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了解阿基米德和阿波罗尼奥斯的人，对后代杰出人物的成就不会再那么钦佩了。 ——莱布尼茨 一、希腊数学的成就 亚历山大希腊文明虽持续到公元640年最终被回教徒摧毁时为止，但由于其创造的成就越来越少，所以这个文明在公元头几个世纪里显然已开始衰落了。 人们把数学成为抽象化科学归功于希腊人。这一重大贡献有其不可估量的意义和价值，因为同一个抽象的三角形或代数方程能应用于几百种不同的自然现象，正是数学的力量和奥秘之所在。 希腊人坚持要演绎证明，这也确是了不起的一步。在世界上的几百种文明里，有的也的确搞出了一种粗陋的算术和几何，但只有希腊人才想到要完全用演绎推理来证明结论。这种决心是同人类在其他一切领域里的习惯做法完全违背的。它实际上几乎像件不合理的事，因为人类凭经验、归纳、类比和实验已经获得了那么多高度可靠的知识。但希腊人需要真理，并觉得只有用毋庸置疑的演绎推理法才能获得真理。他们又认识到要获得真理就必须从真理出发，并且要保证不把靠不住的事实当作已知。因此他们把所有公理明确说出，并且在他们的著作中采取一开头就陈述公理的做法，使之能马上进行批判考察。 除了想出用这种非凡的方案来证实可靠的知识以外，希腊人还表现出一种为创新者所少见的细致精神。他们认识到概念必须彼此没有矛盾，以及不能用不存在的图形（如正十面体）来搞出前后一致的逻辑结构，这一切显出他们几乎有超人的并且肯定是空前的思想深度。现在我们知道他们在研究一个概念以前证明其存在的做法，是靠演示它能够用尺规构造出来的。 希腊人在发现定理与作出证明方面的能力之强，从欧几里得《几何原本》含467个命题以及阿波罗尼奥斯《圆锥曲线》含487个命题，而且所有这一切都是从《几何原本》里的10个公理推出这一事实，可以得到证明。（逻辑结构浑然一体可能还是次要的。）如果同样这些结果是从许多组不同的（虽然是同样可靠的）公理中获得的，那么它们就远远不如在这批知识那样易于处理和易于为人所接受。 希腊人在数学内容上的贡献是巨大的：平面与立体几何、平面与球面三角、数论萌芽、巴比伦和埃及的算术与代数的推广，特别是鉴于当时从事这项工作的人数不多而且广泛活动的时间也不过几个世纪。在这些贡献之外还必须加上几何代数法，这项工作只要能承认无理数并把内容翻译成符号式子，就可以变成相当一部分初等代数的基础。而他们用以处理曲边图形的穷竭法，则是微积分的萌芽。 希腊人对自然界的看法也是对后世人同样重要的一种贡献与启发。他们把数学等同于物理世界的实质，并在数学里看到关于宇宙结构和设计的最终真理。他们建立了数学和研究自然真理之间的联盟，这在以后便成为现代科学的基础本身。其次，他们把对自然的合理化认识推进到足够深远的程度，使他们能够牢固树立一种信念，感到宇宙确实是按照数学规律设计的，是有条理、有规律并且能被人所认识的。 他们也并不忽视数学在美学上的意义。数学在希腊时代被人珍视为一门艺术，他们在其中认识到美、和谐、简单、明确以及秩序。算术、几何与天文被人看作是心智的艺术与灵魂的音乐。帕拉图喜爱几何；亚里士多德不愿把数学和美学分开，因他认为秩序和对称是美的重要因素，而这两者他能在数学里找到。在希腊人的思想里，对合理的、美的乃至对道德上的关心都是分不开的。他们反复说过球是一切形体中最美的，因而是神圣的、善的。