怪胎才能看得懂：严格说起来，根本没有所谓的数学证明

数学不是真理！

数学不是真理！

数学不是真理！

推荐一本书：克莱因著的《数学，确定性的丧失》

早在1928年，哈代就用他一贯的坦率语气说过：严格说起来，根本没有所谓的数学证明……归根到底，我们只是指出一些要点；……李特伍德（Littlewood）和我都把证明称之为废话，它是为打动某些人而编造的一堆华丽词藻，是讲演时用来演示的图片，是激发小学生想象力的工具。

1944年，杰出的美国数学家怀尔德（Raymond L．Wilder）再次贬低了证明的地位。他说，证明只不过是：

对于我们直觉产物的检验……。很明显，我们不会拥有而且极可能永远不会有任何一个这样的证明标准，其独立于时代，独立于所要证明的东西，并且独立于使用它的个人或某个思想学派。在这种情况下，明智的做法似乎就是承认，一般地来说，数学中根本就没有绝对的真实证明这个东西，而无须考虑公众会怎么想。

证明的价值又被怀特海在一次题为《不朽》的讲演中再次攻击：

逻辑被认为是思想发展的充分分析，事实上并非如此。它是一种绝妙的工具，但它还需要有一些常识作背景……。我的观点是：哲学思想的最终形式不能建立在构成特殊学科基础形式的精确阐述之上。所谓精确性本身就是虚假的。

绝对严格的证明以及与它类似的东西都是捉摸不定的，理想化的概念，“在数学的世界中没有它们天然的栖身之地”。什么叫严格？对此本来就没有严格的定义。一个证明，如果被当时的权威所认可，或者是用了当时流行的原理，那么这个证明就可为大家所接受。但现在，并没有一个普遍接受的标准，现在不是数学严密性最辉煌的时代。可以肯定，过去人们认为数学的特征——从明确的公理经过无可辩驳的证明——如今已不复存在了。一切限制人们思维的易谬性和不确定性，逻辑都具备。肯定有人感到惊讶，在数学中，我们习惯性地做了那么多基本假设却从来没有意识到。

什么是可接受的数学公理？

一个典型的例子是我们是否使用选择公理，在这个问题上，数学家进退维谷，不用它或者否定它就意味着放弃数学中的大部分，而用它呢，则不仅导致自相矛盾，而且还会导致直觉上不合理的结论。

数学史中充满了光辉的成就，但它同时也是一部灾难的记录——克莱因

数学证明曾被认为应该总是一个清晰明确，无法辩驳的过程，确实这一点已被忽略了几个世纪。

我们知道，演绎数学起源于古希腊，其第一个似乎十分合理的结构是欧几里得的《原本》。欧几里得是以定义公理和演绎得到的定理开始的，欧氏几何中有一条公理一直在困惑着数学家们，不是由于他们对其正确性有任何怀疑之处，而是由于它的表达方式。这就是平行公理，或者通常称为欧几里得的第五假设，欧几里得的表述是这样的：

如果一条直线与两条直线相交，使得一侧的内角不都是直角，则如果将这两条直线延长，它们在内角不都是直角的直线一侧相交。

即若＜1＋＜2＜180°，将a、b充分延长，则它们必定相交。

欧几里得有很好的理由以这种方式表述他的公理。他本可以用另一种方式来叙述：若＜1+＜2＝180°则直线a与直线b永不相交，即直线a平行于直线b，但欧几里得显然是害怕假设有永不相交的无限直线。当然经验并没有提供无限直线的性质，而公理是被认为是关于物理世界的自明的真理。然而他确实以他的平行公理和其他公理证明了平行直线的存在。

欧几里得对平行公理的叙述被认为有点过于复杂了，它缺少其他公理的简洁性，显然连欧几里得本人也不喜欢他对平行公理的叙述，因为直到所有可以不用它的定理都被证明出来以后，他才提到它。一个并没有使许多人不安然而最终却至关重要的问题是能否肯定在客观世界中存在无限直线。欧几里得的措词颇为谨慎，你可以按需要任意延长一条（有限）直线，且延长后的直线仍然是有限的。欧几里得确实暗示了无限直线是存在的：否则在任何情况下也不能按需要任意延长。

