|
至少在一百年以前，人们认为代数学基本上就是方程理论。很久之前，人们就已经得到了一元二次方程的解法，而随后的很长一段时间里，人们苦苦思索一元三次方程和一元四次方程的解法。直到16世纪，三次方程和四次方程的解法才得以发现。 1545年，数学家卡尔达诺出版了一本代数书，书名为《大衍术》(Ars Magna)，这本书上给出了卡尔达诺对一元三次方程的求解公式。有趣的是，这里面还涉及到关于三次方程求根公式的版权问题。事情是这样的: “ 不像牛顿与莱布尼兹的版权之争，塔尔塔里亚嘴巴笨且没有各种资源，自然在版权之争中败下阵来。否则，便能够在一元三次方程的解法上留下自己的名字，而不是被迫成为一个版权之争的失败者。 人们应当庆幸的是，在一元三次方程的解法被发现之后不久，一元四次方程的解法也公诸于世。的确，或许是处理两类方程的想法略微有点相似，使得两类方程求解的时间间隔不会太大。直到后来，人们发现并非一元次方程都是可以用根式求解的，这个故事就要涉及到天才数学家阿贝尔和伽罗瓦的故事了。 这两位数学家按照现在的说法，其实是一对CP，作为爱好数学的人来说，看这两位数学家的数学学习经历有点类似于嗑CP。 言归正传，人们会很自然地去寻找方程的解，然后更为重要的问题是:能否判断一个方程解的存在性? 事实上，这一问题其实也就是代数学基本定理要回答的问题。代数学基本定理如是说: “ 该定理被冠以代数学最基本的定理，多多少少会被当代数学人所诟病。代数学中还有群、环、域、模等抽象结构，这样的定理怎么就成了代数学领域的基本定理？稍安勿躁，且听我一言： “ 因此，那个年代里代数学基本定理其实也就是指出了方程理论中要解决的基本问题。如果没有办法保证一个一元高次方程的可解性，那么谈及它的根式解等等问题也就无从谈起了。 毫无意外，给出一个基本定理的背后，自然需要理论证明给予支持。在当下数学教材中，谈及代数学基本定理的证明者都逃不开数学王子——高斯。 1799年，高斯给出了代数学基本定理的第一个完全令人满意的证明。事实上， 比如，大数学家达朗贝尔就是如此。1746年，达朗贝尔首次尝试给出严谨的证明，但是由于他使用了需要基本定理成立才能证明的命题，因此依然是证明失败。 这样的例子也会发生在数学论文高产的欧拉身上。 令我们所知晓的是，高斯一生中给出代数学基本定理的四个证明（可能更多?）。尤其是第一个证明，涉及到几何上的考虑。在一般的高等代数教科书中，往往不会给出代数学基本定理的证明过程，或许是因为篇幅稍长，或许是因为有更加简洁的证明但是会涉及到高深数学理论。 毋庸置疑，在数学系的理论课程中，的确有一门课程给出了代数学基本定理的简洁证明。这门课程就是所谓的复变函数。 人们有理由相信:代数学基本定理涉及到复数概念，因此它的理论证明想必与复分析有一定关联。学习复变函数理论时，刘维尔定理则成了一个非常优美的定理，它是这样说的: 无独有偶，在复变函数中还有一个很漂亮的定理，名为:鲁歇定理。这个定理则是关于解析函数在区域内部的零点个数的定理，也可以用来证明代数学基本定理。 让人们惊讶的是，随时代发展至今，代数学基本定理至少有100多种证明方法。这些证明的过程一般来说都比较复杂，有的需要很高深的数学理论背景。 下面的图片来自于《数学天书中的证明》，在此分享一下它的一个证明过程: |
|
|
