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【课程】数学史与数学文化_专题一 数系的扩充

2017-10-29  百眼通

​  教学目标与教学指导:
  具有一定性质的数放在一起构成了数系,通常我们所熟知的数系有:自然数系,整数系,有理数系,实数系和复数系,这些数系是如何扩充的呢?希望学员通过本专题的学习了解数系的扩充过程,体会数学与社会发展之间的相互关系。

  一、计数与计数法
  “数”的概念萌发于早期人类对事物的计数,结绳与书契可能是所有早期文明中最主要的计数方法.中国古书《周易?系辞下传》载称: “上古结绳而治,后世圣人易之以书契”。关于结绳记事方法,郑康成(127-200)注释称: “事大,大结其绳;事小,小结其绳。结之多少,随物众寡。”法国学者白尔蒂尤在其《人类学》中曾经描述了美洲秘鲁和亚洲琉球的土著民族的结绳方法。秘鲁土著人以条索编织成绳。于其上结结为标,表示备忘之意。
书契或称木刻,即刻木为符,以志事。原在没有文字的时代用于记数,后广为契约等多种用途。世界各地很多土著民族至今仍在使用结绳与书契。
  随着文字的出现,人类开始用一些文字符号按照一定的规则表记数字,这些规则就是进位制和符号布列方式,它们是记数法的要素。在世界各地文明中,形成了各自独特的数字符号体系和记数方法,例如:简单分群数系、乘法分群数系、字码数系、定位数系(位值制)等。我们今天通常使用的记数方式就是10进制定位系统,与其它记数方法相比,它在计算上有明显的优势,被誉为人类社会进步的基础。

  二、分数与小数的历史
  分数的产生与人类早期社会的分配以及交易活动有关,原始社会的分配情况与分数使用情况,因未留下文字性资料,我们只能作出一些猜测。各民族的早期文献中均可以见到有关分数的文字记录。如在我国的甲骨文和金文资料中,可以找到“分”、“半”等与分数有关的文字。
  到了西汉时期,数学专著《算数书》与《九章算术》还给出了分数的定义:实如法而一,不满法者,以法命之。同时还给出了分数的运算法则,如“合分术”“课分术”“齐同术”“约分术”“减分术”“乘分术”“经分术”“通分术”“通其率术”等。
巴比伦人也很早就使用分数。如在《罕漠拉比法典》和其它文献中就出现了“二分之一”“三分之一”“三分之二”“六分之一”等。
  小数的历史也源远流长,但是它作为科学的表示法正式登场还是很晚的事。它的产生与古代度量衡的使用有关。可以说在度量衡产生的同时,就蕴涵着小数的出现。
在中国传统数学中,首先规定了10进、10000进的大数与小数名称。中国古代的数就是通过这些大数和小数来表示的,虽然没有引用小数点,但是如果规定某一单位为整数第一位。则它们的表示效果与我们今天的小数表示法是一样的。
  15世纪,中亚西亚的阿尔卡西通过将整数与小数以空位隔开的方式表示一个数的整数部分与小数部分。1617年苏格兰数学家纳皮尔开始使用小数点的符号,这种记法被沿用至今。

