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数学史上，一般将以算术、代数与直观几何为基本内容之算法体系，称为东方式数学，可称为数术；而将希腊式、以论证为主的逻辑演绎体系之数学，称为西方式数学，后世数学基于此而形成。西方式数学由于经常脱离实际，因此得以放纵思维，极尽抽象之能事，从而构造出博大精深之数学体系。其应用之广泛、结构之严谨，思维之抽象，令人叹为观止之余，也使包括专业人士在内之人头痛万分。而中国传统数学之实用性以及早期领导者以民为本之思想，决定了东方式数学之主要目的只是解决实际问题与提高计算技术。 在东西方数学发展之进程里，最基本却也最深刻、最具体却也最深奥之研究对象，不约而同地，当属“数”无疑。数合在一起，便形成了数之集合，而不同之集合，构成不同之数域。关于数域之发展，很能体现东西方数学之区别。 数域之扩张过程以自然数为基础。德国数学家克罗内克（L.Kronecker，1823-1891年）曾说：“上帝只创造了整数，其它尽皆人为。”很多学者认为零与自然数之产生源于人类在生存活动中的原始冲动，而人有十指与十进制之广泛使用当然也关系密切。自然数的使用是初等而易被接受的，原始社会时人利用刻石或结绳等方式来记录数量也说明了这一点。 因为自然数加自然数还是自然数，则称自然数集合对于加法是封闭的。同一数之加法次数一多起来，便产生了乘法。自然数集合对于乘法也是封闭的，即两个自然数相乘仍旧是自然数。比较产生了减法，并导致了负数概念之产生：“负数”是使得它与该数之和等于0的数。自然数对于减法是不封闭的，如2-3=-1就不是自然数。看来，数域有必要再被扩张。零、负整数与自然数合称为整数，其对于加、减与乘法都是封闭的，但对于除法不封闭，如10除以7就不等于整数。看来，数域还需要继续扩张。由于某些物品之可分割性，人类想到了切块均分之法，如此便产生了分数。分数与整数合称为有理数，有理数对于加减乘除四则运算都是封闭的。可见，有理数之产生是劳动人民计数或测量所导致的。意料之中的是最早出现之无理数也与计数、测量有关。乘法之重复进行产生了乘方，23就是三个2相乘，然而哪个数的平方等于2呢？由此，无理数开始困扰整个西方数学界。 虽然无理数是如此长久而持续地困扰着数学家，但其实在应用方面，绝大多数人并不关心它到底如何地不循环，只要精度足够就好了。17世纪末至18世纪初，瑞士数学家、物理学家欧拉（Euler，1707-1783年）等人利用连分数来对无理数作有理逼近。如 依次取近似值，分别为： 有理数与无理数合在一起，就构成了实数，中国古人对于数域之研究与开拓到此为止，且在整个发展过程中，并未对数域分门别类。然而西方数学家在17世纪以后，将数学大量引进哲学领域，从而开拓出一大批科学分支，从而更加勇猛精进，并引入虚数，将其与实数结合，扩充为复数。 实数相对比较好理解，而虚数到底是什么呢？西方数学家与物理学家为此困惑了数百年，直到搞明白虚数之物理意义（或者说几何性质），才开始承认这种虚拟之数是有用的。比如说坐标旋转，可以采用变换公式 表示坐标点逆时针旋转α弧度后变成。若α=π/2，则为逆时针旋转90o，此时 这其实相当于 即向量逆时针旋转90o其实就相当于其对应坐标乘以虚数单位，而向量顺时针旋转90o就相当于用其对应坐标乘以-。一旦明白了这一点，一些几何问题或物理问题就变得简单得多。 德国数学家、物理学家高斯（Gauss，1777-1855年）等学者对于虚数之应用一直采取较保守之态度，直到弄明白±i其实和±1一样，既然±1可表示直角坐标系中两个水平方向之相反的长度单位，±也就可以用来表示该坐标系中两个竖直方向之反向长度单位，如图1.4所示。此后，虚数之几何意义渐渐明朗，在物理学之应用亦越来越多，而数学家也开始释怀。 虚数单位与实数单位 1843，爱尔兰数学家哈密顿（W.Hamilton，1805-1865年）提出形如
之四元数，其满足运算法则