早在希腊时代，数学家们就开始致力于解决欧几里得的平行公理所带来的问题了。他们做了两种不同类型的尝试，一种是用看来更加自明的命题来代替平行公理。另一种是试图从欧几里得的其他九条公理中推导出平行公理。如果这一办法可行则平行公理就成为定理，也就无可怀疑的了。在两千多年的时间里，许多著名的数学家曾从事于这两方面的研究。至于那些无名之辈，我们就不去多说了。这段历史相当长而过于专业化，它们中的大部分不在这里重述，因为它们很容易查到而且并不大切题。

在众多的替代公理中有一条是我们今天通常在中学里学习的，因而值得一提：这是普莱费尔(John Playfair) 1795年提出的平行公理的另一种说法：过不在直线l上一给定点P（图4.2），有且仅有一条由l和P确定的平面上的直线，不与l相交。

所有的替代公理似乎都比欧几里得的要简单，但进一步考察就会发现，它们并不比欧几里得的叙述更令人满意。其中许多，包括普莱费尔的叙述涉及到空间的无穷远处。另一方面，那些不直接提及“无限”的替代公理，例如，“存在两个相似但不全等的三角形”，看起来比欧几里得本人的平行公理更为复杂，更不可取。

在试图用第二种方法，即从其他九条公理中推出平行公理以解决平行公理问题的努力中，最有意义的是萨谢利(GerolamoSaccheri)的工作。他是一个耶稣会教士，帕维尔大学的教授。他的思想是，如果你使用了一个本质上不同于欧几里得平行公理的公理的话，你将得出与他的其他公理矛盾的定理。这种矛盾意味着否认平行公理——它是唯一存在疑问的公理——是错误的。因此欧几里得的平行公理一定是正确的，即它是其余九条公理的推断。

考虑普莱费尔的公理，它与欧几里得的公理是等价的，萨谢利首先假定过P点没有与l平行的直线，则由这一公理和欧几里得采用的其他九条公理，萨谢利确实推出了矛盾。萨谢利接着又试了其他可能的假设。即过P点至少有2条直线p和q，不管如何延伸总不与l相交。萨谢利进一步证明了许多有趣的定理，直到他推出一个奇怪而且令人讨厌的结论，他认为它与前面得出的结论是矛盾的。由是萨谢利认为有理由推出结论：欧几里得的平行公理是其他公理的推论，因此将他的书命名为《欧几里得无懈可击》（1733年）。然而后来的数学家发现萨谢利并未真正推出矛盾，因此平行公理的问题依然存在。花在寻找一个可接受的欧几里得平行公理的替代公理或证明它是其他九条公理的推论上的精力如此巨大而且徒劳无功，以致于达兰贝尔在1759年称平行公理问题是“几何原理中的家丑”。

1855年高斯死后（此时他的声望已无人可比），他的笔记中的材料被公之于众。1868年黎曼于1854年写就的论文的发表使得许多数学家相信，非欧几何也可以是物理空间的几何，我们不能再肯定哪门几何一定是正确的。单是还有别的几何存在就已是一个令人震惊的事实了，然而更令人震惊的是你不再知道哪个是正确的，或者究竟有没有正确的。显然，数学家们将基于有限的经验显得正确的命题作为公理，并错误地相信了它们是自明的。数学家们陷入了马克·吐温描述的窘境：“人是宗教动物，他是唯一具有真正宗教的——他们中的少数人。”

非欧几何及其隐含的关于几何真理性的内容逐渐被数学家们所接受。但并不是由于它的适用性的任何论据被加强了，而是正如普朗克（Max

Planck），这位量子力学的奠基人在本世纪初所说的：“一个新的科学真理并不是靠说服它的对手并使其看见真理之光取胜，而是由于它的对手死了，新的一代熟悉它的人成长起来了。”

至于说到整个数学的真理，有些数学家赞同高斯的观点，真理存在于数中，它是算术、代数、微积分以及后续学科的基础。当雅可比（Karl Gustav Jacob

Jacobi）说：“上帝一直在进行算术化”的时候，他并没有像柏拉图那样坚持说上帝永远在进行几何化。看起来数学家总算设法拯救并且保住了建筑在算术基础之上那一部分数学的真理性，这一部分到1850年时在科学上远比那几门几何使用得更为广泛也更为活跃。不幸的是毁灭性的事情接踵而来，为了理解这些我们必须往回走一点点。