圆也和球一样从美学观点上为人所喜爱，因此那些代表天上万劫不变的永恒秩序的天体，自然要以圆为它们的运动路径，而在不完善的地上，则以直线运动居多。无疑是由于这门学科在美学上的吸引力，才使得希腊数学家把有些项目探索到超出为理解自然所必需的程度。 二、希腊数学的局限性 第一个局限性是他们不能掌握无理数概念。这不仅限制了算术和代数，而且使他们转向并强调几何。希腊人坚持要有准确的概念和证明这个美德，从数学的创造发明来说却是个缺点。 随着数学范围的扩大，用几何方法就使证明越来越复杂，特别是在立体几何方面。而且即使在比较简单的证明里也缺乏一般性的方法，而这在我们有了解析几何与微积分后是很清楚的事。 希腊人不仅把数学主要限制于几何，甚至把几何只限于那些能用直线和圆作出的图形。帕普斯对曲线的分类说明希腊人要把曲线限制在一定范围内：平面曲线是从直线和圆作出的那些曲线；圆锥曲线被他们称为立体曲线，因它们是从圆锥产生的；割圆线、蚌线、蔓叶线和螺线这些曲线叫机械曲线，而不算几何曲线。同样，他们把问题分为平面的、立体的和曲线的三类。帕普斯强调用平面或立体轨迹解问题的重要性，因在那种情形下就可给出存在实解的准则。 为什么希腊人要把他们的几何限于直线和圆以及那些易于从两者得出的曲线呢？一个理由是这样可以解决证明一个几何图形的存在问题。希腊人特别是亚里士多德曾指出必须保证所引用的概念不自相矛盾，必须证明它们存在。为解决这问题，希腊人至少从原则上只承认那些可以作图的概念是存在的。直线和圆是在公设里承认它们是可作的，但其它图形则必须从圆和直线来作出。 用作图来证明存在的做法并未推行到三维图形上。这里希腊人只是承认了直观上看来清楚的事实，例如球、圆柱和圆锥等旋转形体的存在。对圆锥曲线的承认颇为勉强。这一点笛卡尔在其《几何》（La Géométrie）第二篇的开头处曾指出：“诚然，圆锥曲线在古代几何里从没有正式获得承认……” 第二个原因来自柏拉图，他认为观念要清楚才能加以接受。希腊人虽未明确定义整数但觉得整数观念本身可以当作一个清楚的概念来接受，而几何图形则应该搞得明确些。直线、圆以及由它们得出的图形是清楚的，而用机械工具（尺规之外）作出的图形则不然，所以是不容许的。把图形只限于那种清楚的，这就产生出简单、秩序井然、和谐与美妙的几何学。 由于坚持要把他们的几何学搞得统一、完整和简单，由于把抽象思维同实用分开，所以古典希腊几何成为一门成就有限的学科。它狭隘了人们的视界，使他们的头脑接受不到新思想和新方法。它的内部存在着使它自己死亡的种子。如果没有亚历山大文化开阔了希腊数学家的眼界，那么它那狭隘的活动领域、局促的观点、在美学上的限制，很可能使它的的发展受到限制。 希腊人的哲学思想又从另一方面限制了希腊数学的发展。在整个古典时期，他们相信数学事实不是人创造的，而是先于人而存在的。人只要肯定这些事实并记录下来即可。柏拉图在其《特埃特图斯篇Theaetetus》一书中把探索知识比作在一个鸟族馆中捕鸟。那些鸟是已经被人网起来的，人只要进去抓就是了。 希腊人未能领悟无穷大、无穷小和无穷步骤，对无穷的空间望而生畏。毕达哥拉斯学派把善与恶同有限与无限联系起来。亚里士多德说无穷是不完美的、未完成的，因而是不可思议的；它是不成形的、混乱的。只有那些限定而分明的东西才有其本性可言。从欧几里得对直线和平行公理的叙述可看出他不愿涉及无穷大。