让几何学精神在中国大地生根

《几何原本》是人类历史上最伟大著作之一，欧几里得集先贤之智，重塑了人们对数学的理解。在这本书之后，公理化成为数学的基石，数学家延续这一条路发展了深刻而广博的逻辑世界。在伟大的学者帕斯卡看来，公理化即几何学精神，其内涵并不只与几何学有关，而是应融入于人类思想。牛顿《自然哲学的数学原理》等伟大著作的诞生便是几何学精神的结晶，可见其重要意义。《几何原本》自诞生以来，从最初的原始版本到手抄本、印刷本，各种语言的译本不计其数。如今，以希思英文评注版为底本、更忠于原文的中译本已经推出， “以助几何学精神在中国大地生根”。

撰文|刘钝

柏拉图在《理想国》中借苏格拉底之口提到，几何学是能把人的灵魂引向真理从而认识永恒事物的学问。从古希腊到罗马以迄文艺复兴，几何学在西方以“七艺”为目标的人文教育中始终占据着核心位置。直到18世纪，欧洲人还把天文学、力学和一般物理科学的探索者称为“几何学家”，因为这些人都遵奉同一范式，以欧几里得编纂的《几何原本》为学问之宗。此书被称为科学的《圣经》，它也的确是印刷术在西方出现以来发行版本与印数仅次于《圣经》的一本书，且不说15世纪之前众多的希腊文、拉丁文、阿拉伯文和波斯文抄本了。

欧几里得的生平事迹已不可详考。按照后世希腊与罗马作家的说法，他在《几何原本》中汇集了许多前代数学家的工作，包括毕达哥拉斯、欧多克索斯、泰阿泰德、希俄斯岛的希波克拉底（Hippocrates of Chios）等。但早期的抄本都没有完整地保存下来，直到19世纪初，西方和伊斯兰世界各种文字的《几何原本》几乎都可以追溯到同一个源头，即公元4世纪亚历山大城的西翁（Theon of Alexandria）整理的希腊文修订本。1808年，有人在梵蒂冈图书馆发现了一个10世纪的希腊文抄本，经研究发现其母本要早于西翁。丹麦著名古希腊文献学家海贝格（J. L. Heiberg）从1883年开始，历经30余年完成《欧几里得全集》希腊文-拉丁文对照本，其中《几何原本》就以梵蒂冈本和西翁本为基础，这也成为各种现代版本的重要依据。1908年，英国数学史家希思（T. L. Heath）以海贝格希拉双语对照本为基础，并参考多种重要的西方文本，出版了权威的英文注释本。希思的书曾多次修订重版，是当代《几何原本》研究公认的善本。

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明末来华的耶稣会士借助科学知识和与当地知识分子融通这两大策略传播天主教。1607年，利玛窦（M. Ricci）与徐光启合作出版了六卷本的《几何原本》，其底本是利玛窦在罗马的老师、耶稣会数学家克拉维乌斯（C. Clavius）的拉丁文评注本，此时距离世界上第一个印刷本在威尼斯问世已有125年，但与其他一些欧洲文字的初版相比还不算太迟。徐光启总结的“四不必”“四不可得”“三至”“三能”^[1]体现了他对公理化方法的初步认识与对演绎推理的尊崇，可惜明清两代达到这种认识高度的人凤毛麟角。在相当长一段时间里，中国学人对前六卷以外的内容毫不知晓，顶多有人根据其他文献披露的零散信息做过一点猜测。1857年，英国传教士伟烈亚力（A. Wylie）与李善兰合作，翻译出版了《几何原本》后九卷（其中卷14、卷15不是欧几里得原作），所用底本是英国人比林斯利（H. Billingsley）1570年的英文本，这也是世界上最早的完整英文译本。从1607年到1857年，经过整整250年，《几何原本》在中国始成完璧。

