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数系的扩充——复数
在人类历史发展过程中,为了满足生活和生产实践的需要,数的概念在不断地发展着。为了计数的需要产生了正整数,为了测量等需要产生了分数,为了刻画具有相反意义的量产生了负数,为解决不可公度的问题产生了无理数等等。 在数学内部矛盾的解决过程中,可以清楚地看到,数集是在按某种“规则”不断扩充的。在自然数集中,加法和乘法总可以实施。但是,由于小数不能减大数,方程x+4=0无解，为此引入了负数,数集扩充到整数集。在整数集中,加法、减法和乘法总可以实施。但是,由于除法只能解决整除的问题,方程3x-2=0无解，为此引入分数,数集扩充到有理数集。在有理数集中,加法、减法、乘法和除法(除数不为零)总可以实施。但是,开方的结果可能不是有理数,方程x2-2=0无解，为此引入无理数,数集扩充到实数集。在实数集中,加、减、乘、除(除数不为零)总可以实施,并解决了正数的开方问题。 从自然数集、整数集、有理数集到实数集,每一次数的概念的发展,新的数集都是在原来数集的基础上“添加”了一种新的数而得来的。在新的数集中,原有的运算及其性质仍然适用,同时解决了某些运算在原来数集中不是总可以实施的矛盾。 现在,在实数集中,我们又面临方程x2+1=0无解,负数不能开平方的问题。这表明,数的概念需要进一步发展,实数集要进一步扩充。 实数集应怎样扩充呢？ 为了使方程x2+1=0有解,使实数的开方运算总可以实施,实数集的扩充就从平方等于-1的“新数”开始。 为此,我们引入一个新数i,叫做虚数单位(imaginary unit),并规定:①i2=-1;②i与实数一起可以按照实数的运算法则进行四则运算。 《标准》指出:数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程,同时体现了数学发生、发展的客观需求,复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充；要求学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性,学习复数的一些基本知识,体会人类理性思维在数系扩充中的作用。从内容上可以看到,在复数基本概念引入、复数代数形式的四则运算法则、复数的几何意义等方面,《标准》和《大纲》的要求是一致的。而在数系的扩充过程、体会实际需求与数学内部的矛盾等方面,《标准》的要求较高。《标准》不仅仅为了追求知识,关键是通过知识的发生、发展过程,让学生感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。同时,我们也看到,《标准》在复数内容上少于《大纲》,尤其是对复数的三角形式未做介绍。 在复数概念与运算的教学中,《标准》建议:避免繁琐的计算与技巧训练,对复数感兴趣的学生,可以给他们安排一些引申的内容,如求x3=1的根，介绍代数学基本定理等。 三、相关链接 (1)严士健等主编:《普通高中数学课程标准(实验)解读》 第九章 选修系列1、系列2 (2)有关复数的教学(略) |
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