一知半解漫说“数”

    “数”无疑是数学最主要的研究对象（之一？），数是最简单的，也是最复杂的。对于数，你知道多少呢？就让我这个半瓶子先来晃荡一下，也许非数学专业的朋友会有兴趣。科学网上高手如云，我是抛砖引玉，错了自有高人指正。

1. 自然数与整数

    小孩两、三岁就开始数数了。通常的目标是从一数到十，再到一百，等等。在小孩心目中，“数”总是与个数联在一起的，一个手指头是“1”，两个手指头是“2”，等等，小孩开始学加减法也是掰着手指头数的。这其实也就是人类最早对数的认识。通常我们用十进制数就是因为人类有十个手指头。从计算机科学看，人类如果一开始就使用二进制或三进制很可能更方便。玛雅人计数大概是手指头，脚趾头一齐上，所以是20进制。

    小孩数数为什么不从零开始呢？因为“零”其实并不好懂。你可以说，“零”对应“没有”，但在数中加入“没有”对小小孩也许并不好理解。零的记号“0”是印度人发明的，被称为是“对世界文明的杰出贡献”。

    在自然数（以及0）上做加、减法也很自然。那是东西的增、减。减是加的逆运算。要使减法总能做，就必须引入“负数”。“负数”也是印度人首先引入的，他们把它看作财产和债务的对立或直线的两个方向。现在我们看“负数”觉得很合理，但其实，迟至十八世纪英国还有数学家对负数发出抗议。由于引进“负数”，就有了整数（记作Z）。整数使得加法和它的逆运算总能实现。在数学上把它抽象成一种结构，称为“群”。

    一个非空集合S，加上一个运算?，称为一个群，如果它满足

    （i）封闭性：设a,b∈S，则a?b∈S；

    （ii）结合律：(a?b)?c=a?(b?c)；

    （iii）单位元：存在e∈S，使对任意a∈S，有a?e=e?a=a；

    （iv）逆元：对任意a∈S，存在唯一的逆元a?1∈S，使得a?a?1=a?1?a=e。

如果一个群还满足

（v）交换律：a?b=b?a，则称其为阿贝尔群。

    容易检验整数及其加法，(Z,+)，是一个阿贝尔群。

    自然数分为两类，一类数只能被“1”和自己整除，称为素数，如果除“1”和自己外，还有其他整数因子，则称为合数。素数无穷多，这是欧几里德在公元前270年证明的：反证，设其有限，将所有素数相乘再加一，它除了“1”和自己没有其他因子，所以也是素数。它又比所有素数都大，故得矛盾。

    素数虽然无穷多，但在越大的自然数里分布越稀。一个粗略的估计是，当n大的时候，大约有n/logn个小于n的素数。这称为素数定理。素数的分布是数论中最引人关注的一个问题，至今不知其解。黎曼猜想正是因为与素数分布有关，被称为数论中最重要（可能也是最困难）的一个猜想。

2. 有理数与无理数

    早期的数是和几何联在一起的，用尺规作图很容易做出一条线段的m/n。因此，分子与分母都是整数的数称为有理数，也就是合理的数。古代毕达哥拉学派（公元前500年左右）将数学作为宗教来崇拜，他们对数学做了许多杰出贡献，包括毕氏定理（勾股定理）、正多面体等。但他们只承认有理数，相信“万物皆数”。派中一人因说出他发现了正方形对角线与边不能公度（即不是有理数），就被众人沉入海底。

    到底什么是无理数？中学数学将其定义为无限不循环小数，这在数学上是不严格的。一种较为普遍应用的定义是所谓“戴德金（Dedekind）分割”。将所有有理数分为两组（A|B），A为上类，B为下类，即A中每个数都比B中数大。那么，或者A中有最小数，或B中有最大数，这时，分割就定义了这个界数（有理数）。第三种情况是A中没有最小数且B中没有最大数，这时，分割就定义了一个无理数。有理数和无理数统称实数。于是，有理数的所有可能分割就与实数一一对应。这个定义有点麻烦，但用它定义实数运算或研究实数性质都极其方便。

    大家熟悉的无理数，最多的是用根式表示的，如2√，也有不能用根式表示的，如π，e…。实数可能是自然科学中用得最多的数域。

3. “数”集合的大小

    一个有限集，它的大小可以用其数量来表示。这个数也称集合的势（Cardinal Number）。一个集合S，它的势一般用|S|表示。对于一个有限集，设|S|=k，那么，它有多少不同的子集呢？答案是2k。这是因为在一个子集里，S的每个元有两种可能：属于或不属于这个子集。