用复数来表示平面上的向量及其运算的方法到1830年时已经差不多是众所周知的了。然而，如果几个力作用于一个物体，则这些力及其向量表示不一定通常也不会总在同一平面上。如果为了方便起见将通常实数称为一维数，复数为二维数，那么，要用什么来表示空间中某种三维数的向量及其代数运算呢？人们希望对这种三维数进行的运算，类似于复数的情况，将必须包括加、减、乘、除，而且必须满足通常实数和复数所具有的那些性质。这样代数运算才能自由且有效地使用。于是，数学家们开始寻找一种称为三维复数及其代数的数。

有许多数学家从事了这一问题的研究。1843年，哈密尔顿提出了一个有用的复数的空间类似物，哈密尔顿为此困惑了15年。那时数学家们所知道的所有的数都具有乘法的交换性，即ab=ba，因此哈密尔顿很自然地相信他所找的三维数或三元数，也应该具有这一性质以及其他实数和复数具有的性质。哈密尔顿终于成功了，不过他被迫作出两点让步。首先，他的新数包含四个分量，其次，他不得不牺牲了乘法交换律。这两个特点对代数学来说都是革命性的，他把这种新的数叫做四元数。

有许多数学家从事了这一问题的研究。1843年，哈密尔顿提出了一个有用的复数的空间类似物，哈密尔顿为此困惑了15年。那时数学家们所知道的所有的数都具有乘法的交换性，即ab=ba，因此哈密尔顿很自然地相信他所找的三维数或三元数，也应该具有这一性质以及其他实数和复数具有的性质。哈密尔顿终于成功了，不过他被迫作出两点让步。首先，他的新数包含四个分量，其次，他不得不牺牲了乘法交换律。这两个特点对代数学来说都是革命性的，他把这种新的数叫做四元数。

两个四元数相等的准则是系数a、b、c、d都对应相等。

两个四元数相加只要将对应系数分别相加形成新的系数，这样和本身也是一个四元数。为了定义乘法，哈密尔顿不得不规定i与j，i与k及j与k的乘积。为了保证乘积是一四元数，并且尽可能多地保留实数和复数的特点，他约定：jk=i，kj=－i，ki=j，ik=－j，ij=k，ji=－k，这些约定意味着乘法是不可能交换的。这样若p和q为四元数，则pq不等于qp。一个四元数被另一个四元数除也是可以做的，然而，乘法的不可交换性蕴含了用四元数q去除四元数p时，可以意味着找到r，使得p=qr或p=rq，商r在两种情形下可能不等。尽管四元数并没有像哈密尔顿希望的那样有广泛的使用价值，他还是能用它们来解决大量的物理和几何问题。

四元数的引入给了数学家们又一次震动。它是一个确确实实有实际用途的代数，却不具备所有实数和复数都具备的基本性质，即

ab=ba。

哈密尔顿发明四元数后不久，从事其他领域研究的数学家们引入了更奇怪的代数。著名代数几何学家凯莱引进了矩阵，它是矩形或正方形数组。对它们也可进行通常的代数运算。但是如同在四元数中的情形一样，它也没有乘法可交换性。而且即使两个矩阵都不为0，它们的积也可能为0。四元数和矩阵只不过是许多性质越来越奇怪的代数的先驱。格拉斯曼（Hermann

GuntherGrassmann）发明了许多这样的代数。它们甚至比哈密尔顿的四元数还要一般化。不幸，格拉斯曼只是个中学教师，因此过了许多年他的工作才获得了应有的注意。无论怎样，格拉斯曼工作增添了现在称为超复数的新代数中的多样性。

为了特别的目的而创建的这些新代数本身并没有向普通的算术及其扩展在代数和分析中的真理提出挑战。毕竟，一般的实数和复数可用于完全不同的目的，它们的实用性是无可质疑的。然而，新代数的出现使人们对熟悉的算术和代数中的真理提出了质疑，正如接受了新的文明的习俗的人开始反省他们自己。

