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一知半解漫说“数”

2014-12-06  看见就非常

    无疑是数学最主要的研究对象之一?)数是最简单的也是最复杂的对于数你知道多少呢就让我这个半瓶子先来晃荡一下也许非数学专业的朋友会有兴趣科学网上高手如云我是抛砖引玉错了自有高人指正

1. 自然数与整数

    小孩两、三岁就开始数数了通常的目标是从一数到十再到一百等等在小孩心目中,“总是与个数联在一起的一个手指头是1”,两个手指头是2”,等等小孩开始学加减法也是掰着手指头数的这其实也就是人类最早对数的认识通常我们用十进制数就是因为人类有十个手指头从计算机科学看人类如果一开始就使用二进制或进制很可能更方便玛雅人计数大概是手指头脚趾头一齐上所以是20进制

    小孩数数为什么不从零开始呢因为其实并不好懂你可以说,“对应没有”,但在数中加入没有对小小孩也许并不好理解零的记号0是印度人发明的被称为是对世界文明的杰出贡献”。

    在自然数以及0上做加减法也很自然那是东西的增、减减是加的逆运算要使减法总能做就必须引入负数”。“负数也是印度人首先引入的他们把它看作财产和债务的对立或直线的两个方向现在我们看负数觉得很合理但其实迟至十八世纪英国还有数学家对负数发出抗议由于引进负数”,就有了整数记作Z)。整数使得加法和它的逆运算总能实现在数学上把它抽象成一种结构称为”。

    一个非空集合S加上一个运算?称为一个群如果它满足

    i封闭性a,bSa?bS

    ii结合律(a?b)?c=a?(b?c)

    iii单位元存在eS使对任意aSa?e=e?a=a

    iv逆元对任意aS存在唯一的逆元a?1S使得a?a?1=a?1?a=e

如果一个群还满足

v交换律a?b=b?a则称其为阿贝尔群

    容易检验整数及其加法(Z,+)是一个阿贝尔群

    自然数分为两类一类数只能被1和自己整除称为素数如果除1和自己外还有其他整数因子则称为合数素数无穷多这是欧几里德在公元前270年证明的反证设其有限将所有素数相乘再加一它除了1和自己没有其他因子所以也是素数它又比所有素数都大故得矛盾

    素数虽然无穷多但在越大的自然数里分布越稀一个粗略的估计是n大的时候大约有n/logn个小于n的素数这称为素数定理素数的分布是数论中最引人关注的一个问题至今不知其解黎曼猜想正是因为与素数分布有关被称为数论中最重要可能也是最困难的一个猜想

2. 有理数与无理数

    早期的数是和几何联在一起的用尺规作图很容易做出一条线段的m/n因此分子与分母都是整数的数称为有理数也就是合理的数古代毕达哥拉学派公元前500年左右将数学作为宗教来崇拜他们对数学做了许多杰出贡献包括毕氏定理勾股定理)、正多面体等但他们只承认有理数相信万物皆数”。派中一人因说出他发现了正方形对角线与边不能公度即不是有理数),就被众人沉入海底

    到底什么是无理数中学数学将其定义为无限不循环小数这在数学上是不严格的一种较为普遍应用的定义是所谓戴德金Dedekind分割”。将所有有理数分为两组A|B),A为上类B为下类A中每个数都比B中数大那么或者A中有最小数B中有最大数这时分割就定义了这个界数有理数)。第三种情况是A中没有最小数且B中没有最大数这时分割就定义了一个无理数有理数和无理数统称实数于是有理数的所有可能分割就与实数一一对应这个定义有点麻烦但用它定义实数运算或研究实数性质都极其方便

    大家熟悉的无理数最多的是用根式表示的2也有不能用根式表示的πe实数可能是自然科学中用得最多的数域

3. 集合的大小

    一个有限集它的大小可以用其数量来表示这个数也称集合的势Cardinal Number)。一个集合S它的势一般用|S|表示对于一个有限集|S|=k那么它有多少不同的子集呢答案是2k这是因为在一个子集里S的每个元有两种可能属于或不属于这个子集

