非欧几何的由来

非欧几何的由来 作者：彭  林    文章来源：《中学数学教学参考》    点击数：5450    更新时间：2007-3-17    

 

在数学史乃至整个科学史中，很少有一个分支能像非欧几何一样对人类认识史发生如此直接的影响。它的创立，不仅决定了近百年来数学许多领域的发展。而且对现代人文学、宇宙学、物理学的进步以及人类时空观念的变革都产生深远影响。正如伟大的物理学家爱因斯坦所指出的：“已经有大量的根据可以说：从非欧几何发展起来的思想是极富有成效的”。

1、 第五公设问题的发生

    非欧几何的产生与著名的欧几里得第五公设密切相关，它是数学家们为解决这个问题而进行长期努力的结果。

    公元前三世纪欧几里得( Euclid)在其著作《原本》中从一些被认为是不证直明的事实出发，通过逻辑演绎建立了第一个几何学公理体系一一欧几里得几何学。这个理论受到后世数学家的普遍称颂，被公认为是数学严格性的典范。但是人们感到欧氏几何中仍然存在着某些瑕疵，其中最使数学家们关注的是欧氏公理系统中的所谓“第五公设”一一若两条直线被一直线截得的一组同侧内角之和小于二直角，则若适当延长这两条直线必在和小于二直角的一侧相交。数学家们普遍认为这条公理所说明的事实并不像欧几里得的其他公理那样显而易见，它们似乎缺少作为一条公理所必需的直明性。因此尽管人们并不怀疑第五公设本身的真实性，但却怀疑它作为公理的资格。此便发生了数学史上有名的第五公设问题。

2、证明尝试的失败

      于是以证明第五公设为目的的种种尝试出现了。从《原本》出现到19世纪初非欧几何问世，许多杰出的数学家提出了各种“证明”，然而结果却都是错误的。因为所有这些“证明”中都默认了一条与第五公设相互等价的命题。通俗地说所谓等价是指含义与本质完全一样只是表述的形式不同而已。

    曾经用来证明第五公设的等价命题有许多。其中较简单的有芬恩( Fenn)1769年提出的：“两相交直线不能同时平行于第三条直线”还有英国普雷非尔(Playfair, 1748-1819)提出的“过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行”等等。由于普雷非尔公理最为简单，因此受到普遍采用。现在教科书中也常用这一叙述形式来替代第五公设。

    在长达两千年的漫长岁月中整个数学面貌已经焕然一新。继解析几何和微积分诞生之后，新的数学分支纷纷脱颖而出。无数困难问题得以解决。许多数学家创立了复杂艰深的数学理论。但是人们在看上去极其简单的第五公设问题面前却仍然一筹莫展。大数学家们也不例外。法国数学家达朗贝尔( 1717-1783)在1759年说。第五公设问题是“几何原理中的家丑”。

 3、新几何的萌芽

    在我们做一道数学题的时候如果直接证明屡攻不克，就会想到试一试反证法。在我们试图证明某个猜想的时候，如果使尽各种招数仍无进展就会怀疑这个猜想本身有没有毛病。历史上试证第五公设的人们也曾有过这种体验，并且正是这种朴素的想法把第五公设的研究终于引上了正确的轨道。

    18 世纪意大利数学家萨开里仔细研究了前人的工作，在1733年出版的《消除一切污点的欧几里得》中首先给出了第五公设的所谓反证法证明。萨开里从一个四边形出发，他假定其中两个角为直角并对其余两个角提出了三种可能情况：(1)两角均为直角；（2）两角均为锐角、( 3)两角均为钝角，试图通过否定后两种可能性来证明第五公设成立。

    运用正确的逻辑推理萨开里很快从钝角假设导出了矛盾，从而钝角假设被否定了。然而当他将同样的方法用于锐角假设时，他推出了一连串“离奇古怪”的命题如“存在相互渐近的两条直线，它们在无穷远处有一公垂线”“对于同一直线存在着不相交的垂线和斜线”等等。他相继推得40个类似的古怪命题。这些命题实际上是属于非欧几何的。它们后来都被包括在非欧几何体系中。萨开里本来没有找到真正的逻辑矛盾，但他却以“不合情理”为由否定了这些命题并且认为由此排除了锐角假设。

