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摘要：本文从欧几里得《几何原本》出发，论述了两千年来从欧几里得开始，经历过高斯一直到希尔伯特的几何学公理化的艰难历程，揭示了几何学公理化的深刻意义，最后讨论了哥德尔的不完全性定理。 关键词：公理化 欧几里得 几何原本 非欧几何 希尔伯特 哥德尔 不完备性定理 数学家不单单因为数学有用而研究数学；他研究它还因为他喜欢它，而他喜欢它则是因为它是美丽的！ ——H·庞加莱 1. 引言 除了极少数的著作之外，没有人知道那些伟大的古希腊先哲们究竟在思考什么。关于这些先驱的生平，人们只能从《欧德斯摩摘要》一书中了解极为粗略的情况。然而正是在这些吉光片羽的文字中，保留了古希腊关于数学的最光辉的思想。 从泰勒斯（Thales）到欧几里得的三百多年历史中，数学稳步而又迅速地发展着。泰勒斯开始了命题的证明，毕达哥拉斯学派进一步将数学从具体中抽象出来，并把算术和几何紧密地联系在一起。公元前387年左右，柏拉图（Plato，公元前426－347）在雅典创建了哲学学园，主张通过几何学习培养逻辑思维能力。他的学生亚里士多德（Aristotel，公元前384－322）则是形式逻辑的奠基者。这个学派的另一个重要人物欧多克索斯（Eudoxus，公元前460－357）创立了比例论。他用公理化的方法建立理论，使得比例的适用范围从毕达哥拉斯学派的可通约量扩大至不可通约量。 到了公元前4世纪时，古希腊无论是在几何学还是逻辑学上都日臻成熟，公理化思想也是由来已久，一个严密而又完整的几何体系已是呼之欲出。这个重任就落在了欧几里得的肩上。 2. 欧几里得的贡献 欧几里得（Euclid，约公元前300年左右），古希腊著名的数学家。他的《几何原本》直到现在，依然是几何学入门的最佳读本。两千年来，这部巨著令许多数学家的努力与文字黯然失色。《原本》一书中的数学思想与方法，深刻地影响了整整两千多年的数学与自然科学的发展历程。 欧几里得的最大贡献并不是发现了多少深奥的定理，而是对过去所有数学知识的总结。他的《几何原本》不仅奠定了西方几何学的基础，并且提供了一整套的公理化方法的范例。在他之前，也曾有人设想过如此计划。但正如《欧德斯摩摘要》一书中所说的，“把几何学原理联系到一起，把欧多克索斯的许多定理有次序地安排起来，把铁塔斯的许多定理加以完善化，并对前任未经严谨证明的许多东西给以无可争辩地阐明”的，乃是欧几里得。 《几何原本》共有十三卷（也有十五卷的版本，最后二卷为后人增补）。在第一卷中，欧氏列出了23个“定义”，接着是5条“公设”和5条“公理”（现代数学并不区分公设和公理，都以公理称之），然后循序渐进地用推理、证明、演绎的方法推导出了全书所有的命题。这就是《原本》一书为何直到现代依然被认为是研究几何学的入门书的最主要的原因：得益于其严密的逻辑与演绎。 然而，正是在看似严密的逻辑推理之下的欧氏几何公理体系中，却存在着非常严重的漏洞。虽然在漫长的历史长河中，不断地有人诟病于它，但它的影响却是一直到两千年之后才反映出来，也由此铸成了一场几何学的革命。 3. 第五公设的尴尬 在《几何原本》的5条公设中，第五公设——也就是人们常说的“平行公设”——显得特别突兀：与其余4条公设和5条公理的简明相比，第五公设有着太多的条件与设定，尤其显得复杂与罗嗦，。 我们不妨先来看看第五公设是如何描述的：“同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交。” 与其余的公设相比，这条公设实在太长了，以至于几乎《几何原本》的每一个读者一眼就会注意到它。两千年来，人们一直试图寻找一种方法来证明这条公设，使之成为一条定理，以便将其从欧几里得公理表中抹去。普罗克鲁（Proclus，410－485）曾十分明确地说：“这个公设完全应从全部公理中剔除出去，因为它是一个包含许多困难的定理。”但是无论是普罗克鲁，还是普雪菲尔（Playfair，1748－1819），或是大数学家勒让德（Legendre，1752－1833），以及其他许多数学家，他们所提出的“证明”无非都是在论证过程中有意无意地引入了新的假设来代替第五公设。也就是说，他们的论证过程统统是失败的。面对如此状况，以至于法国数学家达朗贝尔（D’Alembert，1717－1783）说欧几里得第五公设是“几何原理中的家丑”。 当然，用现代的数学眼光去看，在欧氏几何的公理体系中，除了第五公设之外，其余的定义、公设和公理也远非无懈可击。什么叫做“点是没有部分的”？什么又是“直线是它上面的点一样地平放着的线”？