数学小知识

桃李斋主 2012-12-20

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   阿拉伯数字在生活中，我们经常会用到0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这些数字。那么你知道这些数字是谁发明的吗？
   这些数字符号原来是古代印度人发明的，后来传到阿拉伯，又从阿拉伯传到欧洲，欧洲人误以为是阿拉伯人发明的，就把它们叫做“阿拉伯数字”，因为流传了许多年，人们叫得顺口，所以至今人们仍然将错就错，把这些古代印度人发明的数字符号叫做阿拉伯数字。
   现在，阿拉伯数字已成了全世界通用的数字符号。

                              九九歌
    九九歌就是我们现在使用的乘法口诀。
    远在公元前的春秋战国时代，九九歌就已经被人们广泛使用。在当时的许多著作中，都有关于九九歌的记载。最初的九九歌是从“九九八十一”起到“二二如四”止，共36句。因为是从“九九八十一”开始，所以取名九九歌。大约在公元五至十世纪间，九九歌才扩充到“一一如一”。大约在公元十三、十四世纪，九九歌的顺序才变成和现在所用的一样，从“一一如一”起到“九九八十一”止。
    现在我国使用的乘法口诀有两种，一种是45句的，通常称为“小九九”；还有一种是81句的，通常称为“大九九”。

音乐与数学
　　动人的音乐常给人以美妙的感受。古人云：余音绕梁，三日不绝，这说的是唱得好，也有的人五音不全，唱不成调，这就是唱得不好了。同样是唱歌，甚至是唱同样的歌，给人的感觉却是迥然不同。其重要原因在于歌唱者发声振动频率不同。
　　人类很早就在实践中对声音是否和谐有了感受，但对谐和音的比较深入的了解只是在弦乐器出现以后，这是因为弦振动频率和弦的长度存在着简单的比例关系。近代数学已经得出弦振动的频率公式是 W = ，这里，P是弦的材料的线密度；T是弦的张力，也就是张紧程度；L是弦长；W是频率，通常以每秒一次即赫兹为单位。
　　那么，决定音乐和谐的因素又是什么呢？人类经过长期的研究，发现它决定于两音的频率之比。两音频率之比越简单，两音的感觉效果越纯净、愉快与和谐。
　　首先，最简单之比是２：１。例如，一个音的频率是160、7赫兹，那么，与它相邻的协和音的频率应该是2×260、7赫兹，这就是高八度音。而与频率为2×260、7赫兹的音和谐的次一个音是4×260、7赫兹。这样推导下去，我们可以得到下面一列和谐的音乐：
　　260、7，2×260、7，22×260、7……
我们把它简记为C0，C1，C2，……，称为音名。
由于我们讨论的是音的比较，可暂时不管音的绝对高度（频率），因此又可将音乐简写为：
C0C1C2C3……
20212223……
　　需要说明的是，在上面的音列中，不仅相邻的音是和谐的，而且C与C2，C与C3等等也都是和谐的。一般说来这些协和音频率之比是2M。（其中M是自然数）

等号与不等号Ec
　　等号与不等号的发明权属于英国人。
　　１５５７年，数学家雷科德在他的《智慧的激励》一书中，首先把“＝”作为等号，他说：“最相像的两件东西是两条平行线，所以这两条线应该用来表示相等。”他的书《智慧的激励》也因此引起了人们极大的兴趣。
　　在数学中，等号“＝”既可表示两个数相等，也可以表示两个式子相等，但无论何种相等，它们都遵循以下规则：
　　（１）若a=b，那么对于任何数c，有a±c=b±c；
　　（２）若a=b，那么b=a；
　　（３）若a=b，b=c，那么a=c；
　　（４）若a=b，那么对于任何数c，有ac=bc。
　　人们起初用“    ”和“    ”。表示大于和小于，英国人乌特勒首次在他的《数学入门》一书中使用了它们。另一英国数学家哈里奥特引入了现在的两个符号：＞、＜。他在自己的书中明确地写道：“a＞b表示a量大于b量，a＜b表示a量小于b量。”
　　不等号在数学中有着普遍应用，在使用它们时，应遵循如下原则（a、b为实数）
　　（１）若a＞b，则b＜a
　　（２）若a＞b，那么对于任何实数c，有a±c＞b±c；
　　（３）若a＞b，c为大于零的实数，那么ac＞bc；
　　（４）若a＞b，c为小于零的实数，那么ac＜bc；
    （５）若a＞b，b＞c，那么a＞c。
                加减乘除的来历
　　加减乘除（＋、－、×(?)、÷(∶））等数学符号是我们每一个人最熟悉的符号，因为不光在数学学习中离不开它们，几乎每天的日常的生活也离不开它们。别看它们这么简单，直到１７世纪中叶才全部形成。
　　法国数学家许凯在１４８４年写成的《算术三篇》中，使用了一些编写符号，如用D表示加法，用M表示减法。这两个符号最早出现在德国数学家维德曼写的《商业速算法》中，他用“＋”表示超过,用“─”表示不足。到１５１４年，荷兰的赫克首次用“＋”表示加法，用“─”表示减法。１５４４年，德国数学家施蒂费尔在《整数算术》中正式用“＋”和“─”表示加减，这两个符号逐渐被公认为真正的算术符号，广泛采用。
　　以符号“×”代表乘是英国数学家奥特雷德首创的。他于１６３１年出版的《数学之钥》中引入这种记法。据说是由加法符号＋变动而来，因为乘法运算是从相同数的连加运算发展而来的。后来，莱布尼兹认为“×”容易与“X”相混淆，建议用“?”表示乘号，这样，“?”也得到了承认。
   除法符号“÷”是英国的瓦里斯最初使用的，后来在英国得到了推广。除的本意是分，符号“÷”的中间的横线把上、下两部分分开，形象地表示了“分”。至此，四则运算符号齐备了，当时还远未达到被各国普遍采用的程度。
                   零的历史
　　数学史家把０称作“哥伦布鸡蛋”，这不仅是因为０的形状像鸡蛋，其中还含有深刻的哲理。凡事都是开创时困难，有人开了端，仿效是很容易的。０的出现就是一个典型的例子，在发明之前，谁都想不到，一旦有了它，人人都会用简单的方法来记数。
　　我们知道，零不仅表示一无所有，它还有以下的一些意义；在位值制记数法中，零表示“空位”，同时起到指示数码所在位置的作用，如３０４中的０表示十位上没有数；零本身还是一个数，可以同其他的数一起参与运算；零是标度的起点或分界，如每天的时间从０时开始。
　　在古代巴比伦，楔形文字的零号已起到现今位值制中０号的作用，它一方面表示零位，另一方面也指明数码的位置。然而他们还没有把零看作一个数，也没有将它和“一无所有”这一概念联系起来。
　　印度人对零的最大贡献是承认它是一个数，而不仅仅是空位或一无所有。婆罗摩笈多对零的运算有较完整的叙述：“负数减去零是负数，正数减去零是正数，零减去零什么也没有；零乘负数、正数或零都是零。……零除以零是空无一物，正数或负数除以零是一个以零为分母的分数”。每一个学过除法的人都知道，零不可以作除数，因为如果a≠0而b=0，那就不可能存在一个Ｃ使得bc=a。这个道理尽人皆知，但在得到正确结论之前，却经历了漫长的历史。
　　我国自古以来就用算筹来记数，早就用算筹来记数，用的是１０进位值制。巴比伦知道位值制，但用的是６０进制。印度到公元５９５年才在碑文上有明确的１０进位值制的记数法。位值制必须有表示零的办法。起初，中国使用空格来表示零，后来以○表示零，后来印度的０就传入了中国。
   在我们眼里，零的存在是那么自然、简洁，但就是这么一个简单的零，却也有这么一段颇不简单的历史。
                 数学中的符号
　　我们知道，数学起源于结绳记数和土地测量。最初，并没有标准数学符号，符号是后来的实践中逐渐产生并进一步完善的。但是，数学符号一旦产生，就能简化数学研究工作，促进数学的发展。所以，学习数学，要从数学符号开始。阿拉伯数字１、２、３、…９、０就是最简单，常用的符号，也就是它们引起了数学上的一场革命。
   数学家韦达第一个把符号引入数学，他用元音字母表示未知量，用辅音字母表示已知量（方程的正系数）。此前，所有的已知数都是用具体数字表达的，从而限制数学的应用范围。现在的符号体系是笛卡尔创立的。他提出，用英文字母中前面的字母a、b、c表示已知数，最后的字母x、y、z表示未知数。
   符号的使用推动了数学本身的发展。符号一经形成，便成为表述概念，说明方法和叙述定理必不可少的工具。建立较好的符号系统，便于总结运算法则，揭示数量关系利于推理。一句话，符号是数学前进，发展，运用的工具。
　　数学符号一般有以下几种：
　　（１）数量符号：如 ,  , ,ｉ，２＋ｉ，ａ，ｘ，，自然对数底e，圆周率。
　　（２）运算符号：如加号（+），减号（-），乘号（×或?），除号（÷或／），两个集合的并集（∪），交集（∩），根号（），对数（log，lg，ln），比（∶），微分（d），积分（∫）等。
　　（３）关系符号：如“=”是等号，“≈”或“ ”是近似符号，“≠”是不等号，“＞”是大于符号，“＜”是小于符号，“ ”表示变量变化的趋势，“∽”是相似符号，“≌”是全等号，“∥”是平行符号，“⊥”是垂直符号，“∝”是正比例符号，“∈”是属于符号等。
　　（４）结合符号：如圆括号“（）”方括号“[]”，花括号“{}”括线“—”B
　　（５）性质符号：如正号“+”，负号“-”，绝对值符号“‖"
　　（６）省略符号：如三角形（△），正弦（sin），X的函数（f(x)），极限（lim），因为（∵），所以（∴），总和（∑），连乘（∏），从N个元素中每次取出R个元素所有不同的组合数（C ），幂（aM），阶乘（！）等。
数学符号的应用，是学习数学、研究数学的重要途径，愿同学们在数学中学好符号，用好符号。

