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快乐课堂学数学-多余老师趣讲“几何初步”-华东师范大学出版社七年级上册 一、 本单元概述 前一单元，我们接触了“代数”，这一单元，我们要接触“几何”。 代数可简称“数”，几何可简称“形”，数和形是中学数学的主要研究学习内容。 在数轴的学习时，我们已经感受到“数形结合思想”，数形结合思想是中学生数学生应形成的数学意识中，最重要的一项，“符号意识”是建立数形结合思想的重要基础。 几何要研究的图形，可分为“点”、“线”、“面”、“体”。 课本，先简要地说到“体”，由“体”展开到“面”，然后，是重点学习“点”和“线”。 为什么会按这个顺序编排本单元呢？点、线、面、体四者之间，是什么样的联系？为什么说本单元的重点是“点”和“线”？ 点是所有图形的最基本的几何元素。点动成线，线动成面，面动成体。 要想掌握好几何，就要把最基础的“点”、“线”理解透彻。 二、 先说说“体” 我们所处的空间，是三维空间。三维的最简单理解，就是小学学过的“长”、“宽”、“高”。 现实中的“物”，在几何中都抽象成为“体”，所以我们说“物体”。 现实中的物体，在几何中都是“体”，就是一张“长方形”的纸，其实也是“长方体”，只是它太薄（“高”太小）了，忽略其厚度，日常称其为长方“形”。但一张纸，你可以忽略它的厚度，1000张纸，你也级忽略吗？ 我们为了研究“体”，或者说为了描述“体”，就要用到数学中“抽象”出来的“面”、“线”、“点”。 当然，由于“点”“线”“面”本身都图形，而图形本身还是很“直观的”，所以，在数学中，要“直观化”，必然要借助于“形”，“数形结合”就由此而来。 我们把，由抽象的“面”，向与该面垂直的方向，平移运动能形成的体，称之为“柱体”（以后会知道，此时的准确名称为“直柱体”，此外还有“斜柱体”。这个抽象的“面”，称为柱体的“底面”。平移运动时形成的面，称为“柱体的侧面”。 柱体有两个底面，而且形状、大小完全一样。（平移的特征） 直柱体的底面是“圆形”（现在可简称为“圆”）时，称为“圆柱”。（只有一个侧面）特别说明：在几何中，“圆”和“圆形”是不同的概念，“圆”只是“圆形”的边，不包括“圆形的内部），即圆是一条封闭的“曲线”，而圆形是圆围成的“面”。 直柱体的底面是“多边形”时，称为“棱柱”。（多边形有N条边，就有N个侧面，称为“N棱柱） 棱柱的所有面（都是多边形）的“边”，即面与面相交处的“线段”，称为“棱”。棱，位于底面，称“底棱”（即侧面与底面相交处的线段）；不位于底面的，称“侧棱”（即侧面相交处的线段）。 当柱体的一个底面，缩小变成一个“点”时，称为“锥体”。这个点称为锥体的“顶点”，没变的那个底面，称为锥体的“底面”。（锥体只有一个顶点，当把棱锥当多面体对待时，才可以说“每个棱与棱的交点，称为多面体的顶点”。如，三棱锥，确定底面后，就只有一个顶点；而把三棱锥说成为“四面体”时，才能说“四面体有4个顶点”） 更专业的描述是：一个与平面图形不在同一平面上的点，与平面图形边上的所有点连接，所围成的体，称为锥体。 与柱体一样，锥体也分为圆锥、棱锥。 我们把圆以直径为轴，旋转运动而形成的体，称为“球体”。（球体就一个面） 当“体”的所有面，都是“多边形”时，称为“多面体”。 从以上可以看出，“体”的描述，要有“点线面”来共同完成。而各种“体”的概念，很抽象，但图形却是非常“直观”。 三、再谈谈用“面”来研究“体” 我们在课本上，可以看到，很多立体图形在纸张平面上的“立体示意图”。 “立体示意图”非常直观，非常形象。 但是，由于要把“立体”变成“平面”，立体图形的很多面的形状与大小、很多棱的长度，都需要“变形”。如正方体的立体示意图，只有正面和背面还是正方形，其它四个面都变成了平行四边形，相应的棱长也变短了。 