，得x=1/2 -2m．

∵-3＜x≤2，

∴{ 1/2 -2m＞-3

{ 1/2 -2m≤2

解得-3/4 ≤m＜13/4 ，

∴m的整数值是0，1．

三、解题经验

解不等式组时我们需要分别把不等式解出来，在数轴中取公共部分，最终得到不等式组的解。注意连不等式的变形，比如2x-2≤12＜8+5x，这个式子表示的是：2x-2≤12与12＜8+5x组成的不等式组。

一元一次不等式组与实际问题

一、本节学习指导

这一节的知识还是比较好学的，如果遇到解不等式组的题目在取解集的时候一定要画出数轴，画图的方式很直观不容易出错，再则就是要注意取不取端点的问题。实际问题可能会有些难度，最好多做一些练习题。

二、知识要点

1、一元一次不等式组：

（1）、概念：几个一元一次不等式组成的不等式组叫一元一次不等式组。一般的，组成不等式组的几个不等式用大括号联立起来。

（2）、一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组里所有不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。  如果没有公共部分，则这个一元一次不等式组无解（或叫空集）。  而求一元一次不等式组解集的过程叫做解不等式组。

（3）、一元一次不等式组的解法：

两个步骤：⑴、分别求出不等式组中各个不等式的解集；

⑵、利用数轴表示出这些不等式解集的公共部分，即为这个不等式组的解集。

解集口诀：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小没得找（即无解）。

注：要将一元一次不等式组的解法与前面学过的二元一次方程组的解法加以区别：在解方程组时，两个方程不是独立存在的（由代入法、加减法本身就说明了这点），而一元一次不等式组中几个不等式却是独立的，在解答时先要独立解不同的不等式，再找出它们的解集的公共解集，即解一元一次不等式组时，不能用加减消元法。另外，组成不等式组的不等式的个数可以是2个以上。

（4）、列不等式组解实际应用题：

一般步骤：审题→设未知数→列不等式组→解不等式组→检验、作答 .

注：利用不等式组解决实际问题时，关键在于根据实际问题中的等量关系、不等关系列出方程或不等式组，要把所有的等量关系、不等关系找全。

例：某宾馆一楼客房比二楼少5间，某旅行团有48人，若全部安排住在一楼，每间住4人，房间不够，每间住5人，有房间没有住满5人；若全部安排住在二楼，每间住3人，房间不够，每间住4人，也有房间没有住满。问该宾馆一楼有客房多少间？

分析：根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可。

（5）、不等式组与方程组的应用，举个实例来说明：

例：为改善办学条件，某校要购买一些电脑和课桌。第一次，用9万元购买了电脑10台和课桌200张，第二次，用9万元购买了电脑12台和课桌120张。

（1）每台电脑和每张课桌各要多少元？

（2）第三次购买时，销售商对一次购买量大的客户打折销售，规定：一次购买电脑35台以上（含35台），按九折销售，一次购买课桌600张以上（含600张），按八折销售。学校准备用27万元购买电脑和课桌，其中电脑不少于35台，课桌不少于600张，有几种购买方案？

分析：

（1）设每台电脑m元，每张课桌n元，列方程组即可求解；

（2）设购电脑x台，课桌y张，列出方程组，解得x、y的取值范围，再确定购买方案。

三、经验之谈：

上面很多重点都列出了例题，大家一定要认真看，理解了就不难。做本节题目的时候一定要细心。熟练掌握解不等式组的步骤，考试中是按步骤给分的，如果碰到难题，也试着写几步，一定不能空着。如果碰到难题或是不理解的发在我们网站上，希望能提高你的成绩。

一元一次不等式组的应用

一、知识回顾

本节有配套学习视频　　一元一次不等式组的应用与一元一次方程组的应用基本基本相同，我们只要多做些练习就能掌握好。

二、典型例题

例1：小明要制作一个长方形的相片框架，这个框架的长为25cm，面积不小于500cm2，则宽的长度xcm应满足的不等式组为（　　）

分析：由于长方形的相片框架的长为25cm，而长总大于宽，由此得到x＜25，又面积不小于500，根据面积公式可以得到25x≥500，联立两个不等式组成不等式组，解不等式组即可求解．