对算术真理的最严重的打击来自于亥姆霍兹（Hermann

vonHelmholtz），他是个卓越的物理学家、数学家和医生。在他的《算与量》（1887年）一书中，他认为数学的主要问题是算术对物理现象的自适应性的证明，他的结论是只有经验能告诉我们算术的法则能用在哪里，我们并不能肯定一条先验公式是否在任何情况下都适用。

亥姆霍兹考虑了许多相关的问题，数的概念本身来自于经验，某些经验启发了通常类型的数：整数、分数和无理数及其性质。对于这些经验，熟悉的数是适用的。我们认识到存在确实相等的物体，因此我们可以说，例如，两头牛。然而，这些物体必须不能消失、混合或分割。一个雨滴与另一个雨滴相加并不能得到两个雨滴。甚至是相等的概念也不能自动地用于经验。看起来如果物体a=c而b=c则一定有a=b。但是有可能两个音听起来都与第三个音相同，而耳朵却可以区别出前两个音。这里与同一事物相同的事物并不相同，同样地，颜色a和c看起来都和b相同，而a和c却是有区别的。

还可举出许多例子来说明简单地应用算术可能会导出荒谬的结果。如果你将等体积的两份水混合。一份温度为40°F，另一份为50°F，你并不能得到温度为90°F的两份体积的水。一个频率为100赫兹和另一个200赫兹的单音叠加，得到的并不是频率300赫兹的单音，事实上合成音的频率还是100赫兹。电路中两个大小分别为R1和R2的电阻并联，它们的等效电阻是R1R2/（R1+R2）。正如勒贝格（Henri

Lebesgue）所调侃的，你把一头狮子和一只兔子关在同一个笼子里，最后笼子里绝不会还有两只动物。

我们在化学中知道，将氢和氧混合就得到水。但是如果将两体积的氢和一体积的氧混合得到的不是三体积而是两体积的水蒸气。同样，一体积氮气和三体积氢气作用生成两体积氨气。我们碰巧知道这些令人惊讶的算术事实的物理解释。根据阿伏伽德罗假设，同一温度、同一压强下，体积相同的任何气体所含分子数相同。这样，如果给定体积的氢气含有10个分子，则两倍这一体积的氢气含有20个分子。碰巧氧气和氢气都是双原子分子，即每个分子由两个原子组成。这20个双原子氢分子中的每个都与10个氧分子中的一个原子结合从而得到20个水分子，即两体积的水蒸气而不是三体积。由此可以看出算术不能正确描述按体积混合气体的结果。

一般来说，算术也不能正确反映按体积混合液体的结果。一夸脱的杜松子酒与一夸脱苦艾酒混合，得到的不是两夸脱混合物而是稍微少一些。一夸脱酒精与一夸脱水混合得到大约1．8夸脱的伏特加。对于大多数酒类这一点都是正确的。三茶匙水加上一茶匙盐不会是四茶匙。有些化学混合物不仅不按体积增加，还会爆炸。

不仅是整数的性质在许多物理情况下不成立，许多实际情况中还要用到不同的分数计算。让我们以棒球为例来考虑（这当然是上百万美国人所感兴趣的问题）。

假设一个运动员在一场比赛中击球3次，在另一场比赛中击球4次，那么他总共击了几次球？这没有什么困难，他一共击球7次。假设他在第一场比赛中有2次击球成功，即到达第一垒或更远，在第二场中成功3次，两场比赛中他一共成功几次呢？这也没有什么困难，一共是5次。然而，观众和对手本人通常最感兴趣的是平均击中率，也就是击中次数与击球次数的比例。在第一场中比例是2/3，第二场中是3/4。假设该球手或者一个棒球迷想用这两个比例来计算两次比赛的平均击中率，可能有人会以为用通常分数相加的办法就可以了，即

这个结果当然是很荒谬的，他不可能在12次机会中击中17次。显然，通常将两次比赛的平均击中率相加来得到两次比赛的平均击中率的办法是行不通的。

我们怎样才能由两次比赛各自的平均击中率求得这两次比赛的平均击中率呢？答案是用一种新的分数加法。我们知道联合的平均击中率是5/7，而单场比赛的击中率分别是2/3和3/4，我们看到如果把分子和分母对应相加得到新的分数，这就是正确答案，即