为了，在“平面”中展示“立体”，又让立体的面的形状大小、棱的长度还保持不变。于是，数学制定了“三视图”的规则，使得“平面”能“准确”表示“立体”。 立体，是三维的，有“长、宽、高”；平面，是二维的，于是用“长、宽”“长、高”“宽、高”这三个二维，来表示三维的体。 一般来说，正视图表达的是“长与高”的二维数据；左视图表达的是“宽与高”的二维数据；俯视图表达的是“长与宽”的二维数据。 三视图，肯定没有立体示意图直观，但三视图的优点是：尺寸准确。 把立体图形的三维，分解成三个二维，就成了三视图。反之，由三个二维，来确定三维，就把三视图“组装”成了立体图形。 除了“三视图”这种用“面”来研究“体”的方法外，还有一种是“表面展开图”。 但是，“表面展开图”只能展开“多面体”。（曲面不能展开，展开一定变形） 展开图的研究重点是：相邻的面（邻面）和互相平行的面（对面）。 而邻面和对面，重点又在“对面”。 正方形的展开图，共有6个正方形，分为3组对面，而每个面有4个邻面。 每个面的对面只有一个，确定后，4个邻面也就出来了。 而由邻面来确定对面，就要用“排除法”，就是排除“自己的邻面”和“不是自己的对面”。 而正方体展开图中，“对面”有何特征呢？ 1、在同一行（或列）时，中间只隔一个面的两个面，就是一组对面。 2、当某个面在同一行（或列）中，没有对面时，其对面必然与自己相隔一行（或列）。 如果，不能按以上规则，找出刚好3组对面，那么，这个展开图一定是错误的。 由这个规则，可以尝试画出不同形状的展开图，看你能画出多少种？ 既然，要用面来研究体，就先把面先说一下。 平面图形，是由平面上，封闭的线所围成的图形。 其中： 圆是由一条封闭曲线围成的。 多边形是由多条线段首尾连接所封闭而成。由N条线段围成的多边形，叫N边形。这每一条线段，都是多边形的一个“边”。边的交点，称为多边形的“顶点” 多边形，最基本的是三边形，多边形都可以分割成若干三角形。 四、重点谈谈“点和线” 点，是几何图形，最基本的元素。 点，没有大小，却可以组成有大小的图形 一般，在图形中，点表示某一处的具体位置。（即图形是表示空间的，空间的每一个位置是“点”） 当然，在时间中，用点来表示某一具体时刻。（如，3点整是点，3个小时是时间） 在线、面、体中，特殊位置上的点，就会定一个专门的名称。 点，沿着一个方向平移，就形成“线”。 “线”分为三种，点平移成线时： 1、有开始位置和结束位置，叫“线段”。这两个位置，都叫线段的“端点”。 2、有开始位置，没有结束位置，叫“射线”。开始位置，叫射线的“端点”。 3、没有开始位置，也没有结束位置，叫“直线”。所以，直线没有端点。 线段，也可以看成是：两点间的最短连接。即：两点之间，线段最短。 所以规定：几何中，“连接两点”，就是把两点当端点，作线段。 线段有准确的起点和终点，所以可以量出线段的长度。连接两点线段的长度，也就是这两点间的距离。 射线，可以看作是，将线段朝一个方向无限延伸。也可以看作是，直线上一点，将直线所分成的两部分。 由于射线只有一个端点，即射线有明确的方向，所以，射线只能用两个大写字母表示，且表示端点的字母必须写在前面。（规定：点用大写字母表示，线用小写字母表示） 直线，可以看作是，将线段朝两个方向无限延伸。（即，两点确定一条直线）也可以看作是，将射线反向延长。 由于直线和线段都没有方向性，所以，它们都可以用两个大写字母（无顺序要求），或一个小写字母表示。 由于直线和射线，都是无限延伸的，所以，它们都不能测量长度，也就不能进行长度的比较。（“直线和射线没有长度”，这句话是不准确的，准确的说法是“有长度，但无法测量。这好比整数有无限多个，你不能说整数没有个数吧。） 在以后的学习中，会逐渐体会到： 由于射线和直线没有具体长度，所以它们一般用于研究角度问题。在涉及角度问题的表示时，直线二字可以省略。