解答：根据题意，得 25x≥500 x＜25   ．

故选A．

例2：现在有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，若设宿舍间数为x，则可以列得不等式组为（　　）

分析：易得学生总人数，不空也不满意思是一个宿舍人数在1人和5人之间，关系式为：总人数-（x-1）间宿舍的人数≥1；总人数-（x-1）间宿舍的人数≤5，把相关数值代入即可．

解答：∵若每间住4人，则还有19人无宿舍住，

∴学生总人数为（4x+19）人，

∵一间宿舍不空也不满，

∴学生总人数-（x-1）间宿舍的人数在1和5之间，

∴列的不等式组为：{ (4x+19)-6(x-1)≥1

{ (4x+19)-6(x-1)≤5

故选D

例3：为了增强学生体质，丰富学生的学习生活，某校设置了室外活动课，并决定购买一些排球和跳绳．已知一个捧球的费用比3根跳绳的费用少10元，2个排球与5根跳绳的总费用为200元．

（1）求每个排球和每根跳绳的价格分别为多少元？

（2）该学校共有师生1200人，计划购买排球和跳绳110件，捧球和跳绳活动课时要求 所有师生都走出教室，全员参与活动．若每个排球最多可供12人同时使用，每根跳绳最多可供10人同时使用，且购买排球和跳绳的总费用不超过3760元．请你通过计算求出该校有几种购买方案．

分析：（1）首先设每根跳绳的价格为x元，则每个排球的价格为（3x-10）元，根据关键语句“2个排球与5根跳绳的总费用为200元”可得方程2（3x-10）+5x=200，解可得答案；

（2）设购买排球m个，则购买跳绳为（110-m）根，根据关键语句“总费用不超过3760元”和“学校共有师生1200人”可得不等式组   { 50m+20(110-m)≤376

{ 12m+10(110-m)≥1200

解出不等式组，根据排球个数为整数，可得答案．

解答：解：

（1）设每根跳绳的价格为x元，则每个排球的价格为（3x-10）元，

2（3x-10）+5x=200，

解得：x=20，

3x-10=50，

答：每根跳绳的价格为20元，则每个排球的价格为50元；

（2）设购买排球m个，则购买跳绳为（110-m）根，

{ 50m+20(110-m)≤3760   ①

{ 12m+10(110-m)≥1200   ②

解得：50≤m≤52，

∵m为整数，∴m=50，51，52，

即该校有如下三种购买方案：

①m=50，110-m=60，购买排球50个，则购买跳绳为60根；

②m=51，110-m=59，购买排球51个，则购买跳绳为59根；

③m=52，110-m=58，购买排球52个，则购买跳绳为58根．

例4：（2010·龙岩）某校为迎接县中学生篮球比赛，计划购买A、B两种篮球共20个供学生训练使用．若购买A种篮球6个，则购买两种篮球共需费用720元；若购买A种篮球12个，则购买两种篮球共需费用840元．

（1）A、B两种篮球单价各多少元？

（2）若购买A种篮球不少于8个，所需费用总额不超过800元．请你按要求设计出所有的购买方案供学校参考，并分别计算出每种方案购买A、B两种篮球的个数及所需费用．

分析：（1）根据费用可得等量关系为：6个A种篮球的总费用+14个B种篮球的总费用=720；12个A种篮球的总费用+8个B种篮球的总费用=840，把相关数值代入可得A、B两种篮球单价；