    在谈到萨开里的工作时几乎所有人都为他惋惜。他已经闯进了新几何学的大门，但他却对新几何学视而不见。在萨开里那里直观的合理性和逻辑上的必然性混为一谈了。然而我们不应过分地责怪他。欧氏几何将近两千年得到如此巨大的成就，自然造成了一种极大的“惯性”。要摆脱它必须有极大的“动量”。要有异乎于常的洞察力和逻辑能力。这种洞察力与逻辑的力量并不完全取决于个人的天赋即如“数学王子”高斯要想摆脱它也是极其缓慢与痛苦的过程。这种洞察力和逻辑的力量来自世世代代的人们一一不只是数学家一一辛勤探索的积累。正因为如此，不能把萨开里的工作看成是简单的错误，这些积极的成果乃是幸运的成功者的基石。

    另一个对新几何的产生做出重要负献的是瑞士数学家兰贝特(1728 -1777)。他继承了萨开里的方法，从考察一个三个角都是直角的四边形出发研究其第四个角是直角、钝角和锐角的可能性。兰贝特否定了钝角假设，也没有轻率地做出锐角假设导致矛盾的结论。他没有像萨开里那样囿于第五公设真实性的顽固想法，而是大胆对第五公设的可证明性提出了怀疑。在他的思想中甚至包含了非欧几何学可以存的想法，这是观念上的一个重要冲破。但他未能对这种几何的现实性提出任何见解。因而也就未能再向前迈出一步。

4、非欧几何的诞生

    高斯是真正预见到非欧几何的第一人。1792年当他15岁时已经有了第五公设不可证和非欧几何的思想萌芽。以后相继得到许多这方面的重要结果。但他动摇徘徊了25年之久，直到1817年才牢固树立起坚定信念。不幸的是由于康德的唯心主义空间学说和在数学界占统治地位的所谓现实空间只能是欧氏空间这一旧传统观念给高斯以很大的精神压力，因而毕其一生关于此问题也没有发表什么见解。

    预见到非欧几何的第一人鲍耶( John  Bokyai,1802 -1860)在青年时代就醉心于第五公设的证明。他不顾父亲的劝告坚持研究终于建立了非欧几何。1823年11月3口他高兴地写信告诉父亲：“我已从乌有中创造了另一个新奇的世界。”当他父亲把鲍耶的研究成果写信告诉高斯的时候高斯感到十分吃惊回信说：“这和我40年来沉思的结果不谋而合。”鲍耶看到高斯的回信大大刺伤了自己的自尊心，反而怀疑高斯剽窃他的成果。从此消沉下去不再研究这一问题。

    高斯的保守，鲍耶的消沉，使非欧几何的诞生推迟了时间。只有俄国数学家罗巴切夫斯基( 1793-1856)才无愧于享有这门新学说的创建者和捍卫者的光荣称号。

    罗巴切夫斯基是从1815 -1816年着手研究第五公设问题的。到1826年2月23日于喀山大学物理数学系学术会议上首次宣读自己新几何学的论文一一《简要叙述平行线公理的一个严格证明》。前后经过了十年艰苦的努力。开始他像其他所有研究者一样也试图给出第五公设的证明，但不久就意识到这是徒劳的对于第五公设“至今没能找到它的严格证明以往给出的任何一种证明，只能是一种说明而不配称做是真正意义下的数学证明”。

    通过错误与失败的精心研究，罗巴切夫斯基大胆地提出原问题的“反问题”即第五公设在数学上是不可证明的。用他自己的话说就是：“我推断不依赖于经验，去寻求这个真实性的证明是徒劳的”。因为“这个真实性还没有包含在我们对现实事物的概念直身中”。那么罗巴切夫斯基是怎样成功地解决这个反问题的？又是怎样从中发现非欧几何新天地的？原来他运用了反证法这一间接证明方法。

    罗巴切夫斯基的基本思想是为证“第五公设不可证”。首先用第五公设的相反命题代替它和其他公设，构成一个新的公理系统，然后对这个新公理系统展开逻辑推演。假设第五公设在数学上可证，那么一定能够推演出逻辑矛盾来。至少第五公设和它的相反命题就是一对逻辑矛盾；反之如果推演不出逻辑矛盾，就直然反驳了“第五公设可证”的假设，从而也就间接证得“第五公设不可证”。

    基于这种思想，罗巴切夫斯基从第五公设的等价命题普雷非尔公理的否定：“过平面上直线外一点至少可引两条直线与已知直线不相交”。之后他从这相反命题（及欧几里得的其他公设）出发而进行逻辑推演。推演不多几步他就得到一连串新命题。这些命题不仅离奇古怪而且和人们的经验认识格格不入。但是经过仔细推敲，罗巴切夫斯基并没有发现它们之间含有任何逻辑矛盾。于是远见卓识的罗巴切夫斯基断言这个“在结果中并不存在任何矛盾”的新公理系统属于一种新几何，它的逻辑完整性和严密性可以和欧氏几何相媲美。而这个新几何的存在就是对“第五公设不可证”的间接证明。

