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在数学的世界里,为什么要从自然数扩大到实数,进而扩大到复数?

2018-06-24  cailanzi2
各种数的由来
真是神奇又有趣
数的进化
回顾从自然数1,2,3,4,…开始,再加上分数、负数、无理数,直到成为实数的发展过程,可以说它很像是许多涓涓细流汇成一条大河。
[注:本文涉及的自然数不包括0。]
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自然数添上分数,再添上负数就成为了有理数(当然还要添上0);有理数再加进无理数就成为实数。可是光有实数还不够,再加上新来的虚数,这就诞生了更广泛的数——复数。
那么,为什么在数的世界里,要从自然数扩大到实数呢?他细想一想,这里有个一贯的原则。比如说,有一个人只知道10以内的数。
1,2,3,…,10
当然对这个人来说:加法也是不太行的。也就是说,即使取其中任意两个数相加,也有可能答不上来。如果是2 3,他知道是5。要是6 7的话,他就只好说“不知道”了。他即使知道10000以内的数也是一样。因为6000 7000的答案不可能在10000以内的数里找出来。
因此,为了无限制地进行+运算,就必须有无限多的自然数。这样就产生了所谓无限多的自然数的整体的想法,这就是
1,2,3,…
想象有这样一个自然数的整体,就可以自由的进行+运算了。这时,自然数的整体对于+来说叫做闭合。由于乘法也是自然数的相乘,是加法的重复,因此也能自由地进行。也就说自然数的整体对于×是闭合的。
所以在只考虑+或×的时候。只要自然数就够用,没有必要再考虑新的数。
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可是要考虑×的逆运算÷的时候,自然数就不再闭合。因为任意取两个自然数作除法结果却不一定是自然数。例如2÷3的结果就不是自然数。
自然数的范围太狭窄了,要想自由地进行除法运算,就必须增加新的数,这就是分数。在自然数与分数合起来的更宽广的数的范围内,+,×,÷就可以自由地进行。
然而,想到+的逆运算-的时候,这个范围又窄了。因为不能从小数减去大数,例如2-5,即使写出这个式子,也得不出答案。
为了让这个式子也能有答案,就必须想出-3这样一个新数。也就是说要自由地做-运算,需要有一种新的数——负数。
把数的范围扩大到正的自然数、负的自然数及分数,即有理数时,+,-,×,÷四则运算可以自由的无限制地进行。换句话说有理数对于四则运算是闭合的。
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19世练的天才数学家伽罗瓦把对于四则运算闭合的数的集合叫做域。按照这个叫法,也可以说整个有理数的集合是域。当然,叫域的除了有理数之外还有许多,对于我们来说最熟悉的首先就是有理数。
当数的世界扩展到有理数时,+,-,×,÷的计算虽然能自由地进行,但是还不具有连续性,所以仍然不能表示直线上所有的点。填满这些空缺就需要无理数。有理数与无理数合起来就是实数。有了实数就可以表示直线上所有的点。
总而言之,实数的集合就是对于+,-,×,÷闭合的一个域,同时还具有连续性。到此为止,似乎可以认为数的世界扩展可以暂时停止了。
可是,如果实数世界就是终点,数的交响乐不过是缺少最后乐章的未完成的交响乐而已。随着实数而来的最后的乐章就是复数。
四则逆运算
以前扩大数的世界时,在很多情况下它的契机是逆运算。例如,由于×的逆运算÷而增加了新的分数;由+的逆运算-而产生了新的负数。从实数产生复数的契机也仍然基于逆运算。
假如我们对于x这样一个实数任意进行+,-,×,÷四则运算时,可得到以下的式子:
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不管这些式子多么复杂,也只是+,-,×,÷的组合,所以只要x是实数,代入计算的值就也是实数。
比如设下面式子等于y:
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假定这个式子是从x算出y的,这就是四则运算。
现在来考虑四则运算的逆运算,也就是从y求出x。例如当y=2时,x等于多少呢?这个计算就是
为此,只要解答下面的式子求出x,
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去掉分母