假设这个加号意味着分子相加和分母相加。

这种分数加法在其他情况下也是有用的。一个借助电话搞推销的商人在第一天的五个推销电话中成功了三次，第二天七次成功了四次，他把这些记录下来。为了得到正确的成功率，他必须把3/5和4/7按平均击中率的那种方法计算，这两天中他的记录是在总共12个电话中成功了7次，这样7/12就是3/5＋4/7，假设加号意味着分子相加和分母相加。

再举一个更为一般的例子。假设一辆汽车用2小时走了50英里，用3小时走了100英里，那么两次旅行的平均速度是多少呢？你可以说这辆车用5个小时走了150英里。因此它的平均速度是每小时30英里。然而，分别计算每次的平均速度通常总是有用的。第一次旅行的平均速度是50/2，第二次是100/3，如果将这两个分数的分子相加、分母相加，则也得到正确答案。

一般来说4/6=2/3，然而在上面讨论的分数相加中，例如2/3＋3/5，就不能用4/6代换2/3。因为前者结果为7/11，后者则为5/8，而这两个答案并不相等。更进一步，在通常的算术中，5/1和7/1就像整数5和7一样，在我们的新算术中，将5/1和7/1作为分数求和，我们得到的是12/2，而不是12/1。

这些可以称之为棒球算术的例子确实说明可以引进与以前我们熟悉的运算不同的运算，这样就创造了一个实用的算术。事实上也确实存在许多其他的算术，然而，一个真正的数学家绝不会凭一时的兴致去发明一种代数。一种代数总是为了表示一类物理世界的现象而创造的，正像我们上面的分数加法适用于两次击球平均率的合成。我们可以通过定义适合于这类物理现象的运算很方便地对物理世界发生的事情进行研究。只有经验能告诉我们普通的算术何处可应用于给定的物理现象，这样就不能说算术是一定适用于物理现象的一个真理体系。当然，由于代数和分析是算术的延伸，它们也不是真理体系。

因此，数学家们只能得出这个令人沮丧的结论：数学中没有真理，即作为现实世界普适法则意义上的真理。算术和几何基本结构的公理是受经验启发得出的，因而这些结构的适用性是有限的，它们在哪里是适用的只能由经验来决定。希腊人试图从几条自明的真理出发和仅仅使用演绎的证明方法来保证数学的真实性被证明是徒劳的。

对许多富有思想的数学家来说，数学不是一个真理体系这一事实实在是难以接受。似乎上帝想用多种几何和代数来使他们困惑，正如他曾用不同的语言困惑了建筑巴别塔的人们那样。因此他们拒绝接受这些新的发明。

哈密尔顿毫无疑问是一位杰出的数学家，在1837年他表达了他对非欧几何的不满：

没有哪一个坦白的、有智力的人会怀疑两千年前欧几里得在他的《几何原本》中提出的平行线的

主要性质，尽管他可能会希望看到它们以更明确更好的方式来叙述。这些性质中没有任何令人费解或含混不清之处，没有任何你可以怀疑的地方，虽然可以经常动动脑筋改进它们的表达方式。

凯莱在1883年就任英国科学促进协会主席的演说词中强调：

我本人的观点是欧几里得的第十二公理（通常称之第五公理或平行公理）的普莱费尔形式不需要证明，它是我们的空间概念的一部分。这里指的是我们经验中的物理空间——我们通过经验来了解这个空间。但它的表示是建立在所有外部经验基础之上的……注意到欧氏空间长期以来一直被当作是我们经验的物理空间，所以几何学的命题对于欧氏空间不仅仅是近似的真实的，而且是绝对真实的。

F·克莱因（Felix Klein），近代的一个真正伟大的数学家，表达了差不多是同样的观点。尽管凯莱和F·克莱因本人都从事过非欧几何工作，他们却把非欧几何看作是在欧氏几何中引入人为的新的距离函数时产生的奇异结果。他们拒绝承认非欧几何和欧氏几何一样基本和实用，他们的立场在相对论时代以前看来还是无懈可击的。