他并不谈伸向无穷远的两根直线也不直接给出两平行直线存在的条件，只提出两直线相交于某有限点处的条件。 在点与直线的关系以及离散与连续的关系里要涉及无穷小概念，而芝诺的悖论很可能使希腊人不敢触及这一概念。由于他们怕无穷步骤，所以他们也与极限步骤失之交臂。他们用一正多边形来接近圆时满足于使其相差小于任一给定的量，但总留下一些量。因此这一步骤在直观上仍很清楚，而极限步骤则要用无穷小。 三、希腊人留给后代的问题 由于他们未能把无理量接受为数，于是不可公度比是否可指定其为一数而用算术来处理就成为问题。希腊人甚至对整数对整数之比都没有奠立逻辑基础，他们只提供颇为含糊的定义。这样希腊人就留下两门截然不同的、发展得不平衡的数学。一门是严格的、演绎式的、有系统的几何学，一门是凭直观的、经验的算术及其到代数的推广。直到17和18世纪情形依然如此，那时代数和微积分已经广为流行了，然而所谓严格数学仍然是指几何。 欧几里得几何限于能用尺规作出的概念，使数学有待完成两项任务。第一项任务是特殊的，即化圆为方、三等分角、立方倍积。第二项任务是把存在性的准则放宽。以作图作为证明存在性的一种方法，对于那些应该为数学所考虑的概念来说是限制太严了。为使其内部臻于完善而对研究具体世界更为有用，数学必须在证明存在性问题上不受狭隘的几何方法的束缚。 许多希腊人想用其他公理来代替平行公理，或根据其余九个公理来证明它。托勒密曾对此写了一篇论文。普罗克洛斯在评注欧几里得著作时提到了托勒密证明平行公设的尝试，并且他自己也想作出证明。辛普利修斯提到另外一些研究过这一问题的人，并进一步指出“古代”人们反对使用平行公设。 同平行公设问题密切相关的是物理空间是否为无限的问题。欧几里得在公设2中假定一直线段可按需要随意延长，他用了这一事实，但只为得出一个较大的长度。海伦对这些定理给出新的证明，避免了延长直线的做法，以堵反对者否认有足够空间可供延长的口实。亚里士多德考虑过空间是否为无限的问题，并列举六点非数学上的理由来论证其为有限。他预料到这个问题是难处理的。 留给后代的另一个问题是计算面积和体积。穷竭法至少在两方面是有缺点的。第一是对每个问题都需要想出一种巧妙的方案来逼近所论的面积或体积，使人感到有智穷虑竭之时。其次是希腊人所取得的结果通常仅仅是指出所要求的面积或体积等于某一较简图形的面积或体积，而后者的数值仍是未知的。但在应用上所需要的恰恰是数量上的知识。 四、希腊数学的衰替 大约从公元的年代开始，希腊数学的活动能力逐渐衰退了。在这新时代里，托勒密和丢番图的工作是唯一重要的贡献。帕普斯和普罗克洛斯这两大评注家是值得注意的，但他们只不过是写了这个时代最后的一页。 第一次灾殃是罗马人的来临，它们在数学史上的全部作用是一种破坏因素。罗马的数学不值一提。罗马人活跃于历史舞台上的时期大约是从公元前750年到公元476年，至少从公元前200年起罗马人就同希腊人有密切接触。但在这整个1100年之间没有出现过一个罗马数学家。 “数学”一词在罗马人那里的名声是不好的，因为他们称占星术士为数学家。罗马皇帝戴克里先（Diocletian，245—316）把几何区别于数学。前者是要学习并应用于公众事务的，但“数学方术”（意即占星术）则被视为不法而完全禁止。禁止占星术的罗马法律“数学和恶行禁典”在中世纪的欧洲仍被援用。但罗马皇帝还是在宫廷里供养占星术士，以期万一他们的预言能够灵验。