如：a平行于b，这里的a和b是直线、线段都可以。 线段有具体长度，所以，线段的研究基本都会涉及长度大小的比较。在涉及长度表示时，线段二字可以省略。如：MN=10，一定说的是线段MN的长度是10，而肯定不会说直线MN） 把线段分成N条相等线段的点，叫做线段的N等分点。 当把线段分面2条相等线段时，二等分点只有一个，所以，就单独起个名字，叫“中点”。 三个点，一共可以确定三条线段，只有两条较短线段长度的和，等于最大线段的长度，才能说，这三点在同一直线上。（AB+BC=AC时，A、B、C三点共线） 同样，三点确定的三条线段中，只有两条较短线段的长相等，且都等于最长线段的长度一半时，才能说，这三点在同一直线上，且中间位置的点，是最长线段的中点。（AB=BC=AC/，则B是线段AC的中点） 同学们，在几何学习中，一定要锻炼自己的语言表达能力，包括 1、用“文字语言、符号语言、图形语言”分别描述同一种情况。 2、对同一种情况，使用不同的文字语言进行描述， 五、最后谈谈“线与线的组合” 在前面，已经谈过“点与点”、“点与线”的关系。现在升级，研究“线与线”的关系。 在同一平面内，两条直线的关系： 1、按是否重合分为：两线重合、两线不重合。 2、不重合的两线，再按是否相交分为：两线相交、两线平行（不相交）。相交时，称为“相交线”；平行时，称为“平行线”。注意：相交线、平行线，都不可能是一根。想想，这是为什么？ 3、两线相交时，所成的角都是90度，则两线“互相垂直”。两直线的交点，称“垂足”。 特别说明：初中，除对立体图形的初步认识外，只研究“平面几何”，在能确定是在一个平面上时，“在同一平面内”才可以省略；不能确定是在一个平面上时，千万不能省略。因为，在三维情况下（立体情况），两线不相交时，也可以不平行，称为“异面直线”，即两线不可能位于同一平面内。 两线相交，就会出现“角”，这就要研究角了。 由于，初中和小学一样，只研究小于或等于180度的角，所以，角的概念，仍使用小学时的概念：两条有公共端点的射线组成的图形。 关于角的旋转定义，现在只要知道，可以用旋转这个角度描述角，就可以了。等到高中，才正式使用这一概念。现在可用的地方，就是用来描述“周角”和“0度角”的不同。 角的正规表示方法是，“角符号”+“组成角的两条射线”，由于这两条射线的端点是共用的，所以将表示端点的字母放在中间，用三个字母+“角符号”表示角。 当射线端点处，只有一个角时，可省略为“角符号”+“端点字母”。 由于角的正确符号书写要写三个字母，为了“简洁”，经常用“标注法”来表示角。标注角时，用数字（从1开始）或希腊字母（从а开始）。 标注，是指只能在图形上直接使用。即使用时，必须有图形配合，没有图形，就不能直接用标注法表示角，而必须先说明“标注角”代表的是哪个“正规角”。 角的大小比较，与线段的长度比较，都和小学一年级就学过的比较方法一样。 1、直接数出，或测量后，进行数值比较。 2、二是开始处对齐，比较结尾处。 角的平分线的命名方法和判断方法，与中点一样。 角的度分秒计算，与小学的时间的时分秒计算一样。 用三角形板玩组合角，更是小学时的数学游戏。就是90度、60度、30度、45度之间进行加减组合。 角与角的关系，分为位置关系和数量关系。（这两种关系的分类考虑，在几何中是最常见的） 当两角和为90度时，两角“互为余角”（互余）。 当两角和为180度时，两角“互为补角”（互补）。互余和互补，都是只考虑数量关系，不考虑位置关系。 当互补的两角有一条公共边，且另两边位于同一直线上时，称为“邻补角”。“邻”说的是位置关系；“补”说的是数量关系。 余角一词，来自于中国的传统数学，在中国历史上，把直角三角形的两个锐角，称为“余角”。（直角三角形的两锐角互余；有两个角互余的三角形，是直角三角形）。 这个“余”字，以后还会出现，叫“余弦”。