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先说复数。我们知道复数可以用矢量表示，复数 x+yi 对应到平面矢量 (x,y). 复数的加法和矢量的加法一致（显然。因为都是把分量相加。）复数的乘法对应到矢量的旋转和伸缩。在物理学中，更为广泛使用的是三维矢量，(x,y,z). 寻找一种 “数” 来与三维矢量 1-1 对应，是很自然的想法。对 19 世纪初的爱尔兰人 威廉. 哈密尔顿来说，如果能找到这种数，他就可以更方便地表述牛顿力学和电磁学了。 哈密尔顿试图定义三维矢量之间的四则运算。加减法毫无问题，矢量是自然可以加减的。至于乘法，当时人们也知道三维矢量的 “内积” 和 “外积”，或者称为 “标量积” 和 “矢量积”，又或者称为 “点乘” 和 “叉乘”。但是这两种运算都不能满足哈密尔顿的需要：“点乘” 的结果并不是矢量，所以这种运算并非是对 {三维矢量} 这个集合封闭的运算；叉乘的结果虽然仍然是矢量，但是每个矢量跟自己叉乘的结果都是 (0,0,0)，使得除法无从定义。（假定除法可以定义，比如，a/b = c, 那么 a = c × b. 但是因为 b × b = (0,0,0), 从而 a = (c+b) × b, 即 a/b = c+b. 可见这样的定义会引起矛盾.） 如何定义三维矢量之间自洽的乘除法运算公式困扰了哈密尔顿很多年。终于，1843 年某一天他沿着都柏林皇家运河步行，一组公式闪现在他头脑中，他兴奋之余担心忘记，就在经过布鲁翰桥的时候将这组公式刻在桥上： i2 = j2 = k2 = ijk = -1 其中 i, j, k 分别是沿着 x, y, z轴方向的单位矢量。 这组公式定义的运算其实不完全满足哈密尔顿原先的想法： 其一： 由于 -1 的出现，运算对 {三维矢量} 这个集合不封闭。事实上，在复数的情形，x+yi 对应到平面矢量 (x,y)，即，实数 1 对应到矢量 (1,0), 虚数 i 对应到矢量 (0,1). 也就是说，实数填充了其中一维空间，而纯虚数填充了另一维空间。与此类似，哈密尔顿定义的运算实际上是 {四维矢量} 这个集合上的运算，1, i, j, k 分别张成这四个维度。为了跟复数记号类比，以下叙述将不采用黑体的矢量记号，代之以 i, j, k. 现在所有四维矢量之间定义了加减乘运算（除法容后再议），每个四维矢量 (x,y,z,w) 将写为 x+yi+zj+wk, 称为一个 “四元数”。显然，它包含了复数 （只要令 z=0, w=0, 就得到复数）。 其二： 乘法运算不再满足交换律。由 ijk=-1, 等式两边都在右边乘上 k, 有 ijk2 = -k, 再应用 k2 = -1, 得到 -ij = -k, 从而 ij=k. 同理可得 jk=i, ki=j. 最后一式等式两边都在右边乘上 i, 有 ki2 = ji, 即 -k = ji. 所以我们看到 ji = -ij. 不遵从交换律。事实上，后来人们证明，不可能比哈密尔顿做得更好：如果要求扩充的数系既包含实数在内，又可以做加减乘除，并且满足乘法结合律和交换律，那么唯一的可能就是复数。如果要进一步扩充，就只能牺牲交换律。 无论如何，“四元数” 诞生了。它是如此美妙以至于哈密尔顿将此后的大部分时间都投入到对四元数的研究中。所有这些研究汇成将近800页的著作 “四元数基础”。 我们现在就来更细致地看看四元数运算。