为什么时间和角度的单位用六十进位制
    时间的单位是小时，角度的单位是度，从表面上看，它们完全没有关系。可是，为什么它们都分成分、秒等名称相同的小单位呢？为什么又都用六十进位制呢？
    我们仔细研究一下，就知道这两种量是紧密联系着的。原来，古代人由于生产劳动的需要，要研究天文和历法，就牵涉到时间和角度了。譬如研究昼夜的变化，就要观察地球的自转，这里自转的角度和时间是紧密地联系在一起的。因为历法需要的精确度较高，时间的单位"小时"、角度的单位"度"都嫌太大，必须进一步研究它们的小数。时间和角度都要求它们的小数单位具有这样的性质：使1/2、1/3、1/4、1/5、1/6等都能成为它的整数倍。以1/60作为单位，就正好具有这个性质。譬如：1/2等于30个1/60，1/3等于20个1/60，1/4等于15个1/60……
    数学上习惯把这个1/60的单位叫做"分"，用符号"′"来表示；把1分的1/60的单位叫做"秒"，用符号"″"来表示。时间和角度都用分、秒作小数单位。
    这个小数的进位制在表示有些数字时很方便。例如常遇到的1/3，在十进位制里要变成无限小数，但在这种进位制中就是一个整数。
    这种六十进位制（严格地说是六十退位制）的小数记数法，在天文历法方面已长久地为全世界的科学家们所习惯，所以也就一直沿用到今天。

"0"是我国最早创造的
我们知道阿拉伯数字１、２、３、４、５、６、７、８、９原是印度人发明的，１３世纪后期传入中国，人们误认为０也是印度人发明的。其实印度起先发明时没有“０”，他们把“２０４”，写成“２４”，中间空着，把２００４，写成“２４”，怎么区别中间有几个零呢？为了避免看不清，就用点“·”来表示，２０４写成“２·４”，那不和小数混淆了？直到公元８７６年才把“０”确定下来。
我国却在１２４０年前就已创造了“０”，我国的零，当时是“○”，它是根据写字时缺字用“□”来表示缺字，“０”表示这个数没有，或这个数位上没有，用“○”表示，随着人们长期不断地记数，慢慢发展演变，最后确定为今天的“０”。因此以“０”作为零是我国古代数学家的一项杰出贡献。

米的诞生
在公元1790年之前世界各国的长度单位几乎各不相同，给不同国家的人们之间相互交流带来了很大的麻烦。这时，法国的一位科学家他雷兰提出了制定一个世界各国通用单位的建议。
　　法国的学者取得世界各国的同意，把地球子午线上从北极到赤道的长度的一千万分之一作为长度的单位，叫做1米。
当时的科学技术还很不发达。测量了整整七年，实际还只是仅仅测量了西班牙的巴赛罗纳和法国的敦刻尔克之间的距离。通过计算得到了最初的1米。
　　后来1960年的国际会议规定。一米为氪（K8）原子在真空中发射的橙色光波波长的1650763.73倍。

圆周率
圆的周长与直径的比。圆周率是一个常数，通常用希腊字母π表示。如果设圆的直径为1，并把圆内接正六边形的周长（P6=3）看作是圆周长的近似值，那么圆周率的近似值就为3。这是我国古代最早所用的圆周率“径一周三（即取π≈3）”的来历，后人称为古率。把圆内接正六边形的边数加倍，可以得到圆内接正十二边形，再加倍，可以得到圆内接正二十四边形，……。这一些圆内接正多边形，当边数成倍增长时，它们的周长Pn也不断增大，越来越接近于圆的周长，因此，Pn与直径的比值也越来越接近于圆周率准确值。这种求圆周率的方法称为“割圆术”。三国时魏人刘徽用割圆术求得3.141024＜π＜3.1412704。南北朝的祖冲之进一步算得比西方达到这一结果要早1100多年。圆周率π是一个无理数，即是一个无限不循环小数。

圆的历史
古代人最早是从太阳，从阴历十五的月亮得到圆的概念的，那么是什么人作出第一个圆的呢？
　18000年前的山顶洞人用一种尖状的石器来钻孔，一面钻不透，再从另一面钻。石器的尖是圆心，它的宽度的一半就是半径，这样以同一个半径和圆心一圈圈地转就可以钻出一个圆的孔。
　　到了陶器时代，许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。
　　6000年前，半坡人就已经会造圆形的房顶了。
　　古代人还发现圆的木头滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物时，就把几段圆木垫在重物的下面滚着走，这样就比扛着走省劲得多。
　　大约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆的木轮。约在4000年前，人们将圆的木轮固定在木架上，这就成了最初的车子。
　　会作圆并且真正了解圆的性质，却是在2000多年前，是由我国的墨子给出圆的概念的：“一中同长也。”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得给团下定义要早100年。

奇妙的圆形
    圆形，是一个看来简单，实际上是很奇妙的圆形。
　　古代人最早是从太阳，从阴历十五的月亮得到圆的概念的。一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔，那些孔有的就很圆。
    以后到了陶器时代，许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。
    当人们开始纺线，又制出了圆形的石纺缍或陶纺缍。
　　古代人还发现圆的木头滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物的时候，就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走，这样当然比扛着走省劲得多。
　　大约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子--圆的木盘。大约在4000多年前，人们将圆的木盘固定在木架下，这就成了最初的车子。
　　会作圆，但不一定就懂得圆的性质。古代埃及人就认为：圆，是神赐给人的神圣图形。一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义："一中同长也"。意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得（约公元前330-前275年）给圆下定义要早100年。
圆周率，也就是圆周与直径的比值，是一个非常奇特的数。
    《周髀算经》上说"径一周三"，把圆周率看成3，这只是一个近似值。美索不达来亚人在作第一个轮子的时候，也只知道圆周率是3。
　　魏晋时期的刘徽于公元263年给《九章算术》作注。他发现"径一周三"只是圆内接正六边形周长和直径的比值。他创立了割圆术，认为圆内接正多连形边数无限增加时，周长就越逼近圆周长。他算到圆内接正3072边形的圆周率，π= 3927/1250。刘徽已经把极限的概念运用于解决实际的数学问题之中，这在世界数学史上也是一项重大的成就。
　　祖冲之（公元429-500年）在前人的计算基础上继续推算，求出圆周率在3.1415926与3.1415927之间，是世界上最早的七位小数精确值，他还用两个分数值来表示圆周率：22/7称为约率，355/113称为密率。
　　在欧洲，直到1000年后的十六世纪，德国人鄂图（公元1573年）和安托尼兹才得到这个数值。
　　现在有了电子计算机，圆周率已经算到了小数点后一千万以上了。

