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数是可以用来进行运算并且能同客观事物相联系的一些记号，它是量的抽象，可以脱离量而形式地加以研究。 一、数的概念的发展历史的简述 数产生于数数和测量，人类最初为了实际上的需要，要对某种物体的集合作出量的估计，只能运用最原始的方式。在我国有"结绳"计数的说法，外国原始氏族用"堆石子"的方法来计数，如把牛羊头数与石子个数建立一一对应，以检查牛羊头数是否减少或增多，这样在经验的积累中，逐渐形成了"多少"的概念。 在这个历史时期里，数还没有被人们从具体事物中分离出来，但已经被人们直接理解为事物集合不可缺少的性质。 在更高的发展阶段中，人们明确了数是事物集合的性质，但还没有抽象的数的概念。例如在某些民族给予数的名称里，数"五"是用"手"来表达的，数"二十"是用"整个人"来表达的。这就是说，他们把"五"理解为"象手掌上指头那样多"，把"二十"理解为"象一个人身上所有手指和脚指那样多"。 人们在世世代代里、千百万次重复地进行比较和计算，最后才把数与具体事物集合相分离，引进数字符号。正是数字符号使人们对自然数的认识起了重要作用。数字符号不仅是抽象的数的具体化身，而且给出了运用大数的可能性。人们认识到自然数列可以无限延续下去这一事实，并建立和证明了数的普遍定理，这时，关于自然数的概念才形成了。 人们由数数逐渐认识了自然数，并用十进位的位值记数法把它表示出来。最初，某一数位上的数不存在，就在该位留一个空白，例如八百零五就用8 5表示，把十位空着表示"无"；后来为了避免误解，就用在两数之间加上一点来表示，写成8·5；逐渐地，这个点又变成圆圈，记为805，这样，数"0"才同其他数字具有同等的地位。由于记数形式上的需要，引进数零，把自然数集扩充成为扩大的自然数集，即非负整数集，这就是小学算术里数的概念的第一次扩充。但是在数的发展史中，零作为数被引进数系是比较迟的，而数的概念是最先一次扩充，则是引进正分数。 随着社会的发展，需要丈量土地、计算产量、分配劳动果实等，对于象长度、时间、重量等量，仅用自然数就不能把它们完全表示出来。自然数的局限性，促进人们引用等分整数的数即正分数，形成非负有理数集，这是小学算术里数的概念的第二次扩充。2000多年前，我国的数学名著《九章算术》中一开头就讲了分数，并给出加、减、乘、除四则运算的法则，这是世界关于分数的最早文献。 由于表示具有相反意义的量和需要，在算术数(非负有理数)的基础上，引进负数形成有理数集。这是数的概念的第三次扩充。我国使用负数比任何国家都早，在《九章算术》第八章"方程"里，提出"正负术"，完整地叙述了正负数的加减运算法则。 数的扩张的另一个进展发生在古希腊。早在公元前五世纪，比德哥拉斯在研究用一个正方形的边长作为单位长，去度量这个正方形的对角线时，发现二者是不可通约的，不能用分数 表示，这就是无理数的萌芽。由于无理数的存在，使无 穷逼近概念及极限概念等得到发展，但实数理论却是直到19世纪因微积分奠基的需要才建立起来。在有理数集的基础上引进无理数，形成实数集，这是数的概念的第四次扩充。 15世纪中叶，欧洲工商业十分繁荣，航海、测量、天文、建筑等方面都提出了大量新的数学问题。1545年意大利数学家塔尔塔里亚在解三次方程中引用了负数开平方的运算，于是产生了负数开平方的思想，但许多数学家都不承认这种新数。直至1777年瑞士数学家欧拉才建立了复数的系统理论。在实数基础上 ，引进虚数，形成复数集，这是数的概念的第五次扩充。 从上面简单短的叙述中可以看到： 1.数的概念是逐步发展的，新数的产生是交错的。例如在人们没有认识负数之前，早已有了无理数概念；在实数理论还没有建立之前，已经产生了虚数概念。但是从大体上看，数的概念的历史发展是按照以下的顺序： 2.数的概念产生于实际需要。数系的每一次扩充，都是由于旧数集与解决具体问题间的矛盾而引起的。这些问题有的是从实际问题提出的(例如从自然数集扩充到实数集)，有的则是从数学本身首先提出的(例如虚数的引进)，然后取得实际解释。在关于数的概念的教学中，必须注意解决实际问题和解决数学本身的矛盾，两个方面不可偏废。 数的概念的每次扩充，都能解决数的运算的矛盾，这主要是解决"逆运算"的施行问题。在自然数集中，加、乘是可以施行逆运算的，但乘法的逆运算--除法不能永远施行，例如2除以3，商就不是自然数。引进分数后，除法(除数不为零)在算术数集就可实施。在自然数集和算术数集里，加法的逆运算——减法不能永远实施，例如2减去3，差就不是自然数或算术数，引进负数后，减法就可在整数集和有理数集里永远施行。要使正有理数乘方的逆运算——开方能够实施，就须引进无理数，把数集扩充到实数。要使负实数的开方能够实施，就须引进虚数，把数集扩充到复数。 |
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