（2）关系式为：A种篮球的总费用+B种篮球的总费用≤800，A种篮球的个数≥8，列式求得解集后得到相应整数解，结合（1）得到的单价可得所需费用．

解答：解：

（1）设A种篮球每个x元，B种篮球每个y元（1分）

依题意得， { 6x+14y=720

{ 12x+8y=840   （3分）

解得{ x=50

{y=30

答：A种篮球每个50元，B种篮球每个30元；（5分）

（2）设购买A种篮球m个，则购买B种篮球（20-m）个（1分）

依题意，得：{ 50m+30(20-m)≤800

{ m≥8                          （2分）

解得8≤m≤10 （3分）

∵篮球的个数必须为整数

∴m只能取8、9、10（4分）

可分别设计出如下三种方案：

方案①：当m=8时，20-m=12，

50×8+30×12=760，

答：购买A种篮球8个，B种篮球12个，费用共计760元（5分）

方案②：当m=9时，20-m=11，

50×9+30×11=780（元）

答：购买A种篮球9个，B种篮球11个，费用共计780元（6分）

方案③：当m=10时，20-m=10，

50×10+30×10=800（元）

答：购买A种篮球10个，B种篮球10个，费用共计800元（7分）．

三、解题经验

解应用题最关键的是读懂题意，然后抓住关键词语，弄清不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式。

平面直角坐标系

一、本节学习指导

本节把重点放在几个象限内点的表示方法上，把四个象限里点的的符号牢牢的记在脑子里。然后做一些相关练习题就可以掌握，这一节属于比较简单的章节。

二、知识要点

1、坐标

数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。

注意：1、数轴上的点可以用一个数来表示，这个数叫这个点在数轴上的坐标。

2、数轴上的点与实数（包括有理数与无理数）一一对应，数轴上的每一个点都有唯一的一个实数与之对应。

平面直角坐标系：由互相垂直、且原点重合的两条数轴组成。横向的是x轴，纵向的是y轴。

说明：平面直角坐标系上的任一点，都可用一对有序实数对来表示，这对有序实数对就叫这点的坐标，如上图点A的坐标用（2,2）这有序实数来表示，（即是用有顺序的两个数来表示，注：x在前，y在后，不能更改），坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的，每一个点，都有唯一的一对有序实数对与之对应。【重点】

2、象限及坐标平面内点的特点

四个象限：如图，平面直角坐标系把坐标平面分成四个象限，从右上部分开始，按逆时针方向分别叫第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。【重点】

注：1、坐标轴（x轴、y轴）上的点不属于任何一个象限。如上图，点B（4,0）和点C（0,-2）不在任何象限。

坐标平面内点的位置特点：

①、坐标原点的坐标为（0,0）；

②、第一象限内的点，x、y同号，均为正；

③、第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正；

④、第三象限内的点，x、y同号，均为负；

⑤、第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负；

⑥、横轴（x轴）上的点，纵坐标为0,即（x,0），所以，横轴也可写作：y=0 （表示一条直线）【重点】

⑦、纵轴（y轴）上的点，横坐标为0,即（0,y），所以，纵横也可写作：x=0 （表示一条直线）【重点】

例：若P（x,y），已知xy>0,则P点在第象限；已知xy<0,则P点在第象限。

分析：xy>0说明x,y同号，所以是在第一或第三象限，xy<0说明x,y异号，所以是在第二或第四象限

点到坐标轴的距离：坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴（y轴）的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴（x轴）的距离。【重点】

例：点A（-3,7）表示到x轴的距离为7,到纵轴的距离为3;点B（-9,0）表示到横轴的距离为0,到纵轴的距离为9.

注： 已知点的坐标求距离，只有一个结果，距离必须是正的。但已知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负，可能有多个解的情况，应注意不要丢解。

例1:点P（x,y）到x轴的距离是3,到y轴的距离是7,求点P的坐标为（±7,±3），有四个有序数对（7,3），（7,-3），（-7,3），（-7,-3）。

4、坐标平面内对称点坐标的特点

①、一个点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A‘（a,-b），特点为：x不变，y相反； 例：A（-3,5）关于x轴对称的点的坐标为A’（,）

②、一个点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A‘（-a,b），特点为：y不变，x相反；  例：A（-3,5）关于y轴对称的点的坐标为A’（,）