天文与数学
有这么一张画，下面是一只小船，上面是三个太阳。这是什么意思呢？这表示，坐了三天船。太阳升落一次，就是一天，所以一天又叫一日。日，是人们认识时间的基础。向上，将日积累为月、年、世纪；向下，将日分为时、分、秒。为了记载日数，原始人曾经用刀在树上刻记号，过一天刻上一道。
　　我国古代很早就发展了畜牧业和农业，因此很重视历法，天文学非常发达。而天文学只有借助于数学才能发展，因此，很早就开始了数学的研究。我国最早的一部数学著作《周髀算经》，是两千多年前成书的。它既是一部数学著作，也是一部天文学著作。它总结了古代劳动人民天文学和数学的成就。
　　我国古代曾经用干支记日。十干就是：甲、乙、丙、丁、戍、已、庚、辛、壬、癸。十二支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。将十干和十二支依次循环组合，就得甲子、乙丑、丙寅、丁卯……直到任戌、癸亥等六十个数（现在称六十甲子）。一个数代表一天，从甲子到癸亥，一共六十天，再从甲子开始，周而复始。例如公元前632年4月4日，爆发了著名的“城濮大战”，在《左传》上记载的是：“夏月己已。”
　　干支不仅可以记时和日，也可以用来记月和年。月，是从月亮来的。月亮，每晚有变化。不但月出月落时间上有变化，月亮形状也有变化；圆了又缺，缺了又圆。这是古代人观察得到的。从新月在天上出现，一天天过去了，月亮圆了又缺了，不见了，到下次新月又在天上出现，古代人根据刻的日子计算得到，一个月29天半。（现在知道：一个朔望月有29日12小时44分3秒，或29.53日）为了使一个月的日子是整数，以后又规定大月30天，小月29天。
　　《诗经》上说：“十月之交，朔日辛卯，日有食之，亦孔之丑。”根据我国天文学史家推算：公元前776年10月1日早上7-9点发生过日食，这天正是辛卯日。这里的“朔”字是我国第一次使用的，意思是整晚见不到月亮。
　　计年的方法比记月的多。如果开始计算的时候是收获季节，过了12个多月，地球绕太阳走了一圈，果子、谷物又成熟了，那就叫做一年。我国古代黄河流域的人和古代斯拉夫人都是这么计算的。埃及的尼罗河每年7月开始泛滥，古代埃及人就将两次泛滥之间的日子称为一年。美洲印第安人计算年以初雪为标志，澳洲人则根据雨季计算。我国黑龙江一带的居民，以吃大马哈鱼作为一年的标准。因为大马哈鱼定年定时由海里进入黑龙江。这些计算年的方法当然都是很原始，很不精确的。我们现在都知道，地球绕太阳一周，也就是一个太阳年，等于365天5小时48分46秒或365.242194天。如果根据月亮来算，一年12个月却只有354天或355天，平均差了10天21小时。一年差10天多，如果过上两三年就不得了，这对游牧民族和农业民族定季节就大大不利。于是每过两三年就增加一个月，叫做闰月，有闰月的年叫闰年。闰年一年就有384或385天。
　　我国早在四千年前的夏朝就开始制定历法，所以叫做夏历。在三千年前，就有十三月的名称了。到两千多年前，人们知道了一年等于12又7/19阴历的月，就采用“19年7闰”的方法设置闰月。夏历既是根据月亮（太阳），也根据太阳，所以是阴阳历的一种，两千多年前秦始皇的时候（公元前246年）就测得了一年平均是365又1/4天。它比阴历优越，只是平年和闰年，日数相差太大了。
　　现在世界通用的公历（阳历）也经过一个长期演变的过程。我们先看，公历每个月的日数是固定的：“七前单大，八后双大”。也就是说，一、三、五、七、八、十、腊月（十二月）是31天，四、六、九、十一月是30天，只有二月，平年28天，闰年29天。
　　二月平年为什么只有28天？原来，我们今天用的公历是从儒略历变来的。在公元前46年，罗马的统帅叫儒略·恺撒。据说他的生日在7月，为了表示他的伟大，于是他决定：将7月叫“儒略月”，连同所有单月都定为31天，双日定为30天，只有2月平年29天，闰年30天。因为2月是行刑的月份，所以减少一天。恺撒的继承人叫奥古斯都，他的生日在8月。伟大人物生日的那个月只有30天那怎么行？他决定将8月叫“奥古斯都月”，并且将8月、10月、12月都改为31天，9月、11月都改为30天。这一来不就多了一天吗？于是又从2月里拿出一天来。从此2月平年就只有28天，闰年只有29天了。
　　闰年为什么要多一天呢？前面我们说过，地球绕太阳一周要365天5小时48分46秒。为了方便，一年算365天。那么，多出的5小时多怎么办呢？人们想，每隔4年，就差不多可以凑上一天了，于是四年一闰，在闰年2月加一天，现在，公历年数，凡是能被4整除的，如1984、1988、1992、1996年都定为闰年的。可是，问题还没有完，因为四年实际上只多了23小时15分4秒，还差44分56秒。这个差数积累400年，又少了3天。也就是说，每隔400年要少设三个闰年才行。于是又规定，整百年的数必须能被400整除才算闰年，否则不算。例如1600、2000、2400才算闰年。1700、1800、1900年都不算闰年。这样，每400年差的三天就扣出来了。当然，还有一点点差距，但是那只要3000年以后再调整就行了。