罗马人对数学的态度用西塞罗的话来说：“希腊人对几何学家尊崇备至，所以他们的哪一项工作都没有像数学那样获得出色的进展。但我们把这项方术限定在对度量和计算有用的范围内。” 罗马君王不像托勒密诸王那样支持数学，而罗马人也不懂纯粹科学。他们竟然不想发展数学一事是令人惊讶的，因为他们统治了一个世界范围的帝国，并且确实需要解决一些实际问题。我们从罗马人的历史里所获得的教训是，凡鄙视数学家及科学家高度理论性工作并斥其为无用的人民，他们对重要实际成果如何产生是盲目无知的。 公元前47年，凯撒纵火焚毁停泊在亚历山大港的埃及舰队，大火延及该城，烧掉了图书馆。两个半世纪以来收集的藏书和50万份手稿毁于一旦。所幸的是藏书过挤的图书馆里有许多书容纳不下存放在塞拉皮斯（Serapis）神庙里，所以那些书免于被焚。此外，死于公元前133年的帕加蒙的阿塔卢斯（Attalus）三世曾把他的大量藏书留在罗马。安东尼（Mark Anthony）把这批藏书赠送给克娄巴特拉女皇，使神庙里又增添了这些图书。总的藏书量仍是很巨大的。 罗马人热衷于扩张他们的政治势力，但不热心文化传播。大多数罗马君王是私欲之徒，把控制的每个国家都搞得民穷财尽。 从数学史的观点看，基督教兴起的后果是不幸的。虽然基督教领袖们采纳了希腊人和东方的许多无稽之谈和迷信习惯，以使基督教易于为新改宗的人所接受，但他们却反对异教徒的学问，嘲笑数学、天文和物理科学；基督徒是不许沾染希腊学术这个脏东西的。基督教虽然受到罗马人的残酷迫害，但它仍广为传播并且势力大到使君士坦丁王不得不奉它为罗马帝国的国教。从此以后基督徒更有力量来摧毁希腊文化了。狄奥多西王禁止人民信奉异教，并在392年下令拆毁希腊神庙。在整个帝国内异教徒受人袭击和屠杀。亚历山大时期著名女数学家希帕蒂娅的命运标志着这一时代的终结。因为她不肯放弃希腊宗教，狂热的基督徒在亚历山大的街道上抓住了她，把她撕得粉碎。 在狄奥多西宣布取缔异教的那一年，基督徒焚毁了当时唯一尚存大量希腊图书的塞拉皮斯神庙。据估计有30万种手稿被焚。其他许多写在羊皮纸上的著作被基督徒洗刷掉用来写他们自己的著作。592年东罗马皇帝查士丁尼封闭所有希腊哲学学校，包括柏拉图的学院在内。许多希腊学者离开东罗马，其中有些人如辛普利修斯迁居波斯。 新崛起的回教徒在640年征服埃及，给予亚历山大以最后的打击。残留的书籍被阿拉伯征服者奥马尔（Omar）下令焚毁，其理由是：“这些书的内容或者是可兰经里已有的，那样的话我们不需要读它们；或者它们的内容是违反可兰经的，那样的话我们不该去读它们。”因此在亚历山大的浴堂里接连有六个月用羊皮纸来烧水。 在回教徒攻占亚历山大之后，大部分学者迁居到东罗马首都君士坦丁堡。虽然在拜占庭不友好的基督教气氛中不能按希腊思想的轨道充分活动，但学者及其著作汇集到一个比较安全的地方，却增加了800年后流传给欧洲的那个知识宝库。 亚历山大时期的希腊文明是在其行将跨进现代文明之际中止了它活跃的科学生命的。它具有难得的理论与实践志趣上的结合，而这在其后1000年证明是多么富于成果。一直到它存在期间的最后几个世纪，它始终享有思想自由，这是文化能繁荣昌盛所不可或缺的条件。它在其后文艺复兴时代成为非常重要的几个领域里展开研究并作出了大的进展：定量的平面和立体几何、三角、代数、微积分和天文学。 下一讲印度数学。 |
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