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功的计算策略 能量方法是高中物理解题的三大金钥匙之一。尽管能列举多种形式的能量，但要理解能量确实很难，是牛顿没有留给我们的少数力学概念之一，它抽象，却是物理学中最重要、意义也最深远的概念之一。能量的变化可能伴随着某（些）力做功，功比能量要好理解的多，也具体的多，因此在高中阶段能量的思想中功起着举足轻重的作用，其过程中常常要进行功的计算。功的计算公式为
这就是说，力对物体所做的功等于力的大小、位移的大小和力与位移夹角的余弦三者的乘积。计算好功应该首先理解好这三方面。
1．用什么量表述功：是“力做功”还是“物体做功”？
不同的物理参考书籍中会出现“力做功”及“物体做功”两种提法。那么，这两种提法究竟有没有区别呢？应该说，从原则上讲这两种提法是通用的，没有什么不同，说物体做功，也是说物体对被做功的对象所施的力在做功。到了高中阶段，用“力做功”的提法分析起来会更精确。什么“作用力的功与反作用力的功”、“分力的功和合力的功”等等表达得很简明，分得很清楚，还如“合力的功等于各个力功的代数和”这一定理的表述和证明，改用“物体做功”的提法就很难进行。当题目提出某物体做功时，需要明确是物体的什么力对被做功的对象做功。
如，一台起重机将质量m=1．0×103 kg的货物匀加速地竖直吊起，在2 s末货物的速度为v=4．0 m/s．若取g=10 m/s2，不计额外功，求：起重机所做的功。
这个问题的表述是“物体做功”，也就是起重机对货物做功，对于功的计算我们必须明确是吊起货物的拉力做，也就说，“起重机所做的功”即为“拉力的功”。接下来，利用牛顿运动学定律求出拉力和位移，由公式（1）容易得出结果。
2．位移的理解
2．1是物体位移还是力的位移
（1）式中出现的是力，位移应该是对应力的位移，可是高中物理教材中出现是物体位移，两者难道是等价同一个意思？仔细体现，我们发现教材中的物体多理解为理想抽象的质点，这样物体位移与力的位移没有什么区别。实际上，位移是力的作用点的位移。力的作用点也称为物体的受力点，这也是一个抽象的概念，实际中不存在物体的受力部位是一个没有尺寸大小的几何点的情况。如果物体的受力部位比较集中，那么在一定条件下可以把受力部位视为一个点，这就是力的作用点。例如，用一根细绳牵引物体，那么物体上与绳的连接部位就可以视为绳对物体的拉力的作用点。这里，绳为细绳的条件。所以高中物理题中经常出现用细绳拉物体的模型。可以用下面三种情况来判断位移。如图1所示，恒力F通过细绳使物体运动了l，求三种情况下力做功分别为多少？
甲情况中，力F作用点的位移就是物体的位移，因此功
2．2位移的相对性
做功的两个必要因素──力和位移与参考系的有关系是不同的。力学中常见的作用力，有的只和相互作用的质点间的距离有关，如万有引力、弹性力、库仑力等；有的由宏观上看只与质点间的相对速度有关，如介质阻力。但由经典力学的伽利略变换可知，质点间的距离与彼此间的相对速度与参考系的选择无关。所以，在经典力学范围内，作用力与参考系的选择无关。但是位移作为一个运动学的量，与参考系的选择有明显的关系。这样，综合起来看，一个作用力的功有相对性，即与参考系的选择有关，这是由受力质点的位移有相对性决定，如我们经常用的一个结论：滑动摩擦力乘于相对位移即为系统机械能转化为内能的量度。不过，按习惯，凡不特别说明的，都是以地面参考系为指定参考系。
2．3力的作用点会移动的位移
前面说了，（1）式中的物体指的是质点，而实际中被做功的对象都有大小尺寸的物体，所以有时会发生力的作用点（受力质点）在物体上改变位置的情况。作用点的位置改变，不算为作用点对指定参考系发生位移，在改变上该力没有对物体做功。例如，子弹头射入一固定于地面的木块中，弹孔壁上的不同点顺次充当子弹对木块的摩擦力的作用点，各作用点均未对地面发生位移，故这个摩擦力对木块不做功。当子弹穿过木块后，木块温度会升高，那是因为子弹克服摩擦力产生的热量传递给了木块。若木块不固定，则子弹对木块的摩擦力会做功。又如，一条略长于两悬崖的长绳，两端固定于两悬崖边上，一滑轮放在长绳上，一人手拉滑轮的下端通过绳从悬崖的一端滑到另一悬崖上，在滑动过程中绳对滑轮的作用点顺次发生变化，其位移为零，因此绳没有对滑轮做功。