总之，在几何中，“余”这个字，与“直角”有关。 两条直线相交，共得到4个角，其中不相邻的两角，叫作“一组对顶角”。这是从对顶角的“产生”来描述的。 按对顶角的位置关系描述为：不重合的两角有共同的端点，且两角的两边分别位于同一直线上。 对顶角也具有数量关系，即“对顶角相等”。但对顶角的定义，是由位置决定的，所以，根据数量关系，不能判断是否为对顶角。 数学中的句子，有“等价形”“描述形”等。 等价形句子的前后两部分可以互换，其实质是“用不同的语言描述同一种情况”。 描述形句子的前后两部分不能交换，其实质是“后者是由前者得到的一种结果”。 将成立的数学句子的前后两部分交换，看是否仍然成立，是很重要的数学学习方法。 另外要强调一下，“余角、补角、邻补角、对顶角”都是“相对词”，不是“绝对词”。区分“相对词”和“绝对词”，也是很重要的数学学习方法。 两线相交，有一个非常特别的情况，就是两线垂直。此时，两线所成的4个角都等于90度。 在几何中“垂直”既强调了位置关系，又强调了数量关系。 一条直线，有无数条垂线。 但在同一平面内，无论是过直线外一点、还是过直线上一点，都只能做一直线的一条垂线。即：过平面内一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 过直线外一点作已知直线的垂线，该点和垂足之间的线段，叫做垂线段。直线外一点与已知直线上任一点之间的连线中，垂线段最短。垂线段的长，称为该点到直线的距离。 在小学时，我们就知道“用直尺和三角板画平行线”，这个过程，用数学语言叙述就是，将“角”沿其中一边所在直线平移，则另一边平移前后，互相平行。 这说明，平行线间也存在“角相等”的情况。通过平行线作图，可知以下结论： 1、经过直线外一点，有且只有直线与已知直线平行。 2、如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 注意：这两个结论，都没有使用“在同一平面内”，尤其是第2条，根据内容也不能确定就是在平面内。这是为什么呢？ 结论是根据“平移”得出的，而平移“没有在同一平面内”的限制。即，平移的结果，在平面和立体情况下，都是一样的。 继续研究：将“角”沿其中一边所在直线平移，则另一边平移前后，互相平行。 这说明：由角相等，可得到两直线平行的结论。 可这相等的角，如何描述？起什么名字呢？ 几何中，有数量关系或位置关系的元素，都会起个专用的名字。如：余角、补角、对顶角等。 现在观察，平移前后的两个角，有什么关系？数量关系肯定是相等，位置关系呢？ 两个角有一条公共边。 于是，研究一下，符合“两个角有一条公共边”这一要求的情况。通过画图，可知，符合要求的，一共有四种情况。 一是F形，二是Z形，三是匚形，四是“半反F”形（F的一条横线沿竖线轴对称）。 角的边是射线，而“线”的完整情况是直线。我们将上面这四种情况中角的边，都延长成直线。这时会发现，四个情况的图形，都变成了同一类图形：两角不共线的边所在的两条直线，被公共边所在的直线所截。（即，两直线都与第三条直线相交） 一个交点处的4个角，都分别与另一交点的4个角，形成总结的4种关系。 其中： 第一种关系（F形），命名为“同位角”，即在两条直线的同侧，也在第三条直线的同侧。同位即“相同位置”。 第二种关系（Z形），命名为“内错角”，即在两条直线间的内侧，在第三条直线的两侧。内错即“内侧错位”或“内侧相错”。 第三种关系（匚形），命名为“同旁内角”，即在两条直线间的内侧，在第三条直线的同侧。同旁内即“内侧同旁”。 第四种关系（半反F形），不予命名。 为什么这么不公平，它们叁都名份，就我没有？ 这就是因为数学的“简洁性”。命名的新词，越少越好；新词，要求简洁，用字少且表达清楚明了。 第四种关系，通过“对顶角”和“邻补角”，就可转化为前三种关系中的一种，而且由前三种关系的命名方法，不能起个简洁的名字。