    那么两个无限集怎么比大小呢数学上是这么定义的对两个无限集AB如果存在一个一对一的映射则称它们势相等一样多),如果AB的一个子集一一对应AB不能一一对应B的势比A

    从一开始就是用来表示物体数量的多少于是一类数有多少本身也成了一个重要问题自然数是可数的它的势称为可数势记为?0. 那么整数是不是可数的呢如果令0?11?2?1?32?4?2?5…就可见整数与自然数一一对应于是整数可数也就是整数与自然数一样多你也许会问自然数是整数的子集怎么会一样多呢这个多少是由我们定义所决定的无限集的一个特点就是它可以与自己的一个真子集一一对应

    中学时看过一个讲无穷大的故事说一家人请客来了无穷多客人天下雨每个客人带一把伞来宴会中来了个小偷偷走了几把伞等宴会结束每个客人还能拿到一把伞谁也没发现伞少了

    表面上比整数得多的有理数集其实也是可数的这不难可以用分母大小排序那么实数是不是可数的呢如果它可数把实数排成x1x2x3?定义一个数z它小数点后第一位与x1 小数点后第一位不一样小数点后第二位与x2小数点后第二位不一样小数点后第三位与x3小数点后第三位不一样如此等等那么z应该排第几位呢那一位都不是因此实数集不可数实数集的势称连续势记作?.

    所谓连续统假定就是说不存在一个集合它的势比?0又比?

    实际上我们可以证明2?0=?. 也就是可数集的所有子集具连续势还可以证明任何集合S都不可能跟它的子集族2S等势因此世界上不存在最大的集合因为它的子集族一定比它大

4. 复数

    最早引进并系统使用复数的是意大利数学家R. Bombelli1526-1572),其目的就是为了解方程例如x2+1=0于是有了a+bi这里a,b是实数i2=?1如果说引进负数还有一定实际背景的话那么,“复数从一开始真的是人类头脑的自由创造物中国传统注重实用关于负数复数这些概念都没有在中国古代数学书中出现

    使用复数对解方程确实意义重大代数方程理论的一个漂亮结果就是代数基本定理”,它断言一个n次方程有且仅有n个根当然这些根未必都能用公式表出中学生学过二次方程求根公式根包括复根或重根其实3次及4次方程求解也不难5次或5次以上方程没有公式解这在后面还会谈到

    复数以及以复数为变量的复变函数后来得到许多应用最简单的是电学中交流电的幅值与相位的表示还记得早年学复变函数时对保角变换导出的茹科夫斯基曲线印象深刻它可以用来计算飞机机翼升力看来纯粹数学不必依赖于应用一个好的数学理论大概总会被后来人用上

5. 代数数与超越数

    无理数可以分成两类一类像231/3+2等等它们是某个有理系数多项式的根这类数叫代数数不是代数数的无理数称为超越数我们最熟悉的超越数有πe等。

    一个代数数它所满足的最低次代数方程的次数就称为代数数的次22次的31/3+2 3次的一个代数数x如果是n次的那么xttn就可以表示成1,x,?,xn?1的一个有理线性组合而具有这种性质的数也必是代数数

    代数数的有理倍数、乘积、倒数也都是代数数不难证明代数数也是可数的

    有一个重要的数学分支叫代数数论对此除了名字我什么也不懂由于代数数只有?0那么超越数就有?之多也就是远比代数数多以前看到过要证明一个数是超越数却很难人们现在知道的独立的超越数似乎还很少