诸如此类的模糊不清的定义比比皆是。还有在第四公设“所有直角彼此相等”中，欧几里得就下意识地使用了“移动不变形”的概念。而第五公设之所以“名扬四海”，仅仅是因为它的形式上的因素，以至于那些对数学一知半解的人以为在《几何原本》中，只有这一条公设才是公理体系中致命的缺陷。但也正是由于第五公设，才导致了一场“非欧几何”的革命，人们也正是从这里，才真正发现了一个全新的几何世界。 有人认为《几何原本》中公理数量太多，如第四公设也应可以被证明。另一种意见则认为《几何原本》公理表中的公理数量似乎不够，应该更加完备，如缺乏关于“连续性”“顺序性”的公理，对于图形的空间移动也没有正式定义。阿基米德（Archimedes，公元前287－212）就曾经为《原本》添加过五条公理。长期以来，人们主要将批评集中于第五公设，是由于它的表现形式过于突兀。著名的德国哲学家叔本华曾对此类现象非常不满。随着数学的发展，人们发现《几何原本》中的各种各样的逻辑缺陷越来越难以容忍。作为一门科学的几何学，首先应考虑其科学性是否自洽，即是否没有内在矛盾？ 真正的数学家并不回避缺陷，关键是如何用数学的方法弥补缺陷，使数学大厦的基础变得牢固，而并不是仅仅在高度上有所提升。伟大的德国数学家高斯迈出了关键性的一步。 4. 高斯的伟大和罗巴切夫斯基的失落 我们不得不谈一谈非欧几何，即便它与几何学的公理化没有太大关系。毕竟，作为几何学发展历史上的一座丰碑，它是不可被替代和逾越的。对非欧几何做出贡献的人物有三位，他们是：高斯，罗巴切夫斯基和亚诺什·鲍耶。 高斯（Gauss，1777－1855），德国伟大的数学家。有人说，如果要评选历史上最伟大的三位数学家，那么他们将是：阿基米德、高斯和欧拉。由此可见高斯在所有数学家乃至世人心目中的地位。 在很早的时候，高斯就很敏锐地发现第五公设是不可被证明或是反证的，由此想到了是不是存在另外一种几何，以至于没有第五公设也并行不悖？从后来公开的日记中，人们发现高斯在这方面做了大量的工作。但是在他的有生之年，出于某些考虑，高斯从未披露过关于非欧几何细节的思想， 罗巴切夫斯基（1792－1856）则大胆的多。他在著作中详细地描述了关于非欧几何的细节。由于非欧几何看起来与人们熟悉的欧氏几何大相径庭，罗氏的思想一时无法为人所理解，由此他本人也遭到了许多数学家的嘲笑与攻击。 亚诺什·鲍耶（Bolyai，1802－1860）的遭遇也是同样不幸。他先是将自己的研究成果作为父亲的一本数学书的附录出版，后来又通过父亲将研究成果交给了高斯。高斯的反应出人意料，道“我不想赞扬他的成果，那样就是赞扬了我自己”，以至于鲍耶一直误以为高斯窃取了自己的成果，最后也是悒郁而终。罗氏与鲍耶的遭遇，也正是高斯所担心的，这也可以说明高斯当初为何不愿公开自己的研究成果。毕竟，要打破传统的观念，还是需要极大的勇气。 然而真理是不会被颠破的，在黎曼（Riemann，1826－1866）的工作后，人们渐渐地认识到了非欧几何的正确性，也逐步地接受了这种有些另类的几何学。 虽然所有的数学家都未曾解决欧几里得在《几何原本》中遗留下来的种种问题，但是他们的努力却没有白费，不但发现了非欧几何，更是不断地推动着几何学的公理化进程。布尔巴基学派的著名“笔杆子”让·迪厄多内是这样评价这些数学家的贡献的： “对欧几里得结构的批评，尤其在19世纪导致数学更高‘严格性’的一般运动中，变得越来越多，这些批评的目的不是改正欧几里得在其证明过程中所作的推理，而是纠正欧几里得的推理并没有充分地给予明确陈述地定义和公理这种状况。” 随着希尔伯特的诞生，几何学的公理化终于走到了最辉煌的时刻。 5. 希尔伯特的努力 希尔伯特（D·Hilbert，1862－1943），德国著名的数学大师。1898年，希尔伯特发表了他的《几何基础》（第一版），震惊了整个数学界（现在流行的是第七版）。 虽然在希尔伯特之前，也曾有不少数学家做过很多关于数学公理化的有益尝试，但唯有希尔伯特的《几何基础》，不仅完成了几何学公理化，并且为现代数学公理化提供了一个极佳的范例。同时，他的公理系统无论从形式上还是内容上来看也最接近《几何原本》。 与欧几里得《几何原本》中的公理表相比，希尔伯特的公理系统非常完善。它有三个特点： a. 完备性，即所有定理都可以由这些公理推出。从公理表中所列的公理可以看出，希尔伯特不但定义了所有欧几里得曾经定义过的概念，同时也定义了那些欧几里得没有定义的诸如“连续性”“顺序性”之类的概念，从而使整个体系更加完备。由此也可见欧氏公理表中的公理数量是远远不够的。但与欧几里得不同的是，希尔伯特并没有刻意去定义“点”、“直线”、“平面”等几何中最为常见的元素，而仅仅是将他们设想为“三组不同的对象”。 