3．功的正负
3．1α角的识别
（1）式中α角有至关重要的作用，也是常被忽视的一个因子。它是力的方向与位移方向的夹角，而不是题目中的某一个以α命名的角。设计一组问题来识别α角。用图3表示物体在力F的作用下在水平面上发生了一段位移x，分别计算这三种情形下力F对物体做的功。设这三种情形下力和位移大小都相同：F=10N，x=2m。角α的大小如图所示。
上组习题中功的计算的α角并不是题目中出现的哪个值。(1)式中的角度，甲对应的角度为30°，乙对应的角度为150°，丙对应的角度为30°。
3．2正负功
在（1）式中，当
在提法上，力对物体做正功，可以把“正”省去不说，即“力对物体做功”，正如数学中的正号可以不写一样，但力对物体做负功，“负号”不能省去不写，它的另一种说法叫做“物体克服阻力做了功（取绝对值）”。如摩擦力对前进中机车做负功，也可以说成是机车克服摩擦力做了功。向上抛出的物体在向上运动时，重力对物体做负功，也可以说成是物体克服重力做了功。可以说，“力做负功”与“物体克服阻力做功”只是同一件事的两种不同说法而已。
分析好了（1）式中三个量，接着我们应用它，用它来解答一些实际的物理问题，比单纯的功公式的计算更有认识价值。
4．人做功
分析人做功是我们理所当然的事，可它却有点麻烦，因为人是个有机体，有一定的体积不能看作质点，且肌肉收缩，使生化能转化为人的机械能。如人走路时，地面对人的静摩擦力使人产生加速度，但不做功（静摩擦力的作用点在移动，相对地面位移为零），人获得的动能是人肌肉收缩，生物化学力做正功。这就是零功力。这也看出牛顿运动解题与能量（动能定理）观点的不同：人可以有静摩擦力使人产生加速度获得速度，但人的动能不是此力做功实现的。
如2006年全国I理综卷的一道选择题：一位质量为m的运动员从下蹲状态向上起跳，经
A．地面对他的冲量为mv+mg
B．地面对他的冲量为mv+mg
C．地面对他的冲量为mv，地面对他做的功为
D．地面对他的冲量为mv-mg
地面对人做功是出错的关键，地面对人有竖直向上的作用力，但此力的作用点位移为零，所以地面对人没有做功。而他获的速度（动能）是自己肌肉收缩生物化学力做正功消耗生化能而得到的。
有些物理题目没有注意这一点，造成编制成的习题出现错误。如，如图4所示，平板车放在光滑水平面上，一个人从车左端加速向右跑动，设人受到的摩擦力为
A．
B．
C．
D．因为是静摩擦力，
参考答案是B。分析如下：人加速向右跑动时，车对人的摩擦力
问题所在：人相对地面的位移确实向右，但力
还有站在水平船板上的人拉着固定在岸边树上的绳子，用力使船向前移动的过程中，关于力对船的做功是：绳子的张力、人对绳子的拉力、树对绳子的拉力不做功，因为这些力的作用点的位移均为零，是人对船的摩擦力做了功而使船向前移动。例如一个小孩站在船头，按图5所示的两种情况用同样大小的力拉绳，经过相同的时间t（船未碰撞）小孩所做的功W1、W2及在时刻t小孩拉绳的瞬时功率P1、P2的关系为
A．W1＞W2，P1=P2
B．W1=W2，P1=P2
C．W1＜W2，P1＜P2
D．W1＜W2，P1=P2
参考解析：本题是要考查绳的拉力做功的计算……，小孩所做的功，在第一种情况下是只对自身（包括所站的船）做的功与在第二种情况下对自身（包括所站的船）做的功相等（由于拉力相同、力的作用时间相同，故所做的功都为
问题所在：结果是正确的，但分析的过程对于第一种情况是错误的。题目是问小孩所做功，是小孩肌肉收缩所做的功，但这种力做功无法计算，必须转化是其它形式的力，对于第一种情况不是小孩的拉力做功，因为拉力根本没有做功，应该是克服人与船的摩擦力做功，摩擦力与拉力相等，这样克服摩擦力做功和上面计算方式一样；第二种情况可以认为拉力做功，因为拉力有位移。
5．机车的零功力
汽车行驶时，汽车轮胎与地面接触点的速度为零，是静摩擦力提供动力，但摩擦力的作用点顺次的在地面上发生移动，作用点的位移为零，摩擦力对汽车和地面都不做功。汽车得到的机械能是发动机内气体非保守力做功，把化学能转化为机械能。同理人骑自行车时，自行车与地面间的静摩擦力提供自行车的动力，但摩擦力对自行车和地面均不做功，自行车与人得到的机械能是靠人肌肉收缩做功使人的生化能转化为系统的机械能。