“数学”这一名称的由来
古希腊人在数学中引进了名称，概念和自我思考，他们很早就开始猜测数学是如何产生的。虽然他们的猜测仅是匆匆记下，但他们几乎先占有了猜想这一思考领域。古希腊人随意记下的东西在１９世纪变成了大堆文章，而在２０世纪却变成了令人讨厌的陈辞滥调。　　　
在现存的资料中，希罗多德（Ｈｅｒｏｄｏｔｕｓ，公元前４８４－－４２５年）是第一个开始猜想的人。他只谈论了几何学，他对一般的数学概念也许不熟悉，但对土地测量的准确意思很敏感。作为一个人类学家和一个社会历史学家，希罗多德指出，古希腊的几何来自古埃及，在古埃及，由于一年一度的洪水淹没土地，为了租税的目的，人们经常需要重新丈量土地；他还说：希腊人从巴比伦人那里学会了日晷仪的使用，以及将一天分成１２个时辰。希罗多德的这一发现，受到了肯定和赞扬。认为普通几何学有一个辉煌开端的推测是肤浅的。
　柏拉图关心数学的各个方面，在他那充满奇妙幻想的神话故事《费德洛斯篇》中，他说：
　　故事发生在古埃及的洛克拉丁（区域），在那里住着一位老神仙，他的名字叫赛斯（Ｔｈｅｕｔｈ），对于赛斯来说，朱鹭是神鸟，他在朱鹭的帮助下发明了数，计算、几何学和天文学，还有棋类游戏等。
　　柏拉图常常充满了奇怪的幻想，原因是他不知道自己是否正亚里士多德最后终于用完全概念化的语言谈论数学了，即谈论统一的、有着自己发展目的的数学。在他的《形而上学》（Ｍｅｔａ－ｐｈｙｓｉｃｓ）第１卷第１章中，亚里士多德说：数学科学或数学艺术源于古埃及，因为在古埃及有一批祭司有空闲自觉地致力于数学研究。亚里士多德所说的是否是事实还值得怀疑，但这并不影响亚里士多德聪慧和敏锐的观察力。在亚里士多德的书中，提到古埃及仅仅只是为了解决关于以下问题的争论：１．存在为知识服务的知识，纯数学就是一个最佳的例子：２．知识的发展不是由于消费者购物和奢华的需要而产生的。亚里士多德这种“天真”的观点也许会遭到反对；但却驳不倒它，因为没有更令人信服的观点．
　　就整体来说，古希腊人企图创造两种“科学”的方法论，一种是实体论，而另一种是他们的数学。亚里士多德的逻辑方法大约是介于二者之间的，而亚里士多德自己认为，在一般的意义上讲他的方法无论如何只能是一种辅助方法。古希腊的实体论带有明显的巴门尼德的“存在”特征，也受到赫拉克利特“理性”的轻微影响，实体论的特征仅在以后的斯多葛派和其它希腊作品的翻译中才表现出来。数学作为一种有效的方法论远远地超越了实体论，但不知什么原因，数学的名字本身并不如“存在”和“理性”那样响亮和受到肯定。然而，数学名称的产生和出现，却反映了古希腊人某些富于创造的特性。下面我们将说明数学这一名词的来源。
　　“数学”一词是来自希腊语，它意味着某种‘已学会或被理解的东西’或“已获得的知识”，甚至意味着“可获的东西”，　“可学会的东西”，即“通过学习可获得的知识”，数学名称的这些意思似乎和梵文中的同根词意思相同。甚至伟大的辞典编辑人利特雷（Ｅ．Ｌｉｔｔｒｅ　也是当时杰出的古典学者），在他编辑的法语字典（１８７７年）中也收入了“数学”一词。牛津英语字典没有参照梵文。公元１０世纪的拜占庭希腊字典“Ｓｕｉｄａｓ”中，引出了“物理学”、“几何学”和“算术”的词条，但没有直接列出“数学”—词。　　
　　“数学”一词从表示一般的知识到专门表示数学专业，经历一个较长的过程，仅在亚里士多德时代，而不是在柏拉图时代，这一过程才完成。数学名称的专有化不仅在于其意义深远，而在于当时古希腊只有“诗歌”一词的专有化才能与数学名称的专有化相媲美。“诗歌”原来的意思是“已经制造或完成的某些东西”，“诗歌”一词的专有化在柏拉图时代就完成了。而不知是什么原因辞典编辑或涉及名词专有化的知识问题从来没有提到诗歌，也没有提到诗歌与数学名称专有化之间奇特的相似性。但数学名称的专有化确实受到人们的注意。
　　首先，亚里士多德提出，　“数学”一词的专门化使用是源于毕达哥拉斯的想法，但没有任何资料表明对于起源于爱奥尼亚的自然哲学有类似的思考。其次在爱奥尼亚人中，只有泰勒斯（公元前６４０？－－５４６年）在“纯”数学方面的成就是可信的，因为除了第欧根尼·拉尔修（Ｄｉｏｇｅｎｅｓ　Ｌａｅｒｔｉｕｓ）简短提到外，这一可信性还有一个较迟的而直接的数学来源，即来源于普罗克洛斯（Ｐｒｏｃｌｕｓ）对欧几里得的评注：但这一可信性不是来源于亚里士多德，尽管他知道泰勒斯是一个“自然哲学家”；也不是来源于早期的希罗多德，尽管他知道塞利斯是一个政治、军事战术方面的“爱好者”，甚至还能预报日蚀。以上这些可能有助于解释为什么在柏拉图的体系中，几乎没有爱奥尼亚的成份。赫拉克利特（公元前５００－－？年）有一段名言：“万物都在运动中，物无常往”，　“人们不可能两次落进同一条河里”。这段名言使柏拉图迷惑了，但赫拉克赖脱却没受到柏拉图给予巴门尼德那样的尊敬。巴门尼德的实体论，从方法论的角度讲，比起赫拉克赖脱的变化论，更是毕达哥拉斯数学的强有力的竞争对手。
　　对于毕达哥拉斯学派来说，数学是一种“生活的方式”。事实上，从公元２世纪的拉丁作家格利乌斯（Ｇｅｌｌｉｕｓ）和公元３世纪的希腊哲学家波菲利（Ｐｏｒｐｈｙｒｙ）以及公元４世纪的希腊哲学家扬布利科斯（Ｉａｍｂｌｉｃｈｕｓ）的某些证词中看出，似乎毕达哥拉斯学派对于成年人有一个“一般的学位课程”，其中有正式登记者和临时登记者。临时成员称为“旁听者”，正式成员称为“数学家”。
　　这里“数学家”仅仅表示一类成员，而并不是他们精通数学。毕达哥拉斯学派的精神经久不衰。对于那些被阿基米德神奇的发明所深深吸引的人来说，阿基米德是唯一的独特的数学家，从理论的地位讲，牛顿是一个数学家，尽管他也是半个物理学家，一般公众和新闻记者宁愿把爱因斯坦看作数学家，尽管他完全是物理学家。当罗吉尔·培根（Ｒｏｇｅｒ　Ｂａｃｏｎ，１２１４－－１２９２年）通过提倡接近科学的“实体论”，向他所在世纪提出挑战时，他正将科学放进了一个数学的大框架，尽管他在数学上的造诣是有限的，当笛卡儿（Ｄｅｓｃａｒｔｅｓ，１５９６－－１６５０年）还很年轻时就决心有所创新，于是他确定了“数学万能论”的名称和概念。然后莱布尼茨引用了非常类似的概念，并将其变成了以后产生的“符号”逻辑的基础，而２０世纪的“符号”逻辑变成了热门的数理逻辑。
　　在１８世纪，数学史的先驱作家蒙托克莱（Ｍｏｎｔｕｃｌａ）说，他已听说了关于古希腊人首先称数学为“一般知识”，这一事实有两种解释：一种解释是，数学本身优于其它知识领域；而另一种解释是，作为一般知识性的学科，数学在修辞学，辩证法，语法和伦理学等等之前就结构完整了。蒙托克莱接受了第二种解释。他不同意第一种解释，因为在普罗克洛斯关于欧几里得的评注中，或在任何古代资料中，都没有发现适合这种解释的确证。然而１９世纪的语源学家却倾向于第一种解释，而２０世纪的古典学者却又偏向第二种解释。但我们发现这两种解释并不矛盾，即很早就有了数学且数学的优越性是无与伦比的。

数的发展
计数方法的出现
　　一般说来，最古老的数学应当从人类把大小、形状和数的概念系统化方面所作的最初的也是最基本的努力算起。因此，有数的概念和懂得计数方法的原始人的出现可以看作是数学的第一起点！
　　数的概念和计数方法还在有文字记载以前就发展起来了。但是，关于这些数学的发展方式则多半来源于揣测。人类的在最原始的时代就有了数的意识，至少在为数不多的一些东西中增加几个或从中取出几个时，能够辨认其多寡。随着逐步进化，简单的计算成为了生产和生活中必不可少的活动。一个部落首领必须知道自己的部落有多少成员、有多少敌人；一个人需要知道他羊群里的羊是否少了。或许最早的计数方法是使用简单算筹以一一对应的原则来进行的。例如，当数羊的只数时，每有一只羊就扳一个指头。显然，古人也能够使用一些简单的方法计数，例如集攒小石子或小木棍；在土块或石头上刻道或在木头上刻槽；或在绳上打结，作为对应于为数不多的东西的数目的语言符合。以后，随着书写方式的改变，逐渐形成了一族代表这些数目的书写符号。
　　在语言计数的较早阶段，即使是同样的数字，但如果实际物体不同，表示方法也大不一样。例如，对于两只羊和两个人所用的语音词是不同的。例如，在英语中有team of horse表示共同拉车，拉犁的两匹马，yoke of oxen共扼的两头牛，brace of partridge一对鹧鸪，pair of shoes一双鞋。把2种共同性质加以抽象，并采用与任何具体事物都无关的某个语音来代表它，或许人类经过很长时间以后才实现的，虽然在今天看来，这是如此的简单。
计数方法的系统化
　　随着社会生产的发展，更为广泛的计数成为了生活和生产的必需。要完成这样复杂的计数就必须将计数的方法系统化。

　　古人采取的方法是这样的：把数目排列成便于考虑的基本群；群的大小多半以所用的匹配方式而定。也就是说：选取某一数b作为计数的基（base）也叫记数根（radix）或进位制（scale）并定出数目1，2，3……b的名称。这时，大于b的数目用已选定名称的数目的组合表示。
　　由于人的手指提供了一个方便的匹配工具，所以，人们大多选用10个数作为数基b，这是不奇怪的。例如，考虑我们现在用的数词，它们就是以10为基而形成的。1，2，……10这十个数，英语中均有基特殊的名称：one,two,…… ten。当我们数到十一时，我们说"eleven"11；语言学家告诉我们，它是从ein lifon导出的意思是剩下或比10多1。类似地，twelve（12）是从twe lif比10多2导出的；还有，thirteen13，即3和10；fourteen14，即4和10；一直到nineteen19，即9和10。然后有twenty20，即twe-tig，或两个10。Twenty-one（两个10和1）等等。
　　有证据表明：2，3和4也曾被当作原始的数基。例如，澳洲东部昆士兰的土人就是这么计数的："1，2，2和1，两个2，多"一些非洲矮人以1，2，3，4，5和6就是这么计教的："a,oa,ua,oa-oa,oa-oa-a, 和oa-oa-oa。"阿根廷火地岛的某部落，头几个数的名称，就是以3为基的；与此相似，南美的一些部落用4为基。
　　可以设想：五进制即以5为基的数系，是最初用得很广泛的计数法。到现在，一些南美的部落还是用手计数-"1，2，3，4，手，手和1"等等。西伯利亚的尤卡吉尔人用的是混合基计数法："1，2，3，3和1，5，两个3，多1个，两个4，10去1，10。"德国农民日历，一直到1800年还以5为数基。
　　也有证据表明，在有史以前12曾被用作数基，即采用十二进制，这主要与量度有关，使用这样的一个数基，可能是由于一年大约有12年朔望月；也可能是上于12能被许多整数整除。例如，1英尺是12英寸，古代的一英磅是12盎斯，1先令是12便士，1英寸是12英分，钟有12个小时，一年有12个月。Dozen（打），gross（箩）这些词在英语中还用作更高级的单位。（一打是12个，一箩是12打）。
　　二十进制即以20为基的数系，曾被广泛应用，它使用人想起人类的赤脚时代。这种计数法，曾经由美洲印第安人使用，并以其用于高度发达的玛雅（Maya）数系中而著称。法语中用quartevingt四个20代替huitante80，用quatre-vingt-dix四个20加10代替nonante90，从这里可以看出克尔特人以20为基数的痕迹。在盖尔人、丹麦人和威尔士人的语言中也能发现这种痕迹。格陵兰使用 "一个人"代表20，"两个人"代表40等等。英国人也常用score20这个字。
　　古代巴比伦人用六十进位制，即以60为基的数系，直到现在，当以分、秒为单位计量时间和角度时，六十进位制仍被广泛使用。
手指记数
　　在遥远的古代，除了口头上说的数以外，手指数（finger nrmber）在也曾被广泛应用。事实上，用手指和手的不同位置表示数，应该比使用数的符号或数的名称还早。例如，最早的表示1，2，3和4的书写符号是适当数目的竖的或横的笔划，它们坚起平伸的手指数目；digit（即手指）这个词也可以用来表示数字（从1到9），这也能追溯到同一来源。

