虚数的诞生和推广颇有戏剧性,而当时人们并不能接受这种数。 图片来源:oshima-gakushujuku.com 方程的现代标记法是从哪里来的?谁首先想到用x来指称未知数?谁发明了+、-、=等符号?第一个给未知数命名的是古希腊的丢番图,我们上文介绍费马大定理的时候就提到过他。不难想象,要命名一个未知数,即我们不知道的东西,对最早的数学家来说并不是什么理所当然的事。丢番图将它称为arithmos,即希腊语里的“数”【法语里的arithmétique(算术)就是由此而来】,并且写下了包含用各种字母书写的未知数和数字的问题。题目的已知条件和证明都是用相当累赘的句子来表达的…… 丢番图的传统随后由中世纪的阿拉伯数学家继承,后者改变了用词。公元9世纪,花拉子米将未知数称为shay,意为“东西”。文艺复兴时期的意大利代数学家也使用了同一个词——意大利语里的cosa。当时深受阿拉伯影响的安达卢西亚人把这个词用拉丁字母写作xay。勒内·笛卡尔(René Descartes,1596-1650)完成了最终的简化动作,只保留了xay的首字母。于是,字母x就找到了在数学中的位置,后来又在法律界大展拳脚,并且保留了“被人们寻找的东西(或数字、人)”的意义。 与此同时,从弗朗索瓦·维埃特(François Viète,1540-1603)开始,标记法也逐渐适应了用字母——即用未知字母或甚至已知字母——表示的计算。人们渐渐习惯了最早的x、y、z等,以及接下来的a、b、c等。运算符号(+、-、×等),表示相等的符号(=),还有表示不等的符号(<,>),指数的写法(x²、x³等)也出现了。就这样,现代标记法在18世纪成形了。为了简便起见,在这章里,哪怕谈到阿拉伯和意大利代数学家更早的研究时,我们也会使用这些符号。 意大利人卡尔达诺(Girolamo Cardano)是文艺复兴时期通才型(polymath)学者,在数学、物理、天文、机械、化学、哲学等多个领域均有杰出贡献。图片来源:wiki 邦贝利(Raphael Bombelli),16世纪杰出的数学家,对于复数的运用领先于他的时代。图片来源:MacTutor 发明严格包括复数的复数域到底有没有用?数学家热衷于思考这类在普通人眼里毫无意义的问题。如果目的是解开方程,那么答案是否定的。为什么?很简单,因为我们可以证明复数域包含所有复系数方程的根。 我们将这一特点总结为,复数域是代数封闭的。更确切点说,所有实系数或复系数n次代数方程在复数域里都正好有n 个不同的或混合的解。这一结果被称为代数基本定理。由阿尔贝特·吉拉尔(Albert Girard,1595-1632)首先设想出来,随后由高斯证明。令人惊奇的是,虽然这是一个纯代数结果,但证明它却利用了解析法。 埃尔韦·莱宁(Hervé Lehning),法国数学研究者。1976毕业于里昂高等师范学院(ENS Lyon),获得数学学位。同时,他还是一家保险公司的计算机分析员。自1981年以来,他一直在巴黎百年老校詹森·德萨伊(Janson de Sailly)中学教数学,并在巴黎中央理工学院(Ecole Central de Paris)教计算机科学。他写了几本关于计算机在数学中的应用及其教学的书和文章。闲暇时候,他特别享受攀岩、登山和平静的家庭生活。他对密码学充满热情,是一位成功的普及者,著有《密码的世界:从古代到互联网》(2012),主编《数学史一千年》(2005)、《代数方程》(2005)、《变形:从几何到艺术》(2009)等作品。 |
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