6. 数域

    通常说在一个数集合里如果可以做加、减、乘、除”,那么这个集合就叫一个数域严格地说一个集合S其上有两种运算记作+×如果

    i(S,+)是一个阿贝尔群单位元记作0

    ii(S?{0},×)也是一个阿贝尔群

    iii加乘满足分配律(a+b)×c=a×c+b×c),

    那么(S,+,×)就称为一个域

    最常用的数域是:(i有理数域Q);(ii实数域R);(iii复数域C)。那么整数是不是域呢代数数是不是域呢留点悬念给大家吧

    常用的还有一类域是有限域p>1为素数Zp={0,1,?,p?1}Zp上定义模p加法和模p乘法它就是个域例如Z5={0,1,2,3,4}加法定义为a+b(mod5)1+2=33+4=2同样乘法定义为a×b(mod5)3×2=1

    2添加到有理数域Q就能生成一个新的域Q(2)={a+b2|a,bQ}这叫域的扩张有兴趣不妨证明一下它的确是域域的扩张是伽略华理论的基础规矩不能三等分任意角五次方程没有公式解等都可以由它证明这篇博文本想介绍但已经太长只好留以后再谈了

7. 复数、对偶数、双曲数

    复数可以看着实系数的2维向量这个向量空间以{1,i}为基底特点是两个向量”(复数可以做乘法结果还是一个向量”。有乘法的向量空间在近世代数或曰抽象代数中称为代数”。一样,“代数也是近世代数中一个重要代数结构把复数看成代数时不考虑除法

    搞非线性控制的人都知道微分流形上的向量场在李括号这种乘法下变成一个代数称为李代数李代数是一个非常重要的非交换代数因为每个李群都有一个自己的李代数但一个李代数可以对应多个李群这涉及到复叠空间中学学的三维向量加上叉积就是最简单的李代数

    那么还有没有其他的2维代数呢其实我们只要加一个ξ那么{a+bξ|abR}就是一个2维向量空间于是只要定义乘法就可以了定义乘法等价于定义ξ2因为只要ξ2定了再由分配律乘法也就定了

    我们可以自由地定ξ2ξ2=?1就有复数如果定义ξ2=0那么得到的2维代数中的元素称为对偶数Dual Number);如果定义ξ2=1那么得到的2维代数中的元素称为双曲数Hyperbolic Number)。

    对偶数与双曲数在力学与工程中都有很多应用近年来在控制论中也有人用

    除了这三个2维代数还有没有其他实系数2维代数了呢我曾经用矩阵半张量积方法证明在同构等价意义下只有这三种这大概是早已知道的结果只是自己不知出处而已 

8. 寻找其他数域

    在实系数的代数里除了复数还有其他数域吗容易证明对偶数双曲数都不是数域没有除法)。于是2维代数中只有复数才是域了那么高维代数中会不会有域呢

    多年前自己在国外CompMath and Appl.杂志上发表过一篇讨论关于实系数有穷维代数结构的文章其实当时自己心里想找的就是这种域文章最后还提到不知这种域有没有审稿时没碰上有关专家结果给自己留了一条笑柄

    其实这是历史上早已讨论过的问题历史上许多数学家包括哈密顿都寻找过3维复数”,但当然都失败了魏尔斯特拉斯在1861年证明了实系数的有限维结合代数中只有两个数域一维的实数域与二维的复数域我们应该感到高兴我们知道的这类数域不比数学家们少

9. 四元数

    哈密顿没找到3维复数”,但他没白忙呼他找到了四元数四元数集可表示为 {a+bi+cj+dk|a,b,c,dR}其上的乘法怎么定义呢i2=j2=k2=?1i×j=?j×i=kj×k=?k×j=ik×i=?i×k=j

    容易证明四元数每个非零元都有逆实际上它对加法是一个阿贝尔群对乘法也是群加乘满足分配律。它或许是最接近于域的高维代数缺的那一点就是乘法没有交换律

    四元数在力学中有很大用处搞控制的人都知道对一个刚体如卫星、导弹的姿态用四元数描述比用欧拉角描述的优点在于它可以避免90度或0度时三角函数间断这种不连续困境

10. 后记

    因为上次写关于数学的博文时提到关于有理数与实数的连续统假定还犯了个错就有心写一篇关于数的博文本文主要是凭记忆写的没有细查参考文献错误难免欢迎拍砖

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