如果你在学生会工作，想要了解同学们在考试中舞弊行为的严重程度，你会怎么做呢？一个很简单的办法就是，和每一个同学单独进行谈话：“诚实地告诉我你作弊了吗，我保证不会告诉任何人”。不过，这个“保证”似乎太不给力，几乎不会有人敢诚实作答吧，谁知道这个秘密最终会传到哪儿去呢。有没有什么绝对没有漏洞的保密措施，让每一位同学都能放心地诚实回答问题呢？这次，威武的数学又派上用场了。
一种对敏感信息的调查方法
假定要在 100 位同学中做调查。事先当着所有同学的面制作 100 张小纸条，其中 40 张纸条上写“你作弊了吗”，剩下 60 张纸条上写“你没作弊吗”。然后，和每一位同学进行单独谈话，让他像抓阄那样随机抽取一张小纸条。这位同学将会根据纸条上的问题回答“是”或者“不是”，之后立即把小纸条销毁掉，不让其他任何人知道纸条上的内容。这样一来，每个同学都可以放心地回答“是”或者“不是”了，因为其他人根本不知道他答的是哪个问题。
你的工作就是记录有多少人回答“是”，有多少人回答“不是”，不必（也不可能）知道他们各自是针对哪个问题回答的。根据最后统计出来的 100 个回答结果，你就能推算出舞弊学生所占的大致比例了。
如何计算出舞弊学生的比例？
假定有 45 人回答“是”，剩下 55 个人回答“不是”，你如何算出舞弊学生所占的比例呢？不妨把这个比例记作 p，根据全概率公式，下面的等式成立：
45/100 = p × (40/100) + (1 - p) × (60/100)
这个公式上直观上可以这么理解：记“你作弊了吗”的问卷为问卷 A，“你没作弊吗”的问卷为问卷 B。那么一个人回答“是”的概率等于收到 A 卷的概率乘以作弊的概率，加上收到 B 卷的概率乘以没作弊的概率。一个人回答“是”的概率宏观上就表现为这 100 个人中回答“是”的人数，一个人作弊的概率宏观上也就表现为 100 个人中作弊的人数。
我们可以依据上面的式子，解出 p 的值来。当然，这样一次计算出来的 p 是不准确的，因为调查所得到的结果 45 并不一定是理论值。也就是说，固定一个 p，我们可以算出回答“是”的人数的理论值，那么多次调查中回答“是”的人数将在理论值附近波动。换个角度来说，我们可以通过多次调查，取 p 的平均值作为结果就比较准确了。
为什么要取 40 和 60 ？
考虑一个极端情况，我们把 (40, 60) 换为 (50, 50)，你会发现，上述等式右边的 p 正好被消掉了，不管 p 是多少，回答“是”的人数的理论值总是 50。这是因为，此时一个人收到 A、B 卷是等可能的，所以他回答“是”或“不是”也是等可能的，所以整体上回答“是”的人数会接近一半。也就是说，我们无法通过实验来测得 p 的值，这是一套毫无意义的问卷。
事实上，A、B 卷的数量差越大，结果的误差就会越小。另一个极端情况就是有 100 个 A 卷 0 个 B 卷（或者 100 个 B 卷 0 个 A 卷），假设所有人仍然都说真话，测量结果的准确程度将会达到最大——它就等于实际结果了。
但同时，A、B 卷的数量相差太大，又会失去保密的作用，因为大家都会知道你手中的问题多半是哪一个。综合两方面的因素来看，(40, 60) 的确是一个不错的选择。