于是，“半反F“就成了一个另类。 根据画平行线的方法可知：内错角相等，两直线平行。 而“内错角”和“同旁内角”，经过“对顶角”或“邻补角”，可转化到内错角关系是。从而得到： 内错角相等，两直线平行（经过对顶角关系）；同旁内角补，两直线平行（经过邻补角关系）。 数学有一大特点：喜欢研究特殊情况。 两条直线被第三条直线所截（两条直线都与第三条直线相交）的特殊情况是，两条直线都与第三条直线垂直。此时，不用分“同位”、“内错”、“同旁内”，都是直角。 于是直接定下：垂直于同一直线的两条直线平行。 以上得到平行结论的4句话，前后反过来，看是否成立？（反过来看，是一个重要的理科方法和习惯） 很明显，依然成立。 由角的数量关系，判定位置关系。称为“平行线的判定”。 由位置关系，得出角的数量关系。称为“平行线的性质”。 六、超前说说“几何证明” “证明”一词，在华东师大的数学版本中，要到初三才正式出现。 但在实际的作业和考试中，现在就已经开始出现了，只不过换了个说法，叫“请说明”、“请说明理由”等。所以，不得不超前说说“几何证明”。 “几何证明”，是最体现数学的“逻辑性”。 “逻辑”，简单地说，就是根据“大家认可的理由”，经过“大家认可的推理”，由具体的情况，推导得出一个具体的结论。 在证明中，“大家认可的理由”，就是课本上的黑体字印刷的句子。 这些句子，分为三类： 一是公理，也称“基本事实”或“定义”，公理的结论不需要证明，是其它证明的基础。 二是定理，也称“判定”、“性质”，是由公理推导证明得出，具有通用性。 三是推论，课本上的团体句子，但不是以上4种情况，是则公理和定理证明得出的，关于特殊情况下的结论。 在证明中，“大家认可的推理”，就是三段论。 第一段，是大前提，即“大家认可的理由”（写在“所以句”，后面括号里的文字）。公理、定理、推论，这些句子，本身就包含有，“条件”（因为、如果、由于）和结论（所以、那么、可得）。 熟练地将，课本上的黑体句子，拆写成标准的“因为（ ），所以（ ）”这样的“推理句式”，是做好证明的基本功。 第二段，是小前提，即符合“大前提”的“因为句”的“已知条件”或“已推理得出的结论”。 第三段，是结论，即符合“大前提”的“所以句”的“具体情况下的结论”。 在证明的实际书写中，在要尽量使用“符号语言”，“大前提”省略不写，现阶段作为训练基本功的要求，要求将大前提，写在“所以句”后的括号内；只写“小前提”（因为句）和“结论”（所以句）。 在证明时，还涉及到数量关系的代换和计算。 代换依据的大前提是“等量代换”（即由几个相等量，相互代换而得）。 计算依据的大前提是“等式的性质”（即已知等式，和等式中部分量，得出其它部分量）。 有很多同学，对证明题很感到头痛，甚至是，知道是怎么推导出结论，可就是不会书写完整、准确的推理过程。 多余老师告诉这些同学，一个很简单的方法： 1、推理过程的最基本单元，就是一个因为和一个所以。你就将题目的每个已知条件，作为因为，写出对应的所以；将题目要推导的结论和你能得到的结论，作为所以，写出对应的因为。 2、完整的推理过程，是由一个个推理的基本单元，一环套套一环而成的，上一单元的所以，是下一单元的因为。这样，你就将你写出的每一个因为所以，按照衔接的关系，标出先后顺序，这样就组合成了完整的推理过程。如果发现有衔接不上的情况，那肯定是缺少了“基本单元”，就在脱节处，继续进行第一步的工作，直到衔接上。 由于，现在让你们写证明，属于超前要求，所以，对证明头痛的同学，不要因此而对自己的数学学习失去信心。 只要你能快速、准确地完成课本上的，“填空式”证明题，那么你的证明水平就是合格的。完全能把数学学好。 |
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