这中间还出现了一个不容忽视的插曲：1690年在清宫服务的法国传教士，出于迎合中国皇帝口味和扩大法国影响的双重目的，在康熙的许可下改用法国耶稣会士数学家巴蒂（I. G. Pardies）编写的教本进讲。这一整理后的讲稿实为巴蒂氏几何学的摘译本，后来被收入标榜“康熙御制”的《数理精蕴》，与“河图”“洛书”“周髀经解”等一道并为数学之“立纲明体”。由于康熙帝的介入，明末传入中国的欧几里得《几何原本》逐渐为巴蒂系统的《几何原本》所取代，后者与欧几里得《几何原本》的最大区别，就是忽略或极大简化了公理体系的作用，而增加了立体求积、绘图、测量等实用内容。

欧几里得《几何原本》的内容并不限于今日意义的“几何学”，它也包含了古希腊的算术、数论等。全书是一个由定义、假设、命题和推论组成的严格的、演绎化的数学证明集合。现代通行的版本结构大致相同，以希思本为例，共有13卷，包含5条公设、5条公理、131个定义、465个命题（定理）以及若干推论。欧几里得几何学系统涵盖的命题当然远不止此，以曾在中国流行一时的长泽龟之助《几何学词典》为例，全书就包括2428个命题，他的《续几何学词典》则有1638个命题。以今日观点来看，欧几里得的伟大并不在于系统整理并严格证明了数百个几何学命题，而是为推演自己的几何学体系制定的公理化基石。

一个成功的公理系统应当满足三个基本条件：一是独立性（不能多），二是完备性（不能少），三是自洽性（同一系统不能存在互相矛盾的命题）。以这三个条件来看欧几里得的公设和公理，今人不得不佩服他的深思熟虑和超凡见地。也正是对欧几里得公设的严格审查，导致非欧几何、数学基础以及现代公理化运动的诞生。关于公理化方法的意义，诚如希尔伯特所言：“（通过公理化）我们能够获得科学思维更深入的洞察力，并且弄清楚我们知识的统一性。特别是，得益于公理化方法，数学似乎被请来在一切学问中起主导作用。”

“几何学精神”（法文Esprit géométrique）的实质就是公理化方法，最早提到这个词的大概是法国数学家帕斯卡。后来担任巴黎科学院常任秘书的丰特奈尔（B. B. Fontenelle）不遗余力地加以鼓吹，他在1699年写道：“几何学精神并不是和几何学紧紧捆在一起的，它也可以脱离几何学而转移到别的知识方面去。一部道德的、或者政治的、或者批评的著作，别的条件全都一样，如果能按照几何学者的风格来写，就会写得好些。”牛顿的《自然哲学的数学原理》、斯宾诺莎的《伦理学》都是按照几何学风格写成的书。据说年轻时的林肯经常揣着一本《几何原本》，他曾宣称：“如果不懂得什么是证明，就绝不可能成为一名好律师。”

明末六卷译本和清末后九卷译本，以及据此集成的十五卷中文译本，在明末和整个清代都有多种不同的刊本，详情不赘。1990年，陕西科学技术出版社出版了《几何原本》的当代汉语译本，译者是兰纪正和朱恩宽；此书又于2003年再版，1992年还由台湾九章出版社发行了繁体字本。1987年，内蒙古人民出版社出版了莫德的五卷蒙古文译本。2005年，人民日报出版社编译出版了一个“视图全本”，书中插入的大量图像与文本没有什么关系，以通俗读物的形式来包装最重要的古代数学经典，这一做法似乎不太成功。

本书译者张卜天学养深厚、著译等身。他翻译的书多可归入科学与西方现代性的起源这一范畴，这一次他的致力算是最接近西方科学的源头了。他采用的底本是希思的英文评注本，但是略去了希思所写的长篇导言与注释，这样就为中文读者提供了一个尽量接近原典的朴实可靠读本。蜚声学界的商务印书馆将此书列入“汉译名著”系列，以助几何学精神在中国大地生根。是为序，是为庆。

注释

[1]徐光启《几何原本杂议》称“此书有四不必：不必疑，不必揣，不必试，不必改。有四不可得：欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更置之不可得。有三至三能：似至晦，实至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，实至简，故能以其简简他物之至繁；似至难，实至易，故能以其易易他物之至难。”

本文原为张卜天译《几何原本》（商务印书馆，2020年7月）所写序文。