四元数虽然抽象，但其与时空非常协调，因为一个物理点刚好需要四个维度（一维时间T和三维空间R3）才能描述。犹太裔美籍物理学家爱因斯坦（Einstein，1879-1955年）的相对论已经证明：空间与时间相互关联、彼此不能分离而存在。这种统一的四维宇宙可用四元数很好地表示出来。 四元数引发了人们去寻找新的超复数系，如1844年德国数学家、语言学家格拉斯曼（Grassmann，1809-1877年）创立了n个单元之超复数；1845年英国数学家凯莱（A.Cayley，1821-1895年）创立了8个分量之超复数。此前，高斯曾猜测：“保持复数基本性质之数系不能再扩张。”该结论后为德国数学家魏尔施特拉斯（K.Weierstrass，1815-1897年）与戴德金（R.Dedekind，1831-1916年）所证明。而后德国数学家费罗贝尼乌斯（F.G.Frobenius，1849-1917年）给出了更强的结论：具有有限个单元的、有乘法的、服从结合率的实系数线性结合代数系统只有实数、复数与四元数。 西方数学家在开拓数域时，虽小心翼翼且跌跌撞撞，但成就非凡。而翻翻中国古人留下之数学著作，绝大多数似乎是在玩代数游戏，其虽思想深刻、技巧高超，但就难度而言，比之西方数学相差甚远。虽其中不乏刘徽（约公元250-295年，魏晋时人）、祖冲之（429-500年，南朝人）、秦九韶（1208-1261年，南宋人）等远超同时代西方数学家之杰出人物，但就整体比较而言，中国古代数学之思想是无法与西方相比的。那么中国古代之数学家们，到底做什么去了呢？ 因为《易经》之影响，造成了“象数”观念之流行，并推动了数的处理与组合等系统理论之发展。象数即物数统一，讲究“法于阴阳，和于术数”，其最深刻之思想，即相当于今日高等代数之对偶空间理论。而关于数之处理与组合理论，古中国之数学家们并未全力去构造今日所谓之组合数学或矩阵论，而是将其应用于医、卜、星、象与奇、门、遁、甲，甚至相术与堪舆等。 （南宋）秦九韶在其《数术九章》之序中曰： 爰自河图洛书，闿发秘奥，八卦九畴，错综精微，极而至于大衍、皇极之用，而人事之变无不该，鬼神之情莫能隐矣！ 可见，秦九韶认为，中国数学之起源可以追溯到“河图洛书”、“八卦九畴”，即将数学之起源归于《易经》。可见，在中国古代，数术学之地位比之数学而言，有过之而无不及。刘徽为《九章算术》作注时在序言中道： 昔在包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之数，以合六爻之变。暨于黄帝，神而化之，引而伸之，于是建历纪、协律吕，用稽道原，然后两仪四象精微之气可得而效焉。 即刘徽认为，数学是伏羲氏为了“合六爻之变”而发明的。六爻，即六十四卦中每个卦象皆由六个爻象组成，其变化原理深合数学之道。据传此术后来经由华夏始祖黄帝进一步发展，以发挥《周易》“两仪四象”之功效。 （元）朱世杰（1249-1314年）在其《四元玉鉴》一书之“前序”中道： 数一而已。一者万物之所从始，故易一太极也。一而二，二而四，四而八，生生不穷者，岂非自然而然之数耶？河图洛书泄其秘，《黄帝九章》著之书，其章有九，而其术则二百四十有六，始方田，终勾股，包括三才，旁通万有。 显然，朱世杰也认为中国数学最早源于河图洛书。作如此想的还有很多数学家，如（明）程大位（1533-1606年）在其《算法统宗》“总说”篇中道： 数何肇？其肇自图、书乎！伏羲得之以画卦，大禹得之以序畴，列圣得之以开物成务。凡天官、地员、律历、兵赋以及纤悉杪忽，莫不有数，则莫不本于《易》、《范》。故今推明直指算法，辄揭河图、洛书于首，见数有原本云。 程大位还在“书《直指算法统宗》后”一篇中道： 数居六艺之一，其来尚矣，盖自宓戏宰世，龙马负图，而数肇端。轩后纪历，隶首作算，而法始衍。故圣人继天立极，所以齐度量而立民信者，不外黄钟九寸之管。 不难理解，中国古代数学家把数学之起源归于《周易》与河图洛书，不仅仅是为了从数学发展史之角度确定数学之来源，更在于说明《周易》之原理与数学研究之间有着密切关系。这一趋势，将古代中国之数学家牢牢地束缚在了数术之上。也就是说，古中国之数学家在探究算术之同时，也必须孜孜不倦地探究哲学、神学、天文、历法、七政、星象、医学、格致、阵法、物候、博物、方术、相术、命理、八字、风水、堪舆、择吉、占卜、太乙、风角、奇门、遁甲、律吕、博弈等一大批杂学。 纵观西方历史，从未有哪本著作能对后世几乎所有数学家产生如此深远之影响。这恰恰使得西方数学家们能自由发挥才能，从而创造出今日复杂而绚丽之数学帝国。西方人今日之灿烂科学成就，正得益于其整体高精度之治学态度。 |
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