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浅析第五公设的证明及其影响与意义 由于欧几里德的 第五公设陈诉不够自明，又更像一条定理，因而引起人们的极大关注。数学家试图从欧几里德的其他公设与公理中将其推导出来。这种尝试，使数学家忙碌了两千多年，虽然提出了这样或那样的证明，但最终发觉在每个证明中或早或迟都使用了等价第五公设的一条命题（即是这些证明逃脱不了循环论证的命运）。尽管如此，在一些研究中还是孕育了积极的思想。 以下给出各时代有代表的数学家给出的第五公设证明过程。 首先欧几里德第五公设：若一条直线与另外两条直线相交，当有一侧的两个同侧内角之和小于两直角是，则这两条直线就在这一侧相交。 一、公元五世纪普罗克鲁斯对第五公设的试证过程：设共面的两条直线L1与L2被第三条直线L3所截，在直线L3的一侧构成同侧内角α和β，并且α＋β＜2d(d表示直角)，求证L1与L2两直线必相交。
这样就证明了两条直线L1，L2必相交，并且交点在被第三条直线L3所截的同侧内角之和小于两直角的一侧（证毕）。 普罗克鲁斯在这个证明中作了两个假设。 （1） 当C点沿直线无限远离B点时，距离H=CD，将无限增大。 （2） 两条平行线之间的距离是有限的，并且处处相等。 事实上，（1）是对的，它可利用《几何原本》中的公设4和公理5推导出；而（2）是错的，它是一个与第五公设等价的命题。普罗克鲁斯的“证明”显然没有达到目的。 二、意大利数学家萨开里对第五公设的试证过程：萨开里考虑底边AB上两底角都是直角，并且两条侧边AD和BC相等的四边形ABCD（图1.2）。他首先证明AB和CD的中点连线EF与上下底边垂直，并且两个底角∠C=∠D，这时三种可能： (1) ∠C和∠D都是钝角（钝角假设） (2) ∠C和∠D都是直角（直角假设） (3) ∠C和∠D都是锐角（锐角假设） 其中，钝角假设易被否定，而直角假设可推导出第五公设成立，于是只要否定锐角假设即可。萨开里企图由锐角假设成立而引出矛盾。他推导三十多步都没有找出矛盾，在深入展开推论，则建立了复杂的几何体系，其中有一部分结论于直觉不符，却找不到在逻辑上的自相矛盾的地方。例如，他证明了，这两条直线在它公垂线两侧相互无界的分离；或者没有公共的垂线，这两条直线在一个方向无限接近，而在另一方向则无界的分离。这些结论从逻辑上挑不出任何毛病，但他却认为这些结论不合情理，于是由此断定锐角假设是不真实的。这样，他自认为自己证明了第五公设。实际上，萨开里得到的一系列异于直觉的推论正是属于非欧几何的可惜他自己并未察觉这一点而把他否定了。
三、德国数学家兰伯特也有类似的对第五公设的试证。他于1766年在其著作《平行线理论》中考虑有三个内角都是直角的四边形ABCD(图1.3).他对第四个内角的三种可能性分别做了分析：直角假设等价于第五公设；锐角假设不可能，他与公设4，公理5矛盾；对于从锐角假设推导出的结论，他猜想可能应用于虚半径球面的图形上，兰伯特的几何观点是比较先进的，他认为任何一组假设，如果不导致假设矛盾，那么一定提供一种可能的几何。兰伯特比他用时代的人走了更正确的途径，他预感到第五公设问题的真正的答案
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数学的特殊成果，一般不会只是个人的工作。这种数学积累的发展，特别适用于创立非欧几里德几何的情形。前面已经介绍的是非欧几何的先行者。而非欧几何的发现者，应属于以下三个数学家——德国的高斯；匈牙利的波尔约；俄国的罗巴切夫斯基。 高斯在19世纪初也曾试图证明第五公设。他在1817年的同信中即谈到“所要证明的部分是不可能的……”1824年，在一封信上说“三角形的三内角之和小于180度这假定引导特殊的，与我们的几何完全相异的几何”。但是由于种种原因，高斯生前并未发表关于非欧几何的任何研究成果。 波尔约在1823年已得到关于新的平行线理论的结果，1832年一附录的形式在他父亲的一本书后发表了他的研究成果《绝对空间的科学》，其中论述的“绝对几何”就是非欧几何。由于他的工作得不到同时代的数学家的理解，特别是得不到高斯的理解，从此他放弃了数学研究。
罗巴切夫斯基建立的非欧几何在当时没有得到人们的承认。在他去世后，意大利数学家贝尔特拉米于1868年发表论文《关于非欧几里德几何的解释》，其中给出了罗巴切夫斯基几何的第一个模型——具有负常曲率的为球面，使得罗巴切夫斯基几何有了现实的意义。可以说这时人们对罗氏几何看法的转折点。此后又有克莱因和庞加莱关于罗巴切夫斯基几何的解释。使得罗氏几何最终被人们所确立。 罗巴切夫斯基成功的建立了一种非欧几何，解决了第五公设问题，即它不可能用除它以外的欧几里德的其余公理加以证明的。1899年，数学家希尔伯特在其《几何基础》中最终弥补了欧几里德公理系统的不足之处，提供了一个完善的公理系统。 这样，两千多年来欧几里德几何作为反映现实世界的唯一正确的几何空间的地位被动摇，为创立不同的几何学开辟了道路。而第五公设的证明所带来的影响也是深远的。 非欧几何的创立在数学中导入了富有革命性的思想。一开始被视为离经叛道，为人所不容，后经过一代又一代数学家的努力才使人们最终接受和理解。17世纪初期，生产的发展和科学技术的进步给数学不断提出新的问题。如在变速运动中如何解决速度，路程与时间的变化问题等，解决这些问题，必须使用——变量数学，作为非欧几何的解析几何因运而生，他将代数与几何统一起来，使常量数学进入了变量数学；微分几何创立与18世纪，当时研究内容只涉及用分析方法研究位于欧式空间中的曲线，曲面的性质。1827年高斯发表《关于曲面的一般研究》，提出了内蕴曲面理论，为微分几何的研究注入了新的思想，即将参数表示的曲面本身视为一个空间，它的特性不依赖与他的包容空间，开创微分几何的现代研究。1854年黎曼《论作为几何学基础的假设》中，创立了黎曼几何学。为物理与力学的研究提供了各种空间模式和数学工具，如爱因斯坦的广义相对论就是一黎曼几何为数学工具的例证。 15－16世纪文艺复兴时期，随着绘画和建筑艺术的发展，欧洲学者发现透视原理。1639年法国数学家G.Desargues,在其著作《试图处理圆锥与平面相交情况初稿》，通过对透视的研究，提出了射影几何的一些概念
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