    那么，两个无限集怎么比大小呢？数学上是这么定义的：对两个无限集A和B，如果存在一个一对一的映射，则称它们势相等（一样多），如果A与B的一个子集一一对应，但A与B不能一一对应，则B的势比A大。

    “数”从一开始就是用来表示物体数量的多少，于是一类数有多少本身也成了一个重要问题。自然数是可数的，它的势称为可数势，记为?0. 那么，整数是不是可数的呢？如果令0?1，1?2，?1?3，2?4，?2?5…就可见整数与自然数一一对应。于是，整数可数。也就是：整数与自然数一样多！你也许会问：自然数是整数的子集，怎么会一样多呢？这个多少，是由我们定义所决定的。无限集的一个特点就是，它可以与自己的一个真子集一一对应。

    中学时看过一个讲“无穷大”的故事，说一家人请客，来了无穷多客人。天下雨，每个客人带一把伞来。宴会中来了个小偷，偷走了几把伞。等宴会结束，每个客人还能拿到一把伞，谁也没发现伞少了。

    表面上比整数“大”得多的有理数集，其实也是可数的。这不难，可以用分母大小排序。那么，实数是不是可数的呢？如果它可数，把实数排成x1, x2, x3, ?。定义一个数z，它小数点后第一位与x1 小数点后第一位不一样，小数点后第二位与x2小数点后第二位不一样，小数点后第三位与x3小数点后第三位不一样，如此等等，那么，z应该排第几位呢？那一位都不是。因此，实数集不可数。实数集的势称连续势，记作?.

    所谓连续统假定就是说，不存在一个集合，它的势比?0大，又比?小。

    实际上，我们可以证明：2?0=?. 也就是，可数集的所有子集具连续势。还可以证明，任何集合S都不可能跟它的子集族2S等势。因此，世界上不存在最大的集合，因为它的子集族一定比它大。

4. 复数

    最早引进并系统使用复数的是意大利数学家R. Bombelli（1526-1572），其目的就是为了解方程，例如x2+1=0。于是有了a+bi，这里a,b是实数，i2=?1。如果说，引进“负数”还有一定实际背景的话，那么，“复数”从一开始真的是人类头脑的自由创造物。中国传统注重实用，关于“负数”或“复数”这些概念都没有在中国古代数学书中出现。

    使用复数对解方程确实意义重大。代数方程理论的一个漂亮结果就是“代数基本定理”，它断言：一个n次方程有且仅有n个根。当然，这些根未必都能用公式表出。中学生学过二次方程求根公式，根包括复根或重根。其实，3次及4次方程求解也不难。5次或5次以上方程没有公式解。这在后面还会谈到。

    复数以及以复数为变量的复变函数，后来得到许多应用。最简单的是电学中交流电的幅值与相位的表示。还记得早年学复变函数时对保角变换导出的茹科夫斯基曲线印象深刻，它可以用来计算飞机机翼升力。看来，纯粹数学不必依赖于应用，一个好的数学理论大概总会被后来人用上。

5. 代数数与超越数

    无理数可以分成两类，一类像2√，31/3+2，等等，它们是某个有理系数多项式的根。这类数叫代数数。不是代数数的无理数，称为超越数。我们最熟悉的超越数有π，e等。

    一个代数数，它所满足的最低次代数方程的次数就称为代数数的次。如2√是2次的，31/3+2 是3次的。一个代数数x如果是n次的，那么xt，t≥n就可以表示成：1,x,?,xn?1的一个有理线性组合。而具有这种性质的数也必是代数数。

    代数数的有理倍数、乘积、倒数也都是代数数。不难证明，代数数也是可数的。

    有一个重要的数学分支叫代数数论。对此，除了名字我什么也不懂。由于代数数只有?0，那么，超越数就有?之多，也就是远比代数数多。但（以前看到过）要证明一个数是超越数却很难。人们现在知道的独立的超越数似乎还很少。