b. 相容性，即从这些公理出发不可能推出任何矛盾的定理。庞加莱于1898年发表的一个见解认为，一个公理地建立起来的结构，如果可以给出一个算术解释，就可以相信它的相容性。希尔伯特由此在《几何基础》中以实数作为一组对象，对他的公理系统作出了一个算术解释。他证明了：欧几里得几何中存在的任何矛盾，必定会表现为实数算术中的一个矛盾。无论是非欧几何还是欧氏几何，都被证明至少是与实数算术一样地相容，而实数算术的相容性则是所有数学家都愿意接受的。毕竟从某个角度来说，数学家还不愿意怀疑自身最最基础的东西。 c. 独立性，即如果从这组公理中除去任何一条公理，至少就会有某些定理不可能得到证明。从书中可以看出，公理表中的所有公理在证明过程中都是不可或缺的。 《几何基础》一书用准确的语言，严格地叙述了欧氏几何学地内容，克服了欧氏几何在逻辑上的缺陷。此书一出，数学界一度弥漫着极度乐观的氛围，数学家们梦想着能够将所有的数学都进行公理化，能用有限的公理推导出无限的（无论是否已知）数学。然而，这仅仅是一场美梦而已。 6. 哥德尔的最后一击 希尔伯特在1900年《数学问题》的演讲中提出了自己关于公理化的希望：“在研究一门科学的基础时，我们必须建立一套公理系统，它包含着对这门科学基本概念之间所存在的关系的确切而完备的描述。如此建立起来的公理同时也是这些基本概念的定义，并且，我们正在检验其基础的科学领域里的任何一个命题，除非它能够从这些公理通过有限逻辑推理而得到。否则，就不能认为是正确的。” 在希尔伯特提出“公理化纲领”之后，一时所有的数学家都非常乐观，好像他们处于一个非常美好的时代，在他们的手中，所有的数学问题都将通过公理化的方式解决，以至于后来的数学家之需要做一些细枝末节的添补工作。这是一个多么美丽的梦想！ 哥德尔的努力却让所有的数学家都失望了，从某个意义上来说，他也许是所有数学家都“讨厌”的人，因为他的定理彻底地击碎了所有数学家的梦想。然而不得不承认的是，他比其他人更接近上帝。 哥德尔提出两个“不完备性”命题：在任何包含初等数论的相容的形式系统中，存在着不可判定命题，即命题本身和它的否定在该系统中都不可证，通常称之为哥德尔第一定理。此定理还有一条推论（哥德尔第二定理）：一个包含初等数论的形式系统的相容性，在该系统内是不可证明的。即将所有数学都公理化的努力是徒劳的。从希尔伯特到哥德尔，数学家们经历了一次从巅峰到谷底的惊心动魄的旅行。 然而从辩证法的角度来思考，哥德尔的不完备性定理的出现几乎是必然的。如果知识有了尽头，那么生命的存在还有什么意义？老子曾道：“信言不美，美言不信。”（《老子·显质第八十一》），讲的也是同样的道理。 不妨用伊莱·马奥尔在《无穷之旅》中的一句话作为本文的结尾。对于公理化的要求，伊莱·马奥尔是如此说明的：“数学家有责任把某个理论中公理数目减至最小程度（对于简洁美的诉求），消除所有的多余公理，只剩下那些绝对必要的。一个真正的公理在逻辑方面不依赖于其他所有公理。它既无法证明，也无法否定。” 参考文献： 1. 欧几里得著，兰纪正 朱恩宽译，《几何原本》，陕西科学技术出版社，2003 2. 让·迪厄多内著，沈永欢译，《当代数学：为了人类心理的荣耀》，上海教育出版社，1999 3. D·Hilbert，《数学问题》。《数学史译文集》，p66。上海科技出版社，1981 4. 伊莱·马奥尔著，王前 武学民 金敬红译，《无穷之旅——关于无穷大的文化史》，上海教育出版社，2000 5. 莫里斯·克莱因著，《古今数学思想》，上海科学技术出版社，2005 6. 王树禾著，《数学思想史》，天津教育出版社 7. 康斯坦丝·瑞德著，袁向东 李文林译，《希尔伯特：数学世界的亚历山大》，上海科学技术出版社，2001 8. 张奠宙著，《二十世纪数学经纬》，华东师范大学出版社，2002 9. E.T.贝尔著，徐源译，《数学大师：从芝诺到庞加莱》，上海科技教育出版社，2004 10. 胡作玄著，《第三次数学危机》，四川人民出版社，1985 11. 韩雪涛著，《数学悖论与三次数学危机》，湖南科学技术出版社，2006 12. 蒋声著，《世界数学名题欣赏：欧几里得第五公设》，辽宁教育出版社，1988 13. 《数学史译文集》（续集），上海科学技术出版社，1985 14. 王浩著，康宏逵译，《哥德尔》，上海世纪出版集团，2002 15. D·希尔伯特著，《几何基础》 16. J.F.斯科特著，侯德润 张兰译，《数学史》，广西师范大学出版社，2002 |
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