类比复数绝对值运算公式 |x+yi|2 = (x+yi)(x-yi) = x2+y2, 有四元数绝对值运算 |x+yi+zj+wk|2 = (x+yi+zj+wk)(x-yi-zj-wk) = x2+y2+z2+w2 除法因而也类似 (a+bi+cj+dk)/(x+yi+zj+wk) = (a+bi+cj+dk)(x-yi-zj-wk)/(x2+y2+z2+w2) 四元数集中有个子集对乘法和除法封闭。这个子集就是绝对值等于1的那些四元数。它们满足方程 x2+y2+z2+w2 = 1 从而组成四维空间中的单位球面（三维球面）。 一个集合如果既有微分流形的结构，其元素又可以做光滑的乘法运算并且满足一定的条件（构成一个“群”），这个集合就称为一个 “李群”。绝对值为1的所有四元数就构成一个李群。 这种结构在复数集中有类比：绝对值为1的所有复数构成一个李群，它在几何上看是复平面里的单位圆周，群运算就是复数的乘法。这个群通常记为 U(1). 它是最简单的李群。 由于绝对值为1的复数乘上其它复数就相当于把相应的平面矢量旋转一个角度，所以这个群实际上等同于平面的旋转群，记为 SO(2). 就是说，绝对值为1的复数构成的群可以解释为实数平面（即二维实数空间）的旋转群。 让我们更真切地看看这个对应。实际上这个对应可以从复数的矩阵表示导出。从复数的乘法公式 (x+yi)(z+wi)=(xz-yw)+(xw+yz)i 可以看到，乘积的两个分量很像矩阵乘积的元素。不难猜测这个乘法可以由形如
熟悉物理学的读者可能认出这三个矩阵很像量子力学里描述角动量的泡利矩阵。所以它们应该跟三维旋转有关系。确实，我们可以从另一个角度来看待这个绝对值为1的四元数构成的李群。这个李群在几何上是一个三维球面，它在 (1,0,0,0) 点的切空间是一个三维平直空间。群的元素在整个三维球面上的作用也会局部化为对这个切空间的作用。因此每个绝对值为1 的四元数都可以表示为三维空间的旋转。这种表示实际上是如今四元数在数学之外的其他学科里的主要应用。 哈密尔顿当年寻找四元数的动机本来是更简洁地描述力学和电磁学。但是后来的发展表明19世纪中叶流行起来的矢量分析更适合描述物理学。因而对四元数的研究渐渐只局限于纯数学的部分领域，成为非主流。然而，四元数的创生拓展了人们对 “数” 的认识，开启了对非交换的乘法结构的系统研究。发展至今，四元数成为连接诸多数学研究子领域的桥梁。 我们知道以复数为变量的复值函数可以做微积分，形成一个理论称为“复分析”，它在纯数学、物理、工程领域都有非常重要的应用。既然四元数是复数的一种扩展，我们是否也可以建立“四元数分析”呢？显然，这里的难点在于非交换性。微积分最基本的概念“导数”是由除法定义的，而现在乘法除法都依赖于因子或除子的顺序。实践证明这是一个很本质的困难，以至于人们至今还无法建立一个令人满意的“四元数分析”理论。有兴趣、有时间、对复分析有一定了解的读者也许可以尝试一下。 细心的读者可能会问，既然实数可以扩充到复数，复数可以扩充到四元数，那么四元数还可以继续扩充吗？答案是肯定的：数学家凯莱发现了一种“八元数”，它们之间也可以做加减乘除运算，但是乘法的性质更差了，甚至都不满足结合律，也就是说，(XY)Z ≠X(YZ). 然而，毕竟这样的运算存在于八维空间。更高维数呢？存在“十六元数”吗？答案是否定的：这是因为更高维的球面不具有某种几何（拓扑）性质。高维空间矢量之间乘除运算的存在性竟然跟高维球面的几何（拓扑）性质有关！这真是风马牛不相及啊。但数学就是这么不可思议。对此感兴趣的读者可以了解一下代数拓扑、矢量丛和示性类。陈省身、吴文俊等中国数学家在这些领域做出过开创性的工作。 下篇继续介绍其他在物理学中用到的性质特异的 “数”。
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