平行线及相关的数学发展-存在两条以上的平行线罗巴切夫斯基几何

罗巴切夫斯基非欧几何

人们开始尝试通过其他的途径，寻求对平行公设进行更加合理的解释。最简洁的方法就是取消这个公设：如果能够借助其他五公公理和四个公设证明平行公设，那么，这个公设就没有单独设立的必要了。意大利数学家萨谢利（1667-1733）独具匠心，希望借助反证法来证明平行公设。他的证明思路是这样的，先用与平行公设有本质不同的命题来代替这个公设，也就是分别考虑两种情况：一种情况是过直线外一点不存在平行线，另一种情况是过直线外一点存在两条以上平行线。在这个基础上进行逻辑推理，如果得到了荒谬的结论就等价地证明了平行公设。萨谢利推导出了一些有意义的命题，比如，三角形内角和小于两个直角之和。他认为其中的有些命题是荒谬的，于是他认为完成了对平行公设的证明，并于1733年著书《欧几里得无懈可击》。

可是，后来数学家们经过认真分析发现，萨谢利得到的那些命题既不矛盾，也不荒谬。这个发现启发数学家们思考，是否可以用其他的命题来替代第五公设呢？是否可以建立起与欧几里得几何不同的新的几何呢？这个想法是非常大胆的，我们曾多次谈到，从数学的创立开始，人们就对数学所研究对象的存在形式争论不休，争论在本质上分两派：一派是从柏拉图开始，认为数学所研究的对象是先验的，因此数学所研究的对象是人们依赖经验抽象出来的，因此数学家的工作是去创造数学方法并合理地描述大自然。可是，现在数学家要在完全没有背景的前提下，违反常规地创造数学了。这样创造出来的数学能够找到物理世界中的现实意义吗？反之，有没有这样的可能，几千年来人们已经熟视无睹，认为是常规的那些知识恰恰不是常规呢？我们来分析下面的逻辑推理是否成立。

假定我们可知的空间范围是有限的。在可知的空间范围内两条直线是不相交的，可是我们却无法知道这两条直线是否永远不相交。这个设想是现实的，古希腊学者爱拉托色尼在计算地球的周长时就曾经假设：太阳的光线是平行地照在大地上地。在浩瀚无垠的宇宙，太阳只能被看做一个点，因此照射在地球上的太阳光线是来源于一个点，虽然如此，我们任然认为在“可知的空间范围”内太阳的光线是平行的，否则就无法进行科学研究。对于这样的基于经验的，合理的想法，如何才能抽象为数学研究的对象呢？

高斯

德国伟大的数学家高斯（1777-1855）在1799年就确幸平行公设不可能用其他公理和公设推理得到，他1824年给德国数学家托利努斯（1794-1874）的信中写道：

“假定三角形内角和小于180度将导出一种奇怪的几何，它与我们的欧几里得几何非常不同，但却是完全相容的，我已经将它发展得令自己完全满意了。它的定理看来是矛盾的，但是，如果你从开始的不习惯到对它心平气和和深入思考，就会发现这里并没有什么不可思议的东西”

高斯非常清楚，三角形内角和小于180度的假设需要在很大范围内才能够验证，于是他利用三座山进行测量，可是得到的结果是180度15分，比180度还要大。虽然结果并不能说明什么，但是高斯的思考是非常有价值的，我们需要把几何学的研究从书斋利延申到自然界。可惜的是，高斯对发表研究成果非常谨慎，他一直遵循“宁可少一些，但要好一些”的原则，因此他的这些研究结果一直到他去世后才被整理发表，这比其他两位非欧几何的创始人，俄罗斯数学家罗巴切夫斯基（1793-1856）和匈牙利数学家波尔约（1802-1860）有关结果的发表要晚近三十年。

罗巴切夫斯基

罗巴切夫斯基于1826年首次发表了他的新学说，虽然一开始人们并不理解，但是他坚持不懈地进行研究和著作，他执着的学术精神得到后人的高度赞扬。波尔约的父亲是高斯的密友，波尔约于1823年得到关于非欧的基本原理，于1832年在他父亲著作的附录中发表了他的研究结果。后来，人们称这种非欧几何为罗巴切夫斯基几何，或者罗巴切夫斯基-波尔约几何。从数学构造考虑，1871年德国数学家F.克莱因（1849-1925）称这类几何为双曲几何。

我们已经说过，这类几何的特征是假定可认知的世界是有限的，在这个假设条件下 关于平行线的基本逻辑可以表述如下：

如图（1）所示

图（1）

椭圆内是我们可知的世界，对于给定直线a外一点A，过A作直线的垂线交直线于B，记A到垂足B的距离为d。这样，可以把所有过A点的直线分为两类：一类与直线a不相交，一类与直线a相交。令这两类的直线的边界为直线c和直线c’，由距离的对称性可以推出边界线关于垂线对称，即两个边界线与垂线的夹角相等，设这个夹角为α并称这个夹角为平行角。

如果平行角α为锐角，由定义可以知道，凡是与垂线的夹角大于平行角的直线都与直线a不相交，都是直线a的平行线，因此过直线外一点将有无数多条直线与已知直线平行。随着距离d缩小，平行角α逐渐增大，当距离d趋近0时，平行角α趋近直角。如果平行角α为直角，则直线c和c’重合，这就得到欧几里得平行公设，也就是说，在这个时候过直线外一点只有一条平行线与已知直线平行。

显然，如果平行角α为锐角，三角形内角和将小于180度；并且，在这个几何中，两个三角形相似则必然全等。但是，除了与平行线有关的命题之外，罗巴切夫斯基几何的其他许多命题与欧几里得几何是一致的。从上面的分析也可以看到，只有在非常大的范围，即距离d很大时，罗巴切夫斯基几何才会与欧几里得几何有所区别，所以，当年高斯没有测量出这两种几何差别的原因，一方面可能是因为测量误差，一方面也可能是因为他选择的三个山头的距离还是太近。