6. 数域

    通常说，在一个数集合里，如果可以做“加、减、乘、除”，那么，这个集合就叫一个数域。严格地说，一个集合S，其上有两种运算，记作+和×。如果

    （i）(S,+)是一个阿贝尔群，单位元记作0；

    （ii）(S?{0},×)也是一个阿贝尔群；

    （iii）加乘满足分配律（如：(a+b)×c=a×c+b×c，等），

    那么，(S,+,×)就称为一个域。

    最常用的数域是：（i）有理数域（Q）；（ii）实数域（R）；（iii）复数域（C）。那么，整数是不是域呢？代数数是不是域呢？留点悬念给大家吧。

    常用的还有一类域，是有限域：设p>1为素数，记Zp={0,1,?,p?1}，在Zp上定义模p加法和模p乘法，它就是个域。例如，Z5={0,1,2,3,4}，加法定义为：a+b(mod5)，即1+2=3；3+4=2，等。同样，乘法定义为：a×b(mod5)，即3×2=1，等。

    把2√添加到有理数域Q上，就能生成一个新的域Q(2√)={a+b2√|a,b∈Q}。这叫域的扩张。有兴趣不妨证明一下它的确是域。域的扩张是伽略华理论的基础。规矩不能三等分任意角，五次方程没有公式解等都可以由它证明。这篇博文本想介绍，但已经太长，只好留以后再谈了。

7. 复数、对偶数、双曲数

    复数可以看着实系数的2维向量，这个向量空间以{1,i}为基底。特点是，两个“向量”（复数）可以做乘法，结果还是一个“向量”。有乘法的向量空间在近世代数（或曰抽象代数）中称为“代数”。跟“群”、“域”一样，“代数”也是近世代数中一个重要代数结构。把复数看成代数时不考虑除法。

    搞非线性控制的人都知道，微分流形上的向量场在李括号这种乘法下变成一个代数，称为李代数。李代数是一个非常重要的非交换代数，因为每个李群都有一个自己的李代数。但一个李代数可以对应多个李群，这涉及到复叠空间。中学学的三维向量加上叉积，就是最简单的李代数。

    那么，还有没有其他的2维代数呢？其实，我们只要加一个ξ，那么{a+bξ|a，b∈R}就是一个2维向量空间。于是，只要定义乘法就可以了。定义乘法等价于定义ξ2。因为只要ξ2定了，再由分配律，乘法也就定了。

    我们可以自由地定ξ2。当ξ2=?1，就有复数；如果定义ξ2=0，那么，得到的2维代数中的元素称为对偶数（Dual Number）；如果定义ξ2=1，那么，得到的2维代数中的元素称为双曲数（Hyperbolic Number）。

    对偶数与双曲数在力学与工程中都有很多应用。近年来，在控制论中也有人用。

    除了这三个2维代数，还有没有其他实系数2维代数了呢？我曾经用矩阵半张量积方法证明：在同构等价意义下只有这三种。这大概是早已知道的结果，只是自己不知出处而已。 

8. 寻找其他数域

    在实系数的代数里，除了复数，还有其他数域吗？容易证明，对偶数、双曲数都不是数域（没有除法）。于是2维代数中只有复数才是域了。那么，高维代数中会不会有域呢？

    多年前自己在国外“Comp. Math and Appl.”杂志上发表过一篇讨论关于实系数有穷维代数结构的文章。其实，当时自己心里想找的就是这种域。文章最后还提到，不知这种域有没有？审稿时没碰上有关专家，结果给自己留了一条笑柄。

    其实，这是历史上早已讨论过的问题。历史上许多数学家，包括哈密顿，都寻找过“3维复数”，但当然都失败了。魏尔斯特拉斯在1861年证明了：实系数的有限维结合代数中，只有两个数域：一维的实数域与二维的复数域。我们应该感到高兴：我们知道的这类数域不比数学家们少！

9. 四元数

    哈密顿没找到“3维复数”，但他没白忙呼，他找到了四元数。四元数集可表示为 {a+bi+cj+dk|a,b,c,d∈R}。其上的乘法怎么定义呢？令i2=j2=k2=?1，i×j=?j×i=k，j×k=?k×j=i，k×i=?i×k=j。

    容易证明，四元数每个非零元都有逆。实际上，它对加法是一个阿贝尔群，对乘法也是群，加乘满足分配律。它或许是最接近于域的高维代数。缺的那一点就是乘法没有交换律。

    四元数在力学中有很大用处，搞控制的人都知道，对一个刚体（如卫星、导弹）的姿态，用四元数描述比用欧拉角描述的优点在于，它可以避免90度或0度时三角函数间断这种不连续困境。

10. 后记

    因为上次写关于数学的博文时，提到关于有理数与实数的连续统假定，还犯了个错，就有心写一篇关于数的博文。本文主要是凭记忆写的，没有细查参考文献，错误难免，欢迎拍砖。