  三、无理数的发现
  希腊文明是人类文化史上最光辉的一页。大约在公元前1200年至公元前1000年间,希腊部落爱奥尼亚人迁徙到包括爱琴海东部诸岛屿在内的小亚细亚西部地方。由于海上交通的方便,使得它容易接受巴比伦、埃及等古代的先进文化,最终形成了后来影响欧洲乃至整个世界的灿烂文化。
  希腊文明最为突出的是其具有高度的理性化与抽象化,在希腊学术传统中,哲学、几何学、艺术和逻辑学的成就最高。
  毕达哥拉斯(约前560年-约前480年)学派是继以泰勒斯为代表的爱奥尼亚学派之后,希腊第二个重要学派,它延续了两个世纪,在希腊有很大的影响。它有着带有浓厚宗教色彩的严密组织,属于唯心主义学派。他们相信依靠数学可使灵魂升华,与上帝融为一体,从而数学是其教义的一部分。他们在数学上最大的贡献是证明了直角三角形三边关系的勾股定理,故西方称之为毕达哥拉斯定理。
  毕达哥拉斯学派的信条是,世界万物都是可以用数来表示的。他们所称的数就是自然数和分数。实际上分数也是自然数的结果。他们将这种数的理论应用于几何,认为,对于任何两条线段,总可找到一条同时量尽它们的单位线段,并称此两线段为可公度的。这种可公度性等价于“任何两条线段之比为有理数”。他们在几何推理中总是使用这条可公度性假定。
公元前4世纪,毕达哥拉斯学派的信徒希帕索斯发现存在某些线段之间是不可公度的,例如正方形的边长与其对角线之间就是不可公度。根据毕达哥拉斯定理容易发现,它们之比并非是自然数之比。据说,由于希帕索斯的这一发现,触犯了毕达哥拉斯学派的信条而被视为异端,为此他被其同伴抛进大海。
  尽管希帕索斯的不可公度观念未被希腊人所接受。但由此而引发了数学史上的第一次数学危机,它对古希腊的数学观点有着极大的冲击,整数的尊崇地位受到挑战。于是几何开始在希腊数学中占有特殊地位,同时,人们开始不得不怀疑直觉和经验的可靠性,从此希腊几何开始走向公理化的演绎形式。
  中国传统数学中的无理数产生于开方不尽和圆周率的计算。不过由于中国古算与古希腊数学有着不同的传统,希腊人总是将数与形截然分开,对涉及无限的问题总是持有恐惧的态度。中国算学中数与形是有机统一的,中国人自始至终对关于无限的问题总是泰然处之,能够正视无理数。
  四、负数的引入
  在现今的中学数学教材中,负数概念是伴随有理数概念的教学而出现的。其实历史上负数概念及其运算法则的形成,远早于有理数、无理数概念。其概念的产生有着深刻的社会背景,与早期的经济活动有关。早在秦汉时期的汉简中,我们就可以发现很多有关“少”与“负算”的记帐方式。“算”是汉代赋税的单位名称,在统计边疆戌卒家属的口粮时,计算结果出现不足便记作“少若干”或“负若干算”。“负”是缺少、亏欠的意思,与“得”相反,它们为正负数概念的形成作了准备。
  最初提出负数概念的是大约于西汉末年成书的我国传统数学经典著作《九章算术》。该书由方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九章共246道数学问题构成,同类数学问题或同类解法为一章,其中第八章“方程”属于线性方程组求解问题。(这里的“方程”与我们今天数学中的“方程”概念不完全一致,今天的“方程”一词,是清代数学家李善兰于1859年与英国传教士伟烈亚力合译西方微积分教材《代微积拾级》时,借用中国古代“方程”术语作为西方Equation的译语)。《九章算术》的方程术实际是线性方程组求解的矩阵算法,通过“遍乘直减”的列变换,化成阶梯形矩阵而获得结果。为了解决“遍乘直减”过程中的不足减的矛盾,才引入负数概念,以使“遍乘直减”的机械程序可以顺利的进行下去。三国时代的数学家刘徽注释道:“今两算得失相反,要令正负以名之。正算赤,负算黑,否则以邪正为异。”意思是说。正算与负算是相反意义的量。运算时,“加正等于减负,减正等于加负”,分别用红筹和黑筹,或者用正筹和邪筹来表示正负数。

  五、复数的产生
  从古代起,人们便能够解二次甚至某些高次方程,然而一个最其貌不扬的二次方程x2+1=0却使得数学家狼狈不堪。难道存在平方为-1的数吗?经过长期的犹豫,徘徊,到了16世纪,一些勇敢的数学家作出了大胆选择:引进虚数单位,并从而建立了一个复数系。
  当然,也有不少人试图建立复数及其运算的几何意义。但开始真正领悟到复数与平面上点之间的关系的是挪威人维塞尔、瑞士人阿甘德以及伟大的高斯。1797年,维塞尔在坐标平面上引入虚轴,以实轴和虚轴所确定的平面向量表示复数,并且还用几何术语定义了复数和向量的运算。1806年阿甘德将复数表示成三角形式,并且把它与平面上线段的旋转联系起来。高斯在证明代数基本定理时,应用了复数,还创立了高斯平面,从而在复数与复平面上建立了一一对应,并首次引入“复数”这一名称。这些人的工作主要是建立了复数的直观基础。
  到了18世纪,复数理论已经比较成熟,人们很自然的想到了这样的问题:复数系还可能进行扩张吗?是否可以找到一个可以真包含复数系的“数系”,它们承袭了复数系的运算和运算率?也就是说,我们能否进一步构造一个包含复数系的新的数系,且使原来的运算性质全部保留下来?一个很自然的想法是考察一元复系数高次方程的解,如果我们能够找到一个复系数方程,它在复数范围内没有解,就有可能得到一个复数系的扩张系。
  但18世纪末高斯所证明的“代数基本定理”(即任意n次复系数方程至少有一个复数根)明确无误的宣告了“此路不通”。于是不屈不挠的数学家们不得不寻求新的途径。由于复数面上的点和复数的一一对应关系,故任意复数都可以表示为一有序实数对儿,实数可以看作序对(a,0),因此有人把复数叫做“二元数”。那么寻求新数系的一个自然途径便是设法建立“三元数系”,“三元数系”应当承袭复数系的运算和运算率,复数系可以看作是三元数系的子数系。
  然而,数学家的辛勤努力并未给他们带来预期的成果。数以千计的失败经历给他们带来了意外的收获:他们终于敢于设想,三元数系可能是不存在的;同时,为了建立新的“多元数系”,可能不得不放弃某些运算性质。
  新的多元数系的——四元数系——的发现者是英国数学家哈密尔顿。他最初也设法寻找满足乘法交换率的三元数。经过数十个寒暑,灵感终于照亮了他,这是在1843年10月16日,当时他刚好散步走过勃洛翰桥,头脑中正试图寻找三维空间复数的类似物,他突然发现自己被迫要做两个让步:第一,他的新数要包含四个分量;第二,他必须牺牲乘法交换率。这两个特点都是对传统数系的革命。他当场抽出笔记本,记下了这一划时代的结果。为纪念四元数的发明者哈密尔顿,四元数也被称为哈密尔顿四元数。“四元数”的出现昭示着传统观念下数系扩张的结束。
  但四元数的发明,其意义远不止获得了新的数系。它使数学家们认识到既然可以抛弃实数和复数的交换性去构造一个有意义、有作用的新“数系”,那么就可以较为自由地考虑甚至偏离实数和复数的通常性质去开拓新的数学领域。这样,数系的扩张虽然就此终止,但是,通向抽象代数的大门被打开了。