　　有一段时间，手指数曾被扩展到包括出现在商业交易中的最大的数，并且在中世纪就已为国际通用。发展到后来，1，2，……和10，20……90这些数用左手来表示，100，200……900和1，000，……9，000，这些数用右手来表示。用这种方法，10，000以内的任何数都能用两只手表示。
　　手指数的样式，在文艺复兴时期的算术书上有记载。例如，用左手，部分屈折的小指表示1，部分屈折的小指和无名指表示2，部分屈折的小指、无名指和中指表示3，屈折中指和无名指表示4，屈折的中指表示5，屈折的无名指表示6，完全屈折的小指表示7，完全屈折的小指和无名指表示8，完全屈折的小指、无名指和中批表示9。
　　虽然手指数起源于很古老的年代，在今天，在非洲的某些原始种族中，在阿拉伯人中，在伊朗人中仍被采用。在北美和南美，某此本地的印第安人和爱斯基摩人的部落中仍然采用手指数。
记录工具的出现
　　数字的记录和长期保存离不开记录的工具。但是，记录工具的发明和改进是一个非常漫长的过程。我们现在常用的机器制造的纸张只有100多年的历史。以前的手工制作的纸是非常昂贵和难以得到的，即使是这种纸也是在十二世纪才传到欧洲，虽然聪明的中国古人早在一千多年前，就已经掌握了这一门技术。
　　但是，古人为了满足自己记录的需要，也想办法创造了一些工具。一种早期类似纸的书写材料，称为纸草片（Papyrus），是古代埃及人发明的，而且，公元前650年左右，已经传入希腊。它是一种叫做纸草（papu）的芦苇做的。把芦苇的茎切成一条条细长的薄片，并排合成一张，一层层地往上放，完全用水浸湿，再将水挤压出来，然后放到太阳地里晒干。也许由于植物中天然胶质，几层粘到一起了。在纸草片干了以后，再用圆的硬东西用力把它们压平衡，这样就能书写了。用纸草片打草稿，就是一小片，也要花不少钱。
　　另一种早期的书写材料是羊皮纸，是用动物（通常是羊和羊羔）皮做的。自然，这是稀有和难得的。更昂贵的是一种用牛犊皮做的仿羊皮纸，称做犊皮纸。事实上，羊皮纸已经是非常昂贵的了。以致中世纪出现一种习惯：洗去老羊皮手稿上的墨迹，然后再用。这样的手稿，现在被称做重写羊皮纸。有这样的情况：在若干年后，重写羊皮文件上最初写的原稿又模糊地出现了。一些有趣的"修复"就是这样做成的。
　　大约两千年以前，罗马人书写用品是涂上薄薄一层蜡的小木板和一支硬笔。在罗马帝国之前和罗马帝国时代，常用沙盘进行简单的计算和画几何图形。要推测更早的记录工具，也并不困难。因为，毫无疑问，人们很早就用石头和粘土做书写记录了。
印度和阿拉伯数系
　　我们现在常用的数字符号系统，是印度-阿拉伯数系。之所以用印度和阿拉伯命名，是因为它可能是印度人发明的，又由阿拉伯人传到西欧的。
　　目前，保存下来现在所用的数字符号的最早样品是印度的一些石柱上发现的，这些石柱是公元前250左右乌索库王建造的。至于其它在印度的早期样品，如果解释正确的话，则是从大约公元前100暝诳拷帜潜叩囊蛔缴系囊ざ辞缴峡滔碌募锹贾泻痛哟笤脊?00年在纳西克窑洞中刻下的一些碑文中发现。这些早期样本中既没有零，也没有采用位置记号。但是，考古学家推测，位置值（positional value）和零，必定是公元800年以前的某个时刻传到印度的，因为波斯数学家花拉子密在公元825年写的一本书中描述过这样一种完整的印度数系。
　　这些新的数字符号，最初是在"何时"和"如何"引进欧洲的，即使到了现在也还没有弄清：但是考古学家认为，这些符号十之八九是由地中海沿岸的商人和旅行家们带过来的。在十世纪西班牙书稿中就发现有这些符号，它们可能是由阿拉伯人传到西班牙的。阿拉伯人在公元711年侵入了这个半岛，直到1492年还在那里。通过花拉子密的专著的十二世纪拉丁文译本以及后来欧洲人的有关著作，这一完整的数系得到广泛的传播。
　　在十世纪以后的四百年中，提倡这数系的珠算家与算法家展开了竞争，到公元1500年左右，我们现有的计算规则获得优势。在这以后的一百年中，珠算家几乎被人遗忘，到了十八世纪在西欧就见不到算盘的踪迹了。算盘作为一个奇妙的东西再次出现于欧洲，是法国几何学家J·V·蓬斯菜（Poncelet）在拿破仑计伐俄国的战争中当了俘掳，被释放后，把一个算盘的样品带回了法国。
　　印度-阿拉伯数系中的数字符号曾多次变异，只是由于印刷业的发展，才开始稳定下来的。英语中的zero（零）这个词可能是从阿拉伯文sifr的拉丁化形式zephirum演变过来的；而阿拉伯文 sifr又是从印度文中表示"无"和"空"的词sunya翻译过来。阿拉伯文sifr在十三世纪由奈莫拉里乌斯（Nemorarius）引进到德国，写作cifra，由此我们得到现在的字cipher（零）。

人身上的尺子
我们每个人身上都携带着几把尺子。假如你“一拃”的长度为8厘米，量一下你课桌的长为7拃，则可知课桌长为56厘米。如果你每步长65厘米，你上学时，数一数你走了多少步，就能算出从你家到学校有多远。身高也是一把尺子。如果你的身高是150厘米，那么你抱住一棵大树，两手正好合拢，这棵树的一周的长度大约是150厘米。因为每个人两臂平伸，两手指尖之间的长度和身高大约是一样的。要是你想量树的高，影子也可以帮助你的。你只要量一量树的影子和自己的影子长度就可以了。因为树的高度＝树影长×身高÷人影长。这是为什么？等你学会比例以后就明白了。你若去游玩，要想知道前面的山距你有多远，可以请声音帮你量一量。声音每秒能走331米，那么你对着山喊一声，再看几秒可听到回声，用331乘听到回声的时间，再除以2就能算出来了。学会用你身上这几把尺子，对你计算一些问题是很有好处的。同时，在你的日常生活中，它也会为你提供方便的。