③、一个点A（a,b）关于原点对称的点的坐标为A‘（-a,-b），特点为：x、y均相反。  例：A（-3,5）关于原点对称的点的坐标为A’（,）

5、平行于坐标轴的直线的表示

①、平行于横轴（x轴）的直线上的任意一点，其横坐标不同，纵坐标均相等，所以，可表示为：y=a（a为纵坐标）的形式，a的绝对值表示这条直线到x轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点横坐标之差的绝对值；

②、平行于纵轴（y轴）的直线上的任意一点，其纵坐标不同，横坐标均相等，所以，可表示为：x=b（b为横坐标）的形式，b的绝对值表示这条直线到y轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点纵坐标之差的绝对值。

例如：直线y=-5上与点A（-3,-5）距离为8的点P坐标为：;

直线x=6上与点B（6,7）距离为9的点K坐标为：.

6、象限角平分线的特点

①、第一、三象限的角平分线可表示为y=x的形式，即角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号）；  例：A（3,）和B（-5,）均在第一、三象限的角平分线上。

②、第二、四象限的角平分线可表示为y=-x的形式，即角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数（异号）。  例A（-3,）和B（5,）均在第二、四象限的角平分线上。

三、经验之谈：

这一节是比较重要的小节，一定要掌握好坐标中点的表示方法，其次不要被到x,y轴的距离搅浑了头，到y轴的距离表示的是横坐标，到x轴的距离表示的纵坐标。遇到这一小节题目的时候一定要画图出来观察，看上去很简单，但是千万不能大意。

平面直角坐标系

一、知识回顾

1、平面直角坐标系：由互相垂直、且原点重合的两条数轴组成。横向的是x轴，竖着的是y轴。

2、四个象限：如图，平面直角坐标系把坐标平面分成四个象限，从右上部分开始，按逆时针方向分别叫第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。

3、点到坐标轴的距离：坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴（y轴）的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴（x轴）的距离。

4、平面内的任何一个位子都能用有序实数对（x，y）来表示。

二、典型例题

例1：在坐标中标出点A（-2,1），B（5，3），C（-1，-4），D（4,0）

分析：此题我们根据四个象限坐标点的特点就能正确在坐标中表示出各点。

解答：先看坐标（x，y）中x，y的符号，根据符号判定所在象限。对于最后一个点D，y值为0，所以在x轴上。

例2：（2012·怀化）在平面直角坐标系中，点A（-3，3），B（0，5）所在的象限是（　　）

A．A点在第一象限，B点在x轴上 　　         B．A点在第二象限，B点在y轴上

C．A点在第二象限，B点在x轴上   　　       D．A点在第四象限，B点在y轴上

分析：根据象限的特点，判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．

解答：∵点A（-3，3）的横坐标是负数，纵坐标是正数，

∴点在平面直角坐标系的第二象限，

又∵点B（0,5）横坐标为0，所以在y轴上。

故选B．

例3：（2004·宁波）当2/3＜m＜1时，点P（3m-2，m-1）在（　  　）

A．第一象限 　　         B．第二象限 　　         C．第三象限 　　         D．第四象限

分析：当2/3 ＜m＜1时可判断3m-2＞0，m-1＜0，于是可知点P所在的象限．

解答：∵2/3 ＜m＜1，∴2 ＜3m＜3 →  2-2 ＜3m-2＜3-2  → 0＜3m-2＜1

∵2/3 ＜m＜1，∴∵2/3 -1＜m-1＜1-1 → m-1＜0

∴点P（3m-2，m-1）在第四象限．

故选D．

例4：（2004·临沂）点P（x+1，x-1）不可能在第（　　  ）象限．

A．一 　　         B．二　　          C．三　　          D．四

分析：根据四个象限点的坐标的特点，列不等式组，求无解的一组并确定象限即可．

解答：点所在的象限分为四种情况：

点的第一象限时， x+1＞0， x-1＞0   ，解得x＞-1；

点的第二象限时， x+1＜0， x-1＞0   ，解得x无解；

点的第三象限时， x+1＜0， x-1＜0   ，解得x＜-1；

点的第四象限时， x+1＞0， x-1＜0   ，解得-1＜x＜1．

故点不可能在第二象限．

故选B．

例5：若点P的横坐标与纵坐标互为相反数，则点P一定在（　  　）

A．原点

B．x轴或者y轴上

C．第一、三象限两轴夹角的平分线上

D．第二、四象限两轴夹角的平分线上

分析：用点P的横坐标表示出纵坐标，再结合各象限的特点进行解答．

解答：设点P的横坐标是a，

∵点P的横坐标与纵坐标互为相反数，

∴点P的纵坐标为-a，

结合平面直角坐标系的特点，点P在第二、四象限两轴夹角的平分线上．

故选D．

三、解题经验

本节中一定要多动手，多画图。熟练掌握各个象限中点的特征，另外还有坐标系的两个角平分线也是常考点之一。

对于点A（x，y），这个有序数对的理解，其中的x，y可以表示任何实数，当x=y或者x=-y时，点A在坐标系的角平分线上。坐标方法的简单应用

一、本节学习指导

这一节重点是把前面学的坐标系的一些知识运用到常见题目中，不是很复杂，常常运用到的是点到x轴，y轴的距离。

二、知识要点

1、求面积问题

①、已知三角形的顶点坐标求三角形的面积。利用坐标中的距离找出高即可；如果不能直接找出高的，想办法拼凑成一个规则四边形，比如长方形、平行四边形。然后求出四边形的面积除以2就是三角形的面积。【重点】

②、已知多边形各顶点坐标求多边形的面积。如果是规则的四边形，按照公式就可以求出面积；若是不规则四边形我们想办法把他们分割成三角形或是有规则四边形，分别求出面积然后把面积加起来即可。

2、平移

①、点的平移。一个点左、右（水平）平移，横坐标改变，纵坐标不变。具体为：向左平移几个单位，则横坐标减少几个单位；向右平移几个单位，则横坐标增加几个单位。“左减右加”

一个点上、下（竖直）平移，纵坐标改变，横坐标不变。具体为：向下平移几个单位，则纵坐标减少几个单位；向上平移几个单位，则纵坐标增加几个单位。“下减上加”

②、图形的平移。图形是由无数个点组成的，所以，图形的平移实质上就是点的平移。关键是把图形的各个顶点按要求横向或纵向平移，描出平移后的对应顶点，再连接全部对应顶点即可。

注：图形平移后的新图形与原图形在形状、大小方面是完全相同的，唯一改变的是原图形的位置。

3、中点坐标公式

对于平面直角坐标系内任意两点M（a1,b1）、N（a2,b2），它们的中点的坐标为：（ （a1+a2）/2 ,（b1+b2）/2 ）【重点】

例：已知点A（5,-8）和点B（-3,2），线段AB的中点的坐标为：（ , ）。

三、经验之谈：

多做一些求面积的题目，就可以掌握，考试中往往嵌套在大题中出现，但一般难度很小。至于中点坐标公式大家一定要理解并记忆。

坐标系的简单应用

一、知识回顾

1、求面积问题

已知三角形的顶点坐标求三角形的面积。利用坐标中的距离找出高即可；如果不能直接找出高的，想办法拼凑成一个规则四边形，比如长方形、平行四边形。然后求出四边形的面积除以2就是三角形的面积。

2、平移

①、点的平移。一个点左、右（水平）平移，横坐标改变，纵坐标不变。

②、图形的平移。图形是由无数个点组成的，所以，图形的平移实质上就是点的平移。

3、两点之间中点坐标公式

对于平面直角坐标系内任意两点M（a1,b1）、N(a2,b2),它们的中点的坐标为：（ （a1+a2）/2 ,(b1+b2)/2 ）

二、典型例题

例1：（2000·兰州）平行于y轴的直线上任意两点坐标的关系是（　  　）

A．纵坐标相等                 B．横坐标相等                C．纵坐标和横坐标都相等                 D．都不相等

分析：本题要注意理解好平面直角坐标系的有关点的坐标规律，与y轴平行的直线上的所有点的横坐标是相等的，这点可以画图自己理解选择也可以根据相关知识的总结来完成．

解答：由平行于坐标轴的直线上点的坐标特可知，与y轴平行的直线上的所有点的横坐标是相等的，故选B．

例2：过A（4，-2）和B（-2，-2）两点的直线一定（　  　）

A．垂直于x轴                  B．与Y轴相交但不平于x轴

C．平行于x轴                 D．与x轴、y轴平行

分析：根据平行于x轴的直线上两点的坐标特点解答．

解答：∵A，B两点的纵坐标相等，

∴过这两点的直线一定平行于x轴．

故选C．

例3：点P（3，-5）和点Q（4，a）的连线垂直于y轴，则a的值为（　  　）

A．3                   B．5                   C．-3                   D．-5

分析：点P（4，-5）和点Q（4，a）的连线垂直于y轴，根据垂直于y轴的直线上的点纵坐标相等，可求a的值．

解答：∵P（3，-5）、Q（4，a）两点在垂直于y轴的直线上，

根据垂直于y轴的直线上的点纵坐标相等，

∴a=-5．

故选D．

例4：已知点A（-2，3）、B（2，3），则A、B两点相距（　　）

A．3个单位长度                   B．4个单位长度                  C．5个单位长度                   D．6个单位长度

分析：根据题意画出图形即可

解答：如图，A、B间的距离为4．

故选B．

例5：已知点P（a，-2），Q（3，b）且PQ∥y轴，则a, b。

分析：根据平行于x轴的直线坐标特点解答．

解答：∵PQ∥y轴，则P，Q的横坐标相同，纵坐标不同，

∴a=3，b≠-2．

例6：点A（a2，2a-3）在第二、第四象限坐标轴夹角平分线上，那么:a=。

分析：根据第二、第四象限坐标轴夹角平分线上的点，横纵坐标均互为相反数，相反数之和又等于0，所以由此就可以得到关于a的方程，解出a的值．

解答：根据题意得：a2+2a-3=0，解得：a=1或-3．

例7：（2012·广西）在平面直角坐标系中，将点M（1，2）向左平移2个长度单位后得到点N，则点N的坐标是（　　）

A．（-1，2）                   B．（3，2）                   C．（1，4）                  D．（1，0）

分析：向左平移2个长度单位，即点M的横坐标减2，纵坐标不变，得到点N．

解答：点M（1，2）向左平移2个长度单位后，坐标为（1-2，2），

即N（-1，2），

故选A．

例8：（2011·大庆）已知平面直角坐标系中两点A（-1，O）、B（1，2）．连接AB，平移线段AB得到线段A1B1，若点A的对应点A1的坐标为（2，-1），则B的对应点B1的坐标为（　　）

A．（4，3）                   B．（4，1）                   C．（-2，3）                     D．（-2，1）

分析：根据平移的性质，结合已知点A，B的坐标，知点A的横坐标加上了3，纵坐标减小了1，所以A点的平移方法是：先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，则B的平移方法与A点相同，即可得到答案．

解答：∵A（-1，0）平移后对应点A1的坐标为（2，-1），

∴A点的平移方法是：先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，

∴B点的平移方法与A点的平移方法是相同的，

∴B（1，2）平移后的坐标是：（4，1）．

故选B．

例9：在平面直角坐标系中，顺次连接（-2，1），（-2，-1），（2，-2），（2，3）各点，你会得到一个什么图形？试求出该图形的面积．

分析：本题需要根据点的坐标特点，分别描点、顺次连线，再观察整个图形的形状．

由于点（-2，1），（-2，-1）和点（2，-2），（2，3）的横坐标分别相同两点的连线都垂直于x轴，故图形是梯形，再根据梯形面积公式求面积．

解答：解：如图依次连接可得：图形是梯形，面积为：1/2×（2+5）×4=14．

三、解题经验

平行于x轴的直线上所有的点纵坐标都相等，平行于y轴的直线上所有的横坐标都相等，同学们可以画图出来观察一下，这样记忆更深刻。

点的平移规律与图形的平移：左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减．