    在创立非欧几何体系的过程中罗巴切夫斯基凭借想象的翅膀腾飞而起，提出了许多令人惊叹具有珍贵价值的科学思想。

    例如罗巴切夫斯基从他给出的平行角解析式出发，以猜想的形式断言非欧几何是“巨大尺度形式的几何”适合于人宇宙空间范围。为检验非欧几何的真理性他曾根据当时的最新天文观测资料，对尽可能大的天体三角形作了角度计算。算得的结果表明这个角度比观测精度还小，因而无法观测到空间几何的非欧表现。但是罗巴切夫斯基并不认为他的断言遭到了反驳。在他看来“空间是无限延伸的，自然界只给我们的是这样的距离，和这个距离相比甚至我们地球到恒星的距离也是微乎其微的。”他由此设想在以天文尺度为单位的巨大宇宙空间，将出现空间几何性质与欧几里得几何的明显差异。罗巴切夫斯基进而构想微观领域的几何也是非欧式的。他把非欧几何称为“想象几何”并且极富创见性地向他的同代人宣告：“在观测不足的情况下应当凭理智设想，想象几何可适用于被观测到的世界之外以及分子引力范围之内”。

    再如罗巴切夫斯基还一反常态地提出了只有我们这个时代的人才能理解几何与力相关的思想。他深刻地指出：“空间自身是不能单独存在的，因而当我们设想自然界中的某些力决定一种几何，另一些力决定另一种特殊的几何，那么我们的头脑中就没有任何矛盾了”。他又指出：“力产生一切：运动、速度、时间、质量甚至距离和角”。这实质上已经明确指出空间的几何性质依赖于物质的运动。罗巴切夫斯基的这个思想是对牛顿绝对时空观和康德先验时空观的尖锐挑战。直接通往了相对论和现代唯物主义时空观。

    此外，罗巴切夫斯基对非欧几何与欧氏几何的内在联系以及非欧几何在数学上的广阔用场也作了深必的预想。他明确指出：“普通几何作为特殊情况包含在想象几何之中，想象几何取无限小线段可变成普通几何。”又指出想象几何“即使在实际测量上还用不上，但它将为几何学在分析学上的应用开辟了一个广阔的新天地。”

5、捍卫真理的科学战士

    通往真理的道路往往是坎坷曲折的。罗巴切夫斯基的新学说违背了两千多年来的传统思想。动摇了欧氏几何“神圣不可侵犯”的权威基础，同时也违背了人们的“常识”。他的学说一发表，社会上的嘲弄、攻击甚至侮辱、漫骂暴雨般地袭来：科学院拒绝接受他的论文，大主教宣布他的学说是“邪说”。大多数的权威们称罗巴切夫斯基的学说是“伪科学”，是一场“笑话”。即使那些心肠比较好的人最多也只能抱着“对一个错误的怪人的宽容和惋惜态度”。连不少著名的文学家也起来反对这种新的几何，如德国诗人歌德在他的名著《浮十德》中写下了这样的诗句：有几何兮，名曰“非欧”，自己嘲笑，莫名其妙!

    面对种种攻击、嘲笑，罗巴切夫斯基毫不畏惧，寸步不让。他像屹立在大海中的灯塔，表现出一个科学家“追求科学需要的特殊勇敢”（伽利略语）。罗巴切夫斯基坚信直己学说的正确性，为此奋斗一生。从1826年发表了非欧几何体系后又陆续出版了《关于几何本原》等8本著作。在他逝世前一年，他的眼睛差不多瞎了，还口述用俄、法两种文字写成他的名著《泛几何学》。

    毛泽东指出：“许多自然科学理论之所以被认为真理，不但在于自然科学家们创立这些学说的时候，而且在于为尔后的科学实践所证明的时候”。非欧几何创立后的几十年间被人不理解、讥笑甚至反对。1868年意大利数学家贝尔物拉米(1835 -1899)利用当时微分几何的最新研究成果，证明了伪球面上的几何学是罗巴切夫斯基的非欧几何学。伪球面是一种形如喇叭的特殊曲面，具体而又实在。此后非欧几何学的基本思想才开始为人们所理解和接受。特别是到20 世纪上半叶，非欧几何学的空间概念在爱因斯坦的广义相对论中得到应用，以及在天体大范围观测和原子微观领域研究中得到证实后，我们就不得不承认它是更深刻地反映现实世界空间形式的一种科学真理了。并从此得到进一步的应用和发展。