罗素也相信数学的真实性，尽管他在某种程度上限制了这种真实性。上个世纪90年代他提出了这样的问题：空间的哪些性质对经验是必需的，而且是由经验假定了的。也就是说，如果在这些先验性质中有任何一条被否定，那么经验就变得毫无意义了。他在《关于几何基础的随笔》（1897年）中，赞同欧氏几何不是一门先验知识这一见解。他断言，就一切几何学来说，倒不如认为射影几何是先验的。这个结论在1900年前后，从射影几何的重要性的观点来看，是可以理解的。然后他就把欧氏几何和一切非欧几何所共有的公理，当作先验的东西添加到射影几何中去，加进去的那些东西（空间的齐次性，维数的有穷性以及距离的概念）使得度量成为可能。罗素还指出，定性的考虑必须在定量考虑之前，而这一观点加强了射影几何的先验性。

至于说到度量几何，即欧氏几何和几种非欧几何，它们可以由射影几何通过引入某个特定的度量概念而导出，这一事实罗素认为只不过是一种技术上的成就而没有什么哲学意义。无论如何，它们持有的那些特殊定理并不是先验的。在对待这几种基本的度量几何上，罗素不同于凯莱和克莱因。他认为它们都处于同等的逻辑地位，因为具备上面那些性质的度量空间只有欧氏空间、双曲空间的和单、双椭圆空间，所以罗素认为所有可能的度量空间只有这几种，而欧氏空间则当然是仅有的确实可用的空间，其他那些空间在证明可能存在别的几何学时，有其哲学上的重要性。现在我们回过头来看，可以说罗素无非是用一种射影癖代替了欧几里得癖。罗素多年以后承认，他的《随笔》是他年轻时代的一部著作，其观点是无法站得住脚的。然而我们后面将会看到，他和其他人为了建立算术的真实性而确立了一个新的基础（见第十章）。

数学家对某种基础的真理的执著探索是可以理解的。多少世纪以来，用数学去描述和预测物理现象一直取得辉煌的成功，这使得任何人，尤其是那些被他们自己的发明陶醉得飘飘然的人来说，要他们接受“数学并不是一堆天然的钻石，而不过是人工宝石”这一事实的确是很难的。然而数学家们还是逐渐开始承认，数学公理和定理并不一定是物理世界的真理。某些领域的经验启发特定的公理，在这些领域，这些公理及其逻辑结果能够非常精确地作有价值的描述。但是，一旦这一领域扩展了，这种适用性就可能会失去。就对物理世界的研究而言，算术仅仅提供了理论或者模型，而当经验或实践证明一种新的理论能比旧理论提供更加一致的描述时，新的数学理论就取代了旧的理论。1921年爱因斯坦给出了关于数学与物理世界的关系的精采的叙述：

只要数学的命题是涉及实在的，它们就不是可靠的；只要它们是可靠的，它们就不涉及实在。……但是，另一方面，作为一般情况的数学和作为特殊情况中的几何，它们的存在是由于我们需要了解真实客体的一些性质。

既然数学家们已经放弃了上帝，他们就应该相信人，而这正是他们所做的。他们继续发展数学和探索自然法则，他们知道自己所阐明的并非是上帝的设计而是人的工作。昔日的成功使他们对正在进行的工作充满信心，而且幸运之神总是欣然来到。使数学永远充满活力的灵丹妙药是它自己调配的——在天体力学、声学、流体力学、光学、电磁理论和工程中取得的巨大成就，以及其预言的难以置信的准确程度，一定有某种原始的也许是魔力蕴含其中，才能使得一门学科尽管是在战无不胜的真理之旗下发展，还是凭着它内在的神奇力量确实达到了自己辉煌的顶点（见第十五章）。于是，数学的发明和在科学中的应用得以更快的步伐前进。

数学并不是一个真理体系这一认识确实振聋发聩。让我们首先看一个数学作用于科学的结果。从伽利略时代开始，科学家们就认识到，科学中的基本原理与数学原理相反，必须来源于实践。尽管两个多世纪的时间里他们相信他们所发现的是自然界的设计之中所固有的，但是到了19世纪初他们认识到科学定理并不是真理，甚至数学的原理也是来源于经验而且并不能肯定它们的真实性。这一认识使科学家们意识到只要他们使用数学的公理和定理，他们的理论就更加脆弱。自然法则是人的创造物，是我们，而不是上帝，才是宇宙的法则制定者。自然法则是人的描述而不是上帝的命令。