为什么电子计算机要用二进制
由于人的双手有十个手指，人类发明了十进位制记数法。然而，十进位制和电子计算机却没有天然的联系，所以在计算机的理论和应用中难以畅通无阻。究竟为什么十进位制和计算机没有天然的联系？和计算机联系最自然的记数方法又是什么呢?
    这要从计算机的工作原理说起。计算机的运行要靠电流，对于一个电路节点而言，电流通过的状态只有两个：通电和断电。计算机信息存储常用硬磁盘和软磁盘，对于磁盘上的每一个记录点而言，也只有两个状态：磁化和未磁化。近年来用光盘记录信息的做法也越来越普遍，光盘上海一个信息点的物理状态有两个：凹和凸，分别起着聚光和散光的作用。由此可见，计算机所使用的各种介质所能表现的都是两种状态，如果要记录十进位制的一位数，至少要有四个记录点（可有十六个信息状态），但此时又有六个信息状态闲置，这势必造成资源和资金的大量浪费。因此，十进位制不适合于作为计算机工作的数字进位制。那么该用什么样的进位制呢？人们从十进位制的发明中得到启示：既然每种介质都是具有两个状态的，最自然的进位制当然是二进位制。
    二进位制所需要的记数的基本符号只要两个，即0和1。可以用1表示通电，0表示断电；或1表示磁化，0表示未磁化；或1表示凹点，0表示凸点。总之，二进位制的一个数位正好对应计算机介质的一个信息记录点。用计算机科学的语言，二进位制的一个数位称为一个比特（bit），8个比特称为一个字节（byte）。
    二进位制在计算机内部使用是再自然不过的。但在人机交流上，二进位制有致命的弱点——数字的书写特别冗长。例如，十进位制的100000写成二进位制成为11000011010100000。为了解决这个问题，在计算机的理论和应用中还使用两种辅助的进位制——八进位制和十六进位制。二进位制的三个数位正好记为八进位制的一个数位，这样，数字长度就只有二进位制的三分之一，与十进位制记的数长度相差不多。例如，十进位制的100000写成八进位制就是303240。十六进位制的一个数位可以代表二进位制的四个数位，这样，一个字节正好是十六进位制的两个数位。十六进位制要求使用十六个不同的符号，除了0—9十个符号外，常用A、B、C、D、E、F六个符号分别代表（十进位制的）10、11、12、13、14、15。这样，十进位制的100000写成十六进位制就是186A0。
    二进位制和八进位制、二进位制和十六进位制之间的换算都十分简便，而采用八进位制和十六进位制又避免了数字冗长带来的不便，所以八进位制、十六进位制已成为人机交流中常用的记数法。