当然，如果刹车，静摩擦力变为滑动摩擦力，刹车过程中的滑动摩擦力对车做了负功，但对地面依然没有做功，而地面温度的升高是轮胎温度变高热传递的结果，地面被磨得光滑，那是力改变物体形状的结果与力是否做功无关。
6．变力做功
（1）式中适用于恒力做功，尽管利用微元法思维可以把它推广到变力做功，但是对于中学来说，是无法得出具体数值结果的。我们就要进行另辟思路。
6．1平均力法
用平均力代替公式（1）中的F，这种方法只局限于两种情况：一是题目中明确指出是平均力；另一种情况是力与位移成正比（如弹簧的弹力），用算术平均值方法，用平均力求功。
例：一辆汽车质量为105kg，从静止开始运动，其阻力为车重的0．05倍。其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为F=103 x+f0，f0是车所受的阻力。当车前进100m时，牵引力做的功是多少？
分析与解答：牵引力为变力但与位移成正比。当x=0时，牵引力F1=
f0=kmg=0．05×105×10＝5×104N，当x=100m时，F2=100×103
＋ f0=105
＋5×104＝1．5×105N，平均力
6．2图像法
我们也可以用图像来描述力对物体做功的大小。以
尽管只要作出图像就能用“面积”求出它的功，但是中学阶段不是任意形状的图形都能求出“面积”，一般只能求出线性关系的图像，如上题牵引力的功，用图像作出牵引力F与位移l的关系如图7所示，“面积”即为上面牵引力做功的结果。
6．3转换研究对象
当绳的拉力作用于物体，使物体发生位移，但是拉力对于物体来说是变力，需要转换研究对象，使变力成恒力，从而可以应用（1）式计算。
例如：如图8所示，用恒力F通过光滑的定滑轮，将静止于水平面上的物体从位置A拉到位置B，物体可视为质点，定滑轮距水平面高为h，物体在位置A、B时，细绳与水平面的夹角分别为α和β，求绳的拉力对物体做的功。
分析与解答：从题设的条件看，作用于物体上的绳的拉力T，大小与外力F相等，但物体从A运动至B的过程中，拉力T的方向与水平面的夹角由α变为β，显然拉力T为变力。由于绳拉物体的变力T对物体所做的功与恒力F拉绳做的功相等，根据力对空间积累效应的等效替代便可求出绳的拉力对物体做的功。设物体在位置A时，滑轮左侧绳长为l1，当物体被绳拉至位置B时，绳长变为l2，因此物体由A到B，绳长的变化量
又因T=F，则绳的拉力T对物体做的功
6．4分段计算法
力从全程（全过程）考虑是变力，但就一小段分析变力可认为恒力，这一小段力的功可以用（1）式来计算了，然后把所有小段的功代数相加就得到全部的功了。
例：如图9所示，某个力F＝10N作用于半径为R＝1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向保持为任何时刻均与作用点的切线一致，则转动一周这个力F做的总功为多少？
分析与解答：力F的大小不变，但方向时刻发生变化，属于变力做功的问题，可以考虑把圆周分割为很多的小段来研究，当各小段的弧长足够小时，可以认为力的方向与弧长代表的位移方向一致。所求的总功为
6．5功率法
从认知的顺序看，是先学功然后学功率，但有时反过来，先研究功率再计算功也是不错的逆向思维方法。
例如单摆在摆动过程中，我们说绳的拉力不做功。因为任何时刻，绳的拉力均与摆球的速度垂直，拉力瞬时功率为零，整个过程拉力功率自然也零，功就为零了。物体在固定斜面或圆弧轨道上滑动，支持力不做也是这个道理的。还如机车在恒定功率下做变加速直线运动，牵引力做的功可以用Pt来表示。
6．6动能定理（功能关系）
动能定理不但适用于恒力做功和直线运动，还适用于变力做功和曲线运动的情况，应用广泛。表达式为 |
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(1)
；乙情况中，由初中动滑轮的知识，我们清楚力F作用点的位移是物体的位移的2倍，所以功
；丙情况中，力F作用点的位移如图2所示，求得
，因此力F的功
。显然，当α＝0时，丙情况即为乙情况了，所以乙可以看作丙的一种特殊情况。
，则有W＞0，即力对物体做正功；当
，则有W＜0，即力对物体做负功。从力的效果看，正功表示力对物体是动力，负功表示力对物体是阻力；从动能定理角度看，力对物体做正功，是使物体的动能增加，力对物体做负功，是使物体的动能减少。