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移项得
解满足这个方程的x,结果呢?所谓
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的逆运算不过是解代数方程,只此而已。
以前也有这样的事,就是逆运算要比原来顺运算难,如-比+难,÷比×难。现在的情况也是如此,解代数方程的运算是比四则运算要难。
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那么在实数的范围里,能不能自由地进行解这个代数方程的运算呢?答案是否定的。请看下面的实例。
在四则运算中,要是反过来从y求x的话,就不是任何时候都能行得通的。如果y是正数
可以求出实数x。如果y是负数,例如y=-1就不能在实数范围内找出与之对应的x。因为(实数)? 决不会是负数。
因此我们知道,在实数的范围内,对于四则运算的逆运算“解代数方程”来说,不是闭合的。要想自由地解代数方程,就必须打破实数的框框,导入新的数。这个新的数就是虚数。
代数学的基本定理
我们知道,如果把数的世界扩大到复数,那么二次方程,三次方程以及zn-1=0形式的n次方程就都是有限的。而且不管什么情况,根的个数和方程的次数相同。
这个试试能不能再一般化呢?也就是说所有的n次代数方程
axn a1xn-1 … an-1x an= 0
是不是一定有复数根呢?
这件事大约在200年前就曾设想过,但在漫长岁月里谁也不能证明。
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高斯:没错,又是我
首先证明这个事实的是20岁的青年高斯。他在1797年哥廷根大学的毕业论文里首先证明了这个事实。这个定理叫做代数学的基本定理,理由是解代数方程是代数学的最大任务。
这个定理就保证了代数方程不论如何都有根存在,不用担心为了找出不存在的根而白费劲,可是即便知道有根,要找出它来也决不是容易的事。
首先,解一次方程是很早以前就知道的。二次方程也是很早以前知道解法的。
但三次方程就是后来才找到解法。对于这件事,卡尔达诺和塔尔塔利亚还争论不休呢。
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卡尔达诺:貌似我每次出场都是因为这个……
到了四次方程可就难得多了,那是卡尔达诺的弟子费拉里(1522-1563)发现的。
方程的次数一高,方程的解法就像加速度一样变得更难。
征服了四次方程的数学家们,又着眼于解五次方程。在很长的时期里,这是数学家进军的目标。
你问登山家:“为什么要登喜马拉雅山呢?”登山家回答说:“因为它在那儿。”
数学家也像登山家那样,把阻挡在眼前的五次方程作为目标,不断地发起突击。
然而,所有的突击都被挡了回来。人们就渐渐知道这五次方程是格外棘手的目标。
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于是人们开始重新考虑。虽然根的存在是根据代数学的基本定理而得到保证的。可是解方程的手段如何呢?
仔细推敲解方程的手段,到四次方程为止,根是可以用+,-,×,÷还有开n次方n√等手段解出来。仍然只用+,-,×,÷和n√能解五次方程吗?
就像不带氧气,只用冰镐和绳索已经不能登上喜马拉雅山那样,数学家开始怀疑用以前的手段不能解五次方程了。
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阿贝尔:(回复楼上)你的感觉我都懂!
挪威数学家阿贝尔(1802-1829)从这种怀疑出发,终于证明了只用+,-,×,÷和n√不能解五次方程。
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伽罗瓦:(不理楼上几位)群论得有我。
接着伽罗瓦(1811-1832)把这个问题一般化,发现了只用+,-,×,÷和n√所能解的方程的形式。他因此所创立的群论使后来的数学发生了很大的革命。
本文节选自日本当代著名数学教育家远山启的作品——《数学与生活(修订版)》,为广大读者着想,该书避开了专用术语,力求结合日常逻辑来介绍数学。
本文由超级数学建模编辑整理
文字资料来源于数学与生活
配图来源于网络
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