  六、代数数与超越数
  如前所述,早在古希腊时期,无理数便引起了科学家的注意,但是不少人不敢正视它的存在,甚至对它讳莫如深。即使为了避免困境而不得不正视它时,也只是把它视为一种几何上的存在,而不承认它是数。例如,毕达哥拉斯甚至能够证明的无理性,但是他仍然坚持认为有理数才是数。
  随着社会的发展,无理数终于获得了作为“数”的权利。然而有许多数,其无理性在很长时间内都无法证明,那么,无理数之间是否有区别呢?长期以来,无理数似乎始终处于一片混沌之中。到了18世纪,才有人证明它们的无理性。
  到了19世纪,问题获得了人们意料之外的进展,其原因却是因为想证明费尔玛(Fermat)大定理(即对于n3,方程xn+yn=zn不存在正整数解)。许多大数学家都想在这一问题上一试身手,并且各自独立地得到了不少结果。19世纪中叶,库默尔(Kummer)通过建立所谓“理想数”理论而获得了丰富成果。戴笛金(Dedekind)注意到了他的理论,并加以发展,从而建立了所谓现代代数数论。
  定义:一个数 ,若它是有理数系数方程a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0的根,且不是次数小于n的有理数系数方程的根,则称为n次代数数。
若 可以满足一个首项系数为1的有理整系数方程,则叫做一个代数整数。
非代数数被称为超越数。
  是否存在超越数呢?数学家们从两个方面来讨论这个问题。一个是看一看实的代数数是否能够“填满”整个数轴,其结果大大出乎人们意料之外,原来,几乎“所有”的实数都是超越数!(实数集是不可数的,而代数数集是可数的)这是一种纯粹的“存在性”证明方法。
另一条途径是直接证明一些数,如e,π等的超越性,然而这也是荆棘丛生的“羊肠小路”。1873年爱尔米特(Hermite)证明了e的超越性,1882年林德曼(Lindermann)证明了π的超越性。
  但是,有一些看来颇为“平凡”的数却使数学家们束手无策。著名的希尔波特第七问题就是一个关于某些数的超越性问题:证明为超越数,其中≠0,1,是一个代数数,β是无理代数数。
  1929年,苏联数学家盖尔冯特证明了β为虚2次无理数的结果。1930年,库兹明和西格尔把盖尔冯特的方法推广到实二次型的情况。盖尔冯特和施奈德分别独立地于1934年和1953年完全解决了第七问题。

  七、数系扩张的原则
  回顾数系扩张的历史我们可以发现,随着数系的扩张,数域在不断扩大:
  自然数集→整数集→有理数集→实数集→复数集
而数域的每一次扩张,都遵循以下几个原则:
  1、引入新数a及其数集W,与原数集S一起构成新的数集G=W∪S;
  2、原数集S对某种运算“⊕”不封闭,新数集W的引入,解决了对运算“⊕”的封闭性问题,即G对运算“⊕”封闭;
  3、原数集S内定义的运算及其法则,在新数集G中仍适用。

  讨论与思考:
  1、你认为影响数学发展的因素有哪些?
  2、结合“数系扩充的历史”谈一谈你对“数学科学与人类社会发展之间的关系”的理解。

 

 

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