一、百年前的讲演
　　一个世纪前，德国数学家希尔伯特（1862—1943）在巴黎国际数学家大会上作了题为《数学问题》的著名讲演。这是载入数学史册的重要讲演。他在讲演的前言和结束语中，对数学的意义、源泉、发展过程及研究方法等发表了许多精辟的见解。而整个讲演的主体，则是他根据19世纪数学研究的成果和发展趋势而提出的23个数学问题，这些问题涉及现代数学的许多重要领域。100年来，这些问题一直激发着数学家们浓厚的研究兴趣。100年过去了，这些问题近一半已经解决或基本解决，还有些问题虽取得了重大进展，但尚未最后解决，如黎曼猜想、哥德巴赫猜想等。
　　100年过去了，现在回过头来看，对希尔伯特提出的23个问题，有不少评论。很多人认为，这些问题对推动20世纪数学的发展起了很大的作用，当然也有评论曾指出其不足之处，例如，这23个问题中未能包括拓朴学、微分几何等在20世纪成为前沿学科领域中的数学问题，除数学物理外很少涉及应用数学，等等，当然更不会想到20世纪电脑的大发展及其对数学的重大影响。20世纪数学的发展实际上远远超出了希尔伯特所预示的范围。
　　希尔伯特是19世纪和20世纪数学交界线上高耸着的三位伟大数学家之一，另两位是庞加莱（1854—1912）及克莱因（1849—1925）。他们的数学思想及对数学的贡献，既反射出19 世纪数学的光辉，也照耀着20世纪数学前进的道路。
　　希尔伯特是在上一次世纪交替之际作讲演的，现在又一个新的世纪开始了，再来看看他的讲演，其中一些话仍然适用，例如在讲演一开始，他说：“我们当中有谁不想揭开未来的帷幕，看一看在今后的世纪里我们这门科学发展的前景和奥秘呢？我们下一代的主要数学思潮将追求什么样的特殊目标？在广阔而丰富的数学思想领域，新世纪将会带来什么样的新方法和新成果？”他还说：“历史教导我们，科学的发展具有连续性。我们知道，每个时代都有它自己的问题，这些问题后来或者得以解决，或者因为无所裨益而被抛到一边并代之以新的问题。因为一个伟大时代的结束，不仅促使我们追溯过去，而且把我们的思想引向那未知的将来。”
　　20世纪无疑是一个数学的伟大时代，21世纪的数学将会更加辉煌。“每个时代都有它自己的问题”，20世纪来临时，希尔伯特提出了他认为是那个世纪的23个问题。这些问题对20 世纪数学的发展起了很大的推动作用，但20世纪数学的成就却远远超出他所提出的问题。那么21世纪的问题又是什么呢？希尔伯特在巴黎国际数学家大会上提出这些问题时，才38岁，但已经是当时举世公认的德高望重的领袖数学家之一。大家知道，2002年国际数学家大会将在中国北京召开，这是国际数学家大会第一次在发展中国家召开，那么在这新旧世纪交替之际，会不会有像希尔伯特这样具有崇高威望的人在会上提出他认为的21世纪的数学问题或是以其他的形式展望21世纪的数学？这些年来，已有不少数学家提出自己认为的21世纪的数学问题，但往往是“仁者见仁，智者见智”。
　　二、百年前讲演的启示
　　对希尔伯特的23个问题，不在这里介绍了，因为它超越了中学数学的范围。但百年前，希尔伯特演讲中对数学的一些见解却是非常深刻的，百年过去了，重读他的演讲，依然得到很多启示。在这里我只想讲一讲对他演讲中一段话的粗浅认识。
　　从17世纪60年代微积分发明以来，数学得到了极大的发展，分支也愈来愈多。开始时一些大数学家对各个分支都懂，并且做出了很大的贡献。但后来数学的分支愈分愈细，全面懂得各个分支的数学家愈来愈少，到19世纪末，希尔伯特作讲演时，已经是这种情况。于是在讲演中，他说了这样一段话：“然而，我们不禁要问，随着数学知识的不断扩展，单个的研究者想要了解这些知识的所有部门岂不是变得不可能了吗？为了回答这个问题，我想指出：数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边，数学科学发展的这种特点是根深蒂固的。因此，对于个别的数学工作者来说，只要掌握了这些有力的工具和简单的方法，他就有可能在数学的各个分支中比其他科学更容易地找到前进的道路。”100年过去了，数学发展得更为广阔与深入，分支愈来愈多，现在数学已有60个二级学科、400多个三级学科，所以希尔伯特的这段话现在显得更为重要。不仅如此，希尔伯特的这段话实际上讲的是数学发展的历史过程，十分深刻地揭示了数学发展是一个新陈代谢、吐故纳新的过程，是一些新的有力的工具和更简单的方法的发现，与一些陈旧的、复杂的东西被抛弃的过程，是“高级”的数学替代“低级”的数学的过程，而“数学科学发展的这种特点是根深蒂固的”。事实上，在数学的历史中，一些新的有力的工具、更简单的方法的发现，往往标志着一个或多个数学分支的产生，标志着一些老的分支的衰落甚至结束。
　　回顾一下我们从小开始学习数学的过程，就是在重复这个数学发展的过程。一些数学虽然后来被更有力的工具和更简单的方法所产生的新的数学所替代了，即“低级”的被“高级 ”的所替代了，但在人们一生学习数学的过程中，却不能只学习“高级”的，而完全不学习 “低级”的，完全省略掉学习“低级”的过程。这是因为人们随着年龄的不断增长，学习与他的年龄与智力相当的数学才是最佳选择。学习数学是一个循序渐进的过程，没有“低级” 的数学打好基础，很难理解与学习好“高级”的数学。
　　以下我们从希尔伯特讲演中这一段精辟的论述的角度来认识我们的中小学的数学课程。我只是从数学发展的历史的角度来讨论问题，为大家从数学教育的角度来讨论问题作参考。但我必须强调的是：从数学发展的历史的角度来考虑问题与从数学教育的角度来考虑问题虽有联系，但两者是不一样的。
　　三、算术与代数
　　人类有数的概念，与人类开始用火一样古老，大约在30万年前就有了，但是有文字记载的数到公元前3400年左右才出现，至于数的四则运算则更晚。在我国，《九章算术》是古代数学最重要的著作，是从先秦到西汉中叶的众多学者不断修改、补充而成的一部数学著作。在这本书中有分数的四则运算法则、比例算法、盈不足术、解三元线性代数方程组、正负数、开方以及一些计算几何图形的面积与体积的方法等。在西方，也或迟或早地出现了这些内容，而这些内容包括我们从小学一直到中学所学习“算术”课程的全部内容。也就是说人类经过了几千年才逐步弄明白建立起来的“算术”的内容，现在每个人在童年时代花几年就全部学会了。对于“算术”来讲，“真正的进展”是由于“更有力的工具和更简单的方法的发现”，这个工具与方法是“数字符号化”，从而产生了另一门数学“代数”，即现在中学中的“代数”课程的内容。在我国，约13世纪五六十年代的著作中，有“天元术”和“四元术 ”，也就是相当于现在用x,y,z,w来表述四个未知数。有了这些“元”，也就可以解一些代数方程与联立线性代数方程组了。西方彻底完成数字符号化是在16世纪。现在中学学习的“ 代数”的内容包括：一元二次方程的解，多元（一般为二元、三元，至多四元）联立方程组的解，等等。当然在“数字符号化”之前，一元二次方程的解、多元联立方程组的解已经出现，例如我国古代已经有一些解一般数字系数的代数方程的“算法程序”，但这些都是用文字来表达的，直到“数字符号化”之后，才出现了现在中学代数内容的表达形式。
　　由“数字符号化”而产生的中学“代数”的内容，的的确确是“数学中真正的进展”。 “代数”的确是“更有力的工具和更简单的方法”，“算术”顾名思义，可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数字符号化”。人类从“算术 ”走向“代数”经历了1000多年。但在中学的课程中，却只花短短的几年，就可以全部学会这些内容。
　　回忆我在童年时代，在小学学习“算术”课程时，感到很难。例如求解“鸡兔同笼”题，当时老师讲的求解的方法，现在已完全记不得了，留下的印象是感到很难，而且纳闷的是：鸡与兔为何要关在一个笼子里？既然数得清有多少个头及多少只脚，为何数不清有多少只鸡与多少只兔？等到初中时学习了“代数”课程，才恍然大悟，这不过是二元一次联立代数方程组，解方程组十分简单方便，这不仅可以用来解“鸡兔同笼”，即使“鸭狗同室”的问题一样可以解。因此，“代数”显然比“算术”来得“高级”，这的确是“更有力的工具和更简单的方法”，而这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论，并把“陈旧的、复杂的东西抛到一边”，也就是从“代数”的角度来理解“算术”，可以理解得更深刻，且可以把 “算术”中一些复杂的、处理个别问题的方法抛到一边去。
　　在这里，我要重复说一遍，尽管中学的“代数”比小学的“算术”来得“高级”，是“ 更有力的工具与更简单的方法”，但并不意味着小学的“算术”就可以不必学了，因为：（ 1）“算术”中的一些内容不能完全被“代数”所替代，如四则运算等；（2）即使能被替代的内容，适当地学习一些，有利于对“代数”内容的认识与理解；（3）从教育学的角度考虑，这里有循序渐进的问题，有学生不同年龄段的接受能力的问题，等等。
　　作为中学“代数”中的一个重要内容是解多元一次联立方程组。在中学“代数”的教材中，一般着重讲二元或三元一次联立方程组，所用的方法往往是消元法。但是，如果变元为四个或更多时，就得另想办法来建立起多元一次联立方程组的理论。经过很多年的努力，矩阵的想法产生了，这不但给出了多元一次联立代数方程组的一般理论，而且由此建立起一门新的学科——“线性代数”。这是又一次“数学中真正的进展”，由于“更有力的工具和更简单的方法”即“矩阵”的发现，不仅对多元一次联立代数方程组的理解更为清楚，更为深刻，而且由于有了统一处理的方法，就可以把个别地处理方程组的方法“抛到一边”。
　　中学“代数”中的另一个重要内容是解一元二次方程，在古代，例如《九章算术》中已有解一般一元二次方程的方法，后来有很多的发展。直到19世纪，为了解决什么样的特殊的代数方程能用根式来求解这个问题，伽罗瓦（1811—1832）建立起“群”的概念。这就意味着现代代数理论的产生，这是又一次“数学中真正的进展”。有了“群”以及后来发展起来的现代代数理论，使人们可以更清楚、更深刻地理解以往高次代数方程求根式解的问题。
数学历史的启示（下）
龚昇
　　四、几何与三角
　　人类在很早的时候，就有各种计算面积与体积的公式或经验，也得到了不少几何定理，例如著名的毕达哥拉斯定理等。但在古代，几何的代表作则是欧几里得的《原本》。现在中学里学习的“平面几何”与“立体几何”的基本内容，是2300年前《原本》已有的内容。从《原本》问世以来，几何领域一直是它的一统天下，这种现象持续了1000多年。“真正的进展”是由笛卡儿与费马建立起的“解析几何”，其基本思想是在平面上引进“坐标”，使得平面上的点与实数对（x,y）之间建立起一一对应的关系，于是几何问题就可以用代数形式表达，而几何问题的求解就归化为代数问题的求解了。笛卡儿甚至还提出过一个大胆的计划，即：
　　任何问题→数学问题→代数问题→方程求解。
　　“解析几何”的产生可以理解为变量数学的开始，它为微积分的产生创造了条件。由于引进了坐标，几何问题归结为代数问题，于是可以用一些代数的工具与方法来处理，从而使几何问题得解，这种思想与方法，使整个数学面目为之一新。
　　既然“解析几何”是“数学中一步真正的进展”，“解析几何”比起“平面几何”与“ 立体几何”都来得高级，那么“平面几何”与“立体几何”是不是就不要学习了，直接学习 “解析几何”就可以了呢？从教育学的观点，这显然是不对的。我们所说的“把陈旧的、复杂的东西抛到一边”，是指当“解析几何”产生之后，那种用原来的方法来创造与发明几何定理的时代已经过去了，虽然这种做法延续了1000多年，但这并不意味着可以将“平面几何 ”与“立体几何”“抛到一边”。在中学必须学习“平面几何”与“立体几何”至少有以下几点理由：（1）可以认识人们生活的三维欧氏空间中一些最基本的几何关系与性质；（2）不学习“平面几何”与“立体几何”，就无法学习“解析几何”与“微积分”；（3）“平面几何”与“立体几何”是训练学生严格逻辑思维的最好的方法之一，这种训练比上一门“ 形式逻辑”课更为有效，它对学生终生有用。当然中学“平面几何”与“立体几何”应讲授多少内容是一个值得探讨的问题，完全取消是绝对错误的，但做过多的几何难题似乎也是不必要的。
　　古典几何的另一个“真正的进展”，则是“非欧几何”的产生，这是数学史上的划时代贡献。
　　如前所述，欧几里得的《原本》从诞生直到18世纪末，在几何领域，它是一统天下，几乎成为“科学圣经”。但在同时，人们多认为五条公设中的前四条简洁、明了，无可非议，而对第五公设，即“若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交”，则感到它不像一条公设，而更像一条定理，即可以从其他公设、公理及定理中推导出来。
　　2000多年来，不知有多少数学家致力于用其他的公设、公理及定理来证明第五公设，甚至有人为之付出了整个一生，但还是以失败告终。直到19世纪，由高斯、波尔约及罗巴切夫斯基创立了“非欧几何学”，才结束了这件公案。“非欧几何学”一反过去人们试图从其他公设、公理及定理来证明第五公设的做法，认为第五公设不可能从其他的公设、公理及定理中推导出来，而发展起第五公设不成立的新的几何学。高斯称之为“非欧几里得几何学”，简称“非欧几何学”。1854年黎曼在“非欧几何学”的思想基础上建立了更为广泛的几何学，即“黎曼几何学”，开创了几何学甚至整个数学的新纪元，而其发展更是一日千里。众所周知，爱因斯坦的相对论正是以“黎曼几何”作为其数学工具的。
　　经历了2000多年的思索与努力，“非欧几何”的产生的确是“数学中一步真正的进展” ，把已有的理论——欧几里得几何学，从更高、更深的角度去理解，而把那些陈旧的思想— —试图用其他公设、公理及定理来证明第五公设的一切做法“抛到一边”。
　　在中学数学课程中，还有一门叫“三角”。这门课程，主要讨论六个三角函数的相互关系及计算。人类对三角学的研究可以追溯到公元1～2世纪。当时的天文学研究，已经为三角学奠定了基础，例如已经有了类似于正弦及正弦的表等。经过了几百年的努力，到9～10世纪，三角函数的研究已系统化，到了13世纪，球面三角也基本完成。因此，现在中学学习的 “三角学”，其内容基本上在千年前就形成了。
　　人们从更高、更深的角度来认识“三角学”，是由于复数的引入。人们对复数的思考由来已久，例如对方程x2＋1=0的根的思考，但人们认真地将虚数=i引入数学则是16世纪的事了。之后欧拉建立了著名的欧拉公式：eiθ=cosθ＋isinθ，使得三角学中的问题都可以化归为复数来讨论，于是三角学中一大批问题得以轻松地解决。有了复数与欧拉公式，使人们对三角学的已有理论的理解更为深刻，并可以把一些原始的、复杂的处理三角学的方法与工具“抛到一边”。
　　我还得重复一遍，尽管复数与欧拉公式比三角学来得“高级”，但并不意味着中学课程可以不学习三角学。事实上，三角学是一门实用的数学分支，在很多其他学科中都有用。
　　五、微积分
　　“微积分”实在是太重要了，不论你将来从事什么工作，理、工、医、农、文、商等等，都得学“微积分”。可以这样说，中学课程中学习的各门数学，从某种意义上讲正是为学习微积分作准备的，一切大学的数学课程也都是以微积分为基础的。
　　微积分是从四个方面的问题来的：（1）求曲线的长度、区域的面积、物体的体积等；（2）求曲线的切线；（3）求运动物体的速度；（4）求一些问题的极大、极小值。
　　当然，这些问题在一些简单的情形下，可以不用微积分，但当情形略为复杂一些时，则非用微积分不可。而反过来，微积分的诞生，不仅能解决上述这些问题，而且其用处大大地超出了这些问题。
　　微积分的一些原始的思想，可以追溯到很远。例如，公元3世纪诞生的刘徽的“割圆术 ”就孕育着一些朴素的微积分的想法。但是，微积分的诞生是在牛顿及莱布尼茨建立了“微积分的基本定理”，即指出微分与积分互为逆运算之后。计算积分不再要像以前那样想一些特殊的办法进行逐个处理，而可以统一处理了，从而使微积分不再成为几何学的一部分，而成为一门独立的学科。
　　微积分的建立不仅使得数学的面貌彻底改变，而且将微积分应用到其他学科，使整个自然科学也彻底地改变了面貌。
　　牛顿与莱布尼茨的微积分基本定理的建立，促使了微积分的产生，的确是“数学中一步真正的进展”，的确是“更有力的工具和更简单的方法的发现”。这不仅有助于我们对已有理论的理解，如使我们对前面提到的四个问题原有的理解，更为清楚与深刻，而且的确可以把以往“陈旧的、复杂的东西抛到一边”，例如，对个别曲线用一些特殊的方法来计算其面积与切线的方法都可以抛弃了。
　　六、几点启示
　　（1）一门学科的产生往往有多方面的因素，我在这里只说了一个因素，而这个因素在我看来是主要因素之一。（2）一门学科对其他学科的影响也是多方面的，例如，中学的“ 代数”课程，从方程式的角度导致了“线性代数”及“抽象代数”的产生，但从排列组合的角度导致了组合数学的产生；又例如，“非欧几何”的产生，引发了“几何基础”的深入讨论等。
　　从上面的论述中，我们已经发现，导致“数学中一步真正的进展”的“更有力的工具和更简单的方法”往往是由于看来是十分简单明了的想法。如从算术走向代数，关键的一步是 “数字符号化”，即将数字用a,b,c，…x,y,z来表示。但正是这简单的一步，引发了“数学中一步真正的进展”，而人们认识到“数字符号化”，却花了上千年的时间。同样，由“平面几何”“立体几何”走向“解析几何”，关键的一步是“引进坐标”，即将平面的点与数一一对应。现在看来这一步也是十分自然的，人们是乐于接受的，但正是这样看似简单的一步，引发了“数学中一步真正的进展”。对于其他的情形，也是一样，不在此一一重复了。
　　仔细想想，“数字符号化”比算术中的一道难题可能更易于理解，“数字符号化”之后，解算术难题则轻而易举。同样“引入坐标”，比“平面几何”中的一道难题的解可能更易于理解，“引入坐标”之后，解几何难题则比较容易了。当然，“代数”比“算术”来得“ 高级”，“解析几何”比“平面几何”来得“高级”，可“高级”的反而容易，“低级”的反而难，这就是“高”“低”与“难”“易”之间的辩证关系。而更令人深思的是：重要的是要有创新的思想，“数字符号化”“引入坐标”这些看似简单的想法，却是创新思想。有了这种创新思想，才会有“数学中一步真正的进展”，否则即使是解决“算术”难题的能人，是做“平面几何”难题的高手，如果无这种创新思想，那么难题做得再多，也不可能引发 “数学中一步真正的进展”。当然，这种创新思想来之不易，往往要经过几百年乃至千年的积累才能形成。经过了长期的积累，走向成熟，就会有数学大师总结与提升前人的成果，进而提出这种创新的思想，这就是数学的历史。
　　当然，我这样说，并不是否定做一些算术或几何的难题。从培养学生学习数学的能力来看，让学生花太多的时间来做太多的难题当然不必要，但适当地让学生做一些数学难题还是必要的，对培养学生的创新思想是有好处的，因为创新思想不是一天能培养出来的，要日积月累，有一个从量变到质变的过程。看看历史上的那些大数学家，哪一位没有做过难题？从教学的角度来看，问题是要适量。至于中小学教师，为了提高教学质量，对一些难题进行研究、分析与探讨，那是理所当然的事。从因材施教、提高同学们学习数学的兴趣与能力的角度出发，来举办一些数学活动，如“数学竞赛”等有意义的活动更是必要的了。从数学发展的历史角度与从数学教育的角度来考虑问题终究是不一样的。
　　如果以上算作数学历史的一点启示，那么以下所说的也可以算作数学历史的另一点启示。
　　从上述的叙述中还可以看到，数学的历史也像战争史。“一将功成万骨枯”！想想从欧几里得的《原本》诞生之后，几千年来，不知有多少数学家前仆后继地试图用其他公设、公理及定理来证明第五公设。这些人都失败了，他们都默默无闻，数学史上没有记载他们的名字。但正是由于千千万万个无名的数学家的失败，才导致了高斯、波尔约、罗巴切夫斯基从另外的角度来处理这个问题。他们成功了，他们成了英雄，但他们的成功是在几千年来千千万万个数学家失败的基础上获得的，所以可以说是“一将功成万骨枯”！
　　同样自从二次、三次及四次一元代数方程式得到根式解后，几百年来，也不知有多少数学家前仆后继地试图找到五次及更高次一元代数方程式的根式解，但他们都失败了。这些人在数学史上默默无闻，谁也不会记起他们的名字，但他们的牺牲，导致了拉格朗日、阿贝尔与伽罗瓦从新的角度来考察这个问题。他们成功了，名垂数学史，但他们的成功也是在几百年来无数默默无闻的数学家失败的基础上获得的。这也可说是“一将功成万骨枯”！
　　这样的例子还可以举出很多。
　　这些数学的历史，给我们以深刻的启示：我们应该如何来选择数学问题，如何来思考与处理数学问题，才能尽量避免不必要的牺牲，获得成功。
　　百年前，希尔伯特在他那著名的讲演中，用以下这段话作为结束语：“数学的有机统一，是这门科学固有的特点，因为它是一切精确自然科学知识的基础，为了圆满实现这个崇高的目标，让新世纪给这门科学带来天才的大师和无数热诚的信徒吧！”我深信，21世纪一定会“给这门科学带来天才的大师”，而且其中肯定有许多来自我们中国！

新课堂应体现“六性”
　      一、生活性。新课程课堂教学注重从学生已有经验出发，通过创设丰富的学习情景，沟通学科知识与生活的联系，突出学科知识生活化，激发学生学习兴趣，使学生感受到学习的知识就在身边的生活中，享受学习的乐趣。　
    二、主体性。新课程课堂教学，突出了学生的主体地位，在课堂中让学生主动参与，积极思考，允许学生反思与质疑，提出自己的想法和见解，使学生学会倾听，学会提问，学会思考，学会分析问题与解决问题。　
    三、活动性。新课程课堂教学，改变学生的学习方式，倡导自主、合作、探究性学习。课堂教学要注意创设情景，组织学习活动，使学生在活动中发现与提出问题，在活动中解决问题，在活动中动手操作、大胆创新。引导师生互动、生生互动，突出学习过程的活动性。
    四、开放性。新课程课堂教学，改变了过去封闭的教学模式，注意教学设计的开放性。通过开放性问题的设计，使学生动起来，课堂活起来，培养学生的发散思维能力和创新思维能力。当然，开放性教学对教师提出了更高的要求，重点是要提高教师的课堂应变能力，使课堂活而有序。　
    五、多样性。新课程课堂教学，突出了课堂教学方法的灵活性，教学评价的多样性。要引导学生进行自我评价、学生互评、教师评价有机结合。教师要善于倾听学生的发言，捕捉信息，及时反馈与评价，提高课堂教学效率。　
   六、发展性。新课程课堂教学，以学生的发展为本，教师要立足学生的发展及时发现课堂教学中的亮点，让学生闪烁思维的火花和智慧的光芒。同时要关注学生的发展状态，抓住